1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在 上可导 设tt0和tt0t分别对应于曲线上的点M0(x0, y0, z0)和M(x0+x, y0+y, z0+z) 当MM0, 即t0时, )()()(000000tzztyytxx zzzyyyxxx000 或作曲线的割线MM0, 其方程为 得曲
2、线在点M0处的切线方程为 zzzyyyxxx000 或tzzztyyytxxx000 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 设空间曲线的参数方程为 x(t) y(t) z(t) 这里假定(t), (t), (t)都在 上可导 )()()(000000tzztyytxx 过曲线上tt0所对应的点M0切线方程为 向量T(t0) (t0) (t0)称为曲线在点M0的切向量. 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面, 其法平面方程为(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 一、空间曲线的切线与法平面山东农业大学 高
3、等数学 主讲人： 苏本堂zyxo例例1. 求圆柱螺旋线 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和法平面方程.,2时当切线方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解: 由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk在),0,(kRT, 故山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂讨论: 1. 若曲线的方程为y(x) z(x) 则切向量T? 提示: 1. 曲线的参数方程可视为: xx y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x) 曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量为T
4、(t0) (t0) (t0) 2. 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量T? 2. 两方程可确定两个隐函数: y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x) 而(x) (x)要通过解方程组得到. 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例2. 求曲线0,6222zyxzyx在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. xxzzxyydddd解解. 方程组两边对 x 求导, 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd
5、,dd,1山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx点 M (1,2, 1) 处的切向量011)1,0, 1(T山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂0),(:zyxF二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(, )(, )(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0 . 则 在, )(, )(, )(:tztytx且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的
6、切平面切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. )(, )(, )(000tttT山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂MT证:在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0处求导两边在tt ,0Mtt对应点注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量n的平面上 , 从而切平面存在 .n山东农业大学 高等数学 主
7、讲人： 苏本堂)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂)( ),(000 xxyxfx曲面时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数 ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方
8、程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx特别特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂,法向量法向量用2211cosyxff将),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.为锐角则分别记为则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例3. 求椭球面3632222zyx在点(1 , 2
9、 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令)6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为.142142 zyx例例4求旋转抛物面在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.2
10、21,zxy山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例5. 确定正数 使曲面zyx222zyx在点),(000zyxM解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球面, ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z2山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例6. 求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为)2,2, 1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即与法平面.) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂作业：作业：p-45 习题习题8-62，3，4，5，8
