1、第第1页页知识点知识点 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 行列式的定义行列式的定义 行列式的性质行列式的性质 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 几类特殊行列式的值几类特殊行列式的值第第2页页逆序：逆序：两个元素的先后次序与两个元素的先后次序与标准次序标准次序不同不同排列的逆序数：排列的逆序数：排列中排列中所有所有逆序逆序的总和的总和全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列（排列）：全排列（排列）：若干连续自然数排成一列若干连续自然数排成一列逆序数的计算方法：逆序数的计算方法：依次计算排列中每个元素前比它大的元素个数，然后求和依次计算排列中每个元素前比它大的元素个数，然后求和奇排列（偶排列
2、）：奇排列（偶排列）：逆序数为奇（偶）数的排列逆序数为奇（偶）数的排列341231 42t 0 0224第第3页页1211121212221212(1)det)nntnnppnpnnnnijaaaaaaDaaaaaaa 行列式的定义行列式的定义1112112212212122aaa aa aaa二阶行列式：二阶行列式：三阶行列式：三阶行列式：111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132112332122133132231a a aa a aa a aa a aa a aa a an阶行列式：阶行列式：!n 项12np pp第第4页页行列式的性质行列
3、式的性质1TDD、113iiniinkakak aa*、*4、若有两行(列)元素相同或对应成比例，行列式等于零1111*5 *iiininiiniinbcbcbbcc、6k、某行（列）的 倍加到另一行（列）上，行列式值不变2、两行（列）互换，行列式变号 ()iirk ck ()ijijrrcc ()ijijrkrckc ()iirk ck第第5页页行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行( (列列) )各元素与其各元素与其对应的对应的代数余子代数余子式乘积之和：式乘积之和： 行列式某一行行列式某一行( (列列) )元素与元素与另一行另一行( (列列)
4、)对应元素的代数余对应元素的代数余子式乘积之和等于零：子式乘积之和等于零：11221122 niiiiininiiiininiDa Aa Aa Aa Aa Aa A1122112200ijijinjnijijninja Aa Aa Aa Aa Aa Aij，第第6页页(1)212,1( 1)n nnnnna aa 1111,1112,12212,12,11,1112 nnnnnnnnnn nnnnnaaaaaaaaaaaaaaa.几类特殊行列式的值几类特殊行列式的值111211111222212222121 nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa.1122nna aa第第7页页几类
5、特殊行列式的值几类特殊行列式的值1222212111121114 nnnnnnxxxxxxxxx.11111111knkkknnnaabbaabb11111111111100003 kkkkknnnknnnaaaaccbbccbb.1111111111110000kkkkknnknnnnaaccaaccbbbb211112122221111nnnnnnxxxxxxxxx1()ijn ijxx 第第8页页学习要求学习要求 计算排列的逆序数计算排列的逆序数 代数余子式的相关计算代数余子式的相关计算 计算行列式计算行列式第第9页页典型习题典型习题 计算排列的逆序数计算排列的逆序数 代数余子式的相关计
6、算代数余子式的相关计算 计算行列式计算行列式第第10页页计算排列的逆序数计算排列的逆序数minmax1 ntt. 对于 个自然数组成的排列，则逆序数 ，2213 86 59 ijij. 已知排列是偶排列，则，123n(1)21n n(1)2n n0 t ：0 12(1)n47ij、 只能分别取 或 ：213 84 6759213 87 64596t ：9t ：47第第11页页计算排列的逆序数计算排列的逆序数313(21)2 (22)42nnn. 求排列的逆序数第第12页页1110012345111222221143150 1110012345222110400223150 1110012340
7、0022005401131500001112345111222221143150 00011123411100225420031505313233343512345111224.321462221143150DAAAAA 设，求和.与代数余子式有关的计算与代数余子式有关的计算3132333435532AAAAAD313233AAA3435AA00第第13页页与代数余子式有关的计算与代数余子式有关的计算5.422, 1,6 3,9, 3, 1 mm 已知某 阶行列式的第 行元素依次是，第3行元素的余子式的值依次是，则3第 行元素余子式的值代数依次是：3,9,( 3), ( 1) 由代数余子式的性
8、质得2 3( 1) ( 9)( 3)6 10m 解得7.m 7第第14页页(1234)( 1)1tx x x (1243)( 1)1 2tx xx 计算行列式计算行列式 利用行列式定义计算利用行列式定义计算31121116.( ) 3211121xxf xxxx 函数中 的系数是112341234( )( 1)tppppf xaaaa32axbxcxd第第15页页计算行列式计算行列式化三角形法化三角形法 利用性质化行列式为三角形行列式。利用性质化行列式为三角形行列式。造零降阶法造零降阶法 利用性质将某行（列）中大部分元素化为零，然后利用性质将某行（列）中大部分元素化为零，然后按该行（列）展开，
9、降低行列式的阶数。按该行（列）展开，降低行列式的阶数。823132131510121203120313424114010142393 ； 第第16页页a. 行（列）元素之和相等的行列式行（列）元素之和相等的行列式11111111711111111xxDxx. 2131141411111001111100111110011111000cccccxccxxxxxxxxx121314111111111111ccccccxxxxxxx1(1)()nabbbbabbanbabbbba第第17页页b. 爪（箭）形行列式爪（箭）形行列式12121111118(0)111nnnaaDa aaa 计算 , ,
10、, 第第18页页c. 可利用递推方法的行列式可利用递推方法的行列式12211119.1nnnnxxxDxaaaaxa 1 nnx Da1( 1)n1( 1)n1231231nnnnnnnDxa xa xa xaxa第第19页页d. 利用范德蒙德行列式的结论计算利用范德蒙德行列式的结论计算33332222410.abcdabcdDabcdbcdacdabdabc 433333222233332222 ()1111rrabcdabcdabcdabcdabcdabcdabcdabcdabcdabcdabcd 1222212111112111()nnijn ijnnnnxxxxxxxxxxx 第第20页页d. 利用范德蒙德行列式的结论计算利用范德蒙德行列式的结论计算33332222 41 122223333()11111111 ()( 1) ()()()()()()()abcdabcdDabcdabcdabcdabcdabcdabcdabcd dc db da cb ca ba 第第21页页
