1、1直线的交点坐标直线的交点坐标(1)点、线关系及代数表示点、线关系及代数表示基础知识梳理基础知识梳理AaBbC02)两直线交点的求法两直线交点的求法两直线两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则则l1与与l2的交点坐标就是方程组的交点坐标就是方程组2距离公式距离公式类型类型条件条件公式公式两点间的两点间的距离距离两点两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|点到直线点到直线的距离的距离点点P0(x0，y0)，直线，直线l：AxByC0 d两平行线两平行线间的距离间的距离直线直线l1：AxByC10，l2：AxByC20 d(转化为点到直线的距离转化为点到直线的距
2、离)ABC的两条高所在直线的方程的两条高所在直线的方程为为2x3y10和和xy0，顶点，顶点A的坐标为的坐标为(1,2)，求，求BC边所在直线的边所在直线的方程方程考点一考点一求两条直线的交点求两条直线的交点 已知直线已知直线l经过点经过点P(3,1)，且被两平行直，且被两平行直线线l1：xy10和和l2：xy60截得截得的线段之长为的线段之长为5，求直线，求直线l的方程的方程分析分析如右图，由点斜式得如右图，由点斜式得l方程，分别方程，分别与与l1、l2联立，求得两交点联立，求得两交点A、B的坐标的坐标(用用k表示表示)，再利用，再利用|AB|5可求出可求出k的值，的值，从而求得从而求得l的
3、方程的方程跟踪练习跟踪练习1 解析解法1：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3，此时与l1、l2的交点分别为A(3，4)、B(3，9)，截得的线段AB的长|AB|49|5，符合题意. 若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为yk(x3)1(k1)1点到直线的距离公式和两平行线间的距离公点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握式是常用的公式，应熟练掌握2点到几种特殊直线的距离点到几种特殊直线的距离(1)点点P(x0，y0)到到x轴的距离轴的距离d|y0|.(2)点点P(x0，y0)到到y轴的距离轴的距离d|x0|.考点二考点二距离问题距离问题(3)点点P(x0，y0)
4、到与到与x轴平行的直线轴平行的直线ya的距离的距离d|y0a|.(4)点点P(x0，y0)到与到与y轴平行的直线轴平行的直线xb的距离的距离d|x0b|.提醒提醒：点到直线的距离公式当：点到直线的距离公式当A0或或B0时，时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离求距离已知点已知点P(2，1)(1)求过求过P点且与原点距离为点且与原点距离为2的直线的直线l的的方程；方程；(2)求过求过P点且与原点距离最大的直线点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过是否存在过P点且与原点距离为点且与原
5、点距离为6的的直线？若存在，求出方程；若不存在，请直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由说明理由距离为距离为d的两平行直线的两平行直线l1、l2，它们分别经，它们分别经过点过点M(2，2)，N(1,3)，并绕着，并绕着M、N旋转且保持平行求当旋转且保持平行求当d取得最大值时的取得最大值时的两直线两直线l1、l2的方程的方程跟踪练习跟踪练习2 12312121320047 521 01 01012122 5lx y aalxylx yllaPPPPlPlPlP lP练练习习 已已知知三三条条直直线线 ： ，直直线线 ： 和和直直线线 ： ，且且 与与 的的距距离离是是求求 的的值值；能能否
6、否找找到到一一点点 ，使使得得 点点同同时时满满足足下下列列三三个个条条件件： 是是第第一一象象限限的的点点； 点点到到 的的距距离离是是 点点到到 的的距距离离的的 ； 点点到到 的的距距离离与与 到到 的的距距离离之之比比是是；若若能能，求求 点点坐坐标标；若若不不能能，说说明明理理由由 21222001200001212021|752102117|03.22()120(3)21|3 |13112265513112020.26lxylladaaaP xyPPlllxycccccccxyxy 由由： ， 所所 以以与与的的 距距 离离化化 得得 ： ， 因因， 所所 以以， 若若足足件件 ，
7、在在 与与，平平 行行 的的 直直 系系 ： ， 且且上上 ，且且 2 2. .， 即即 或或 所所 以以【 或或】解解 析析00000000000000000000000|23|1|2552|23|1|24032032013320()2124021112092240PxyxyxyxyxyxPxxxyyxyxxyxyy 若若 点点满满足足条条件件，由由点点到到直直线线的的距距离离公公式式，有有：即即 ，所所以以 ，或或 ，由由 在在第第一一象象限限，所所以以 不不可可能能， 由由方方程程组组：舍舍去去， 由由得得 01 37()379 1818P，所所以以，即即为为同同时时满满足足三三个个条条
8、件件的的点点点的对称是对称问题的本质，也是对称的点的对称是对称问题的本质，也是对称的基础只要搞清了点关于点、直线的对称规律，基础只要搞清了点关于点、直线的对称规律，则曲线关于点、直线的对称规律便不难得则曲线关于点、直线的对称规律便不难得出解决此类问题，首先应明确对称图形是什出解决此类问题，首先应明确对称图形是什么，其次，确定对称图形与对称轴的关系常么，其次，确定对称图形与对称轴的关系常用到两点：用到两点：(1)两对称点的中点在对称轴上两对称点的中点在对称轴上(利利用中点坐标公式用中点坐标公式)；(2)两对称点的连线与对称两对称点的连线与对称轴垂直轴垂直(若二者存在斜率，则斜率之积为若二者存在斜
9、率，则斜率之积为1)考点三考点三对称问题对称问题已知直线已知直线l：2x3y10，点点A(1，2)求：求：(1)点点A关于直线关于直线l的对称点的对称点A的坐标；的坐标；(2)直线直线m：3x2y60关于直线关于直线l的的对称直线对称直线m的方程的方程【思维总结】【思维总结】(1)点关于线对称，点关于线对称，不能转化为不能转化为“垂直垂直”及及“线的中点在轴上线的中点在轴上”的问题；的问题；(2)线关于线对称，不能转化为点关线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，不于线的对称问题；线关于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题能转化为点关于点的对称问题例例3条件不变，求直线条
10、件不变，求直线l关关于点于点A(1，2)对称的直线对称的直线l的方程的方程例例4.在直线在直线l:3x-y-1=0上求一点上求一点P,使得使得:(1)P到到A(4,1)和和B(0,4)的距离之差最大的距离之差最大;(2)P到到A(4,1)和和C(3,4)的距离之和最小的距离之和最小.设设B关于关于l的对称点为的对称点为B,AB与与l的交点的交点P满满足（足（1）;C关于关于l的对称点为的对称点为C,AC与与l 的交点的交点Q满足满足(2).事事实上实上,对于对于(1),若若P是是l上异于上异于P的点的点,则则 |PA|-|PB|=|PA|-|PB|AC|=|QA|+|QC|.返回目录返回目录
11、(1)如图所示如图所示,设点设点B关于关于l的对称点的对称点B的坐标的坐标为为(a,b),则则kBB kl=-1,即即3 =-1.a+3b-12=0 又由于线段又由于线段BB的中点坐标为的中点坐标为( , ),且在直线且在直线l上上,3 - -1=0.即即3a-b-6=0 解得解得a=3,b=3,B(3,3).于是于是AB的方程为的方程为 ,即即2x+y-9=0. 3x-y-1=0 x=2 2x+y-9=0, y=5,即即l与与AB的交点坐标为的交点坐标为P（2，5）.返回目录返回目录 a a4 4- -b ba a4 4- -b b2 22 2a a4 4- -b b4 4- -3 34 4
12、- -x x1 1- -3 31 1- -y y =解解得得(2)如图所示如图所示,设设C关于关于l的对称点为的对称点为C,求出求出C的坐标为的坐标为( ).AC所在直线的方程为所在直线的方程为19x+17y-93=0,AC和和l交点坐标为交点坐标为( ),则则P点坐标为点坐标为( ) .返回目录返回目录 5 52424, ,5 53 37 72626, ,7 711117 72626, ,7 71111 (1)在直线在直线l上求一点上求一点P,使使P到两定点的距离到两定点的距离之和最小之和最小. 当两定点当两定点A,B在直线在直线l异侧时异侧时,由两点之间线段最短由两点之间线段最短及三角形中
13、任意两边之和都大于第三边可知及三角形中任意两边之和都大于第三边可知,点点P为为AB连连线与线与l的交点的交点;点点P到两定点距离之和的最小值为到两定点距离之和的最小值为|AB|的长的长度度,如图如图. |PA|+|PB|AB|=|PA|+|PB|. 当且仅当当且仅当A,B,P三点共线时等式成立三点共线时等式成立. 返回目录返回目录 当两定点当两定点A,B在直线在直线l的同侧时的同侧时,作点作点A关于直线关于直线l的对的对称点为称点为A.连结连结AB交直线交直线l于点于点P,则点则点P到两定点到两定点A,B的距离的距离之和最小之和最小. (2)在直线在直线l上求一点上求一点P,使使P到两定点的距
14、离之差的绝对到两定点的距离之差的绝对值最大值最大. 返回目录返回目录 当两定点当两定点A,B在直线在直线l的同侧时的同侧时(AB连线与连线与l不平行不平行),连结连结A,B两点所在的直线两点所在的直线,交直线交直线l于点于点P.如图如图,在在l上任取一点上任取一点P,则有则有 当当|PB|-|PA|AB|=|PB|-|PA|, 当当P与与P两点重合时两点重合时,等号成立等号成立,最大的值为最大的值为|AB|.重合时重合时,等号成立等号成立,最大值为最大值为|AB|. 当两定点当两定点A,B在直线在直线l的异侧时的异侧时,作点作点A关于直线关于直线l的的对称点对称点A,连结连结AB,交交l于点于
15、点P,如图可知如图可知, |PB|-|PA|=|AB|时时,达到最大达到最大. 在在l上任取一点上任取一点P,则则 |PB|-|PA|AB|, 当当P点与点与P点重合时点重合时,等号成立等号成立,最大值为最大值为|AB|.返回目录返回目录 已知点已知点A(3,1)，在直线，在直线xy0和和y0上分别有点上分别有点M和和N使使AMN的周的周长最短，求点长最短，求点M、N的坐标的坐标规律方法总结规律方法总结(2)直线关于点的对称，其主要方法是：直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用再利用l1l2，由点斜式得到所求直线方程，由点斜式得到所求直线方程
