1、3.3典型测试系统的动态特性弹簧阻尼系统)()()(1txktkydttdyc举例：一个弹簧阻尼系统 根据动力学分析，建立运动方程是一个典型的一阶系统。将此公式左右作富里叶变换得：)()()(1XkkYjcY一阶系统频率响应函数kjckXYjH)()()()(1该系统的频响函数为kkjkc111系统灵敏度将此式作归一化处理1 1jjH一阶系统频率响应函数 211jHA 由于 是复数，它可以分解为幅值和相位两方面表达，其模 称为系统的幅频特性；其相角 称为系统的相频特性，它们都是频率 的函数。)(jH)(jH)( arctg由此二公式绘制出该系统的幅频特性曲线和相频特性曲线一阶系统频率特性 幅频
2、特性曲线 相频特性曲线Bode图Bode图：幅值坐标用分贝数，频率坐标用对数分度绘制的幅频特性和相频特性曲线，称为 Bode图。 实、虚频率特性频率特性)(jH 是复数，可以表达为： 式中 是 的实部 是 的虚部 和 都是 的实函数。 )Im()Re()(jjH)Re()(jH)(jH)Im()Re()Im(211Re21ImNyquist（奈奎斯特）曲线 将实部作横坐标，虚部作纵坐标绘制出 对 的曲线，并分别在曲线上注明相应的频率，所得的曲线称为幅相频特性曲线，常称为Nyquist（奈奎斯特）曲线。)Re()Im(A A 由图可见，在某一 时，向径 的长度代表了频响函数 在频率为 下的模 ，
3、而 与横坐标轴的夹角代表了频响函数 在该频率下的相角Nyquist（奈奎斯特）曲线iOA)(jHi)(ijHOA)(jH)(i质量弹簧阻尼系统)()()()(122txktkydttdycdttydm)()()()(12XkkYjcYjmY交变力位移响应阻尼弹簧F举例：一个质量弹簧阻尼系统 根据动力学分析，建立运动方程F是一个典型的二阶系统。F将此公式左右作富里叶变换得：F该系统的频响函数为F令 系统的固有角频率F 系统的阻尼率F 系统的灵敏度质量弹簧阻尼系统kjcjmkXYjH)()()()()(21mknkmc2kkS1质量弹簧阻尼系统SjSjjHnnnnn2112)(222nnjjH21
4、1)(2系统灵敏度系统固有角频率F则上式就成为：F将此式作归一化处理由此二公式可绘制出该系统的幅频特性曲线和相频特性曲线质量弹簧阻尼系统2222411)(nnjH212)(nnarctg频率特性频率特性阻尼率固有频率 幅频特性曲线 相频特性曲线Bode图F 是复数，可以表达为：F式中 是 的实部 F 是 的虚部 F 和 都是 的实函数。 实、虚频率特性频率特性)(jH)Im()Re()(jjH)Re()(jH)(jH)Im()Re()Im(22222411)Re(nnn实频特性实、虚频率特性频率特性2222412)Im(nnn虚频特性实频曲线虚频曲线Nyquist（奈奎斯特）曲线F信号通过系统
5、在时域内所得的响应（输出）是输入信号与系统的脉冲响应函数的卷积；在频域内响应信号的频谱函数是输入信号的频谱函数与系统的频响函数的乘积。F因为 与 一般均为复数，皆可表达为信号通过系统的时频域响应信号通过系统的时频域响应)()()(jHXY)(jH)(X)()()(xjeXX)()()(jejHjH信号通过系统的时频域响应信号通过系统的时频域响应)()()(jHXY)()()()()()(jjjejHeXeYxy)()()(jjjeeexy)()()(xy（幅值相乘）(相位相加相位相加)F所以F此时可分辨表达为幅值运算和相位运算F即举例nnjjH5.011)(225. 022225.011)(n
6、njHF举例：一检测系统为二阶线性系统，其频响函数为F则其响应的幅频特性为举例215.0)(nnarctg系统的冲激响应系统的冲激响应h(t)系统的幅相频特性系统的幅相频特性其相频特性为举例)64cos(2 . 0)2cos(5 . 0)2cos()(000ttttx6输入信号的幅相频特性输入信号的幅相频特性输入信号为：举例6)()()(thtxty则输出信号举例61.282.00.326-0.9-0.1)()()(jHXY)()()(xy频域计算则为幅频相乘，相频相加。举例方波通过不同频响系统后波形变化方波通过不同频响系统后波形变化 1 16方波通过不同频响系统后波形变化方波通过不同频响系统
7、后波形变化 2 26输入方波通过不同频响系统后波形变化方波通过不同频响系统后波形变化 3 36输入方波通过不同频响系统后波形变化方波通过不同频响系统后波形变化 4 46输入方波通过不同频响系统后波形变化方波通过不同频响系统后波形变化 5 5测试与检测技术基础6输入F描述系统动态特性更为广泛的函数是传递函数描述系统动态特性更为广泛的函数是传递函数F传递函数的定义是初始条件为零时系统输出信传递函数的定义是初始条件为零时系统输出信号的拉普拉斯变换号的拉普拉斯变换(拉氏变换拉氏变换)与输入信号的拉与输入信号的拉氏变换之比，记为氏变换之比，记为F式中式中 为输出信号的拉氏变换为输出信号的拉氏变换F 为输
8、入信号的拉氏变换为输入信号的拉氏变换Fs为拉氏变换算子为拉氏变换算子F 和和 皆为实变量皆为实变量频响函数与传递函数频响函数与传递函数6)(sH)()()(sXsYsH)(sY0)()(dtetysYst0)()(dtetxsXst)(sX, 0,js频响函数与传递函数频响函数与传递函数F传递函数表示了系统的输入信号与输出信号传递函数表示了系统的输入信号与输出信号之间在复数域内的关系。即代表输入信号在之间在复数域内的关系。即代表输入信号在复数域经传递函数的加工而形成复数的输出复数域经传递函数的加工而形成复数的输出信号。是系统数学模型的一种表示方法。信号。是系统数学模型的一种表示方法。F对于一个
9、线性系统，表达输出与输入信号的微对于一个线性系统，表达输出与输入信号的微分方程是：分方程是：F在在零初始条件零初始条件下，即下，即 时时 。F则其传递函数可分别对上式两边求拉氏变换求则其传递函数可分别对上式两边求拉氏变换求得得频响函数与传递函数频响函数与传递函数)()()()()()()()(0111101111txbdttdxbdttxdbdttxdbtyadttdyadttydadttydammmmmmnnnnnn 0t0)(, 0)(tytx01110111)()()(asasasabsbsbsbsXsYsHnnnnmmmm F传递函数和频响函数均可描述系统，但它们传递函数和频响函数均可
10、描述系统，但它们各自表达不同的物理含义，因此应用在不同场各自表达不同的物理含义，因此应用在不同场合合F如一正弦信号（单一频率）如一正弦信号（单一频率） 输入到一个一阶系统，一阶系统的运动微分方输入到一个一阶系统，一阶系统的运动微分方程为程为F将将 代入后可求解出微分方代入后可求解出微分方程程 频响函数与传递函数频响函数与传递函数6)0(sin)(tttx)()()(1txktkydttdyc)0(sin)(tttx频响函数与传递函数频响函数与传递函数6)()()(cos)sin()(1)(21/2tytyAetStys2)(1)(SA)sin()(1ttycos)(/2tety衰减项式中式中F
11、若将此信号输入到一个二阶系统，此二阶系统若将此信号输入到一个二阶系统，此二阶系统微分方程若为微分方程若为 F将将 代入求解得代入求解得F式中式中 频响函数与传递函数频响函数与传递函数6)()()()(122txktkydttdycdttydmttxsin)()()()(sincos)()sin()(211tytyAtktketAtyddtn)(sin)(1ttysincos)(12tktketyddtn衰减项F由前面系统时域响应两个公式来看，无论一阶由前面系统时域响应两个公式来看，无论一阶还是二阶系统，其时域响应均可认为是由衰减还是二阶系统，其时域响应均可认为是由衰减项项 或或 与不衰减项与不
12、衰减项 或或 组成。衰组成。衰减项称为瞬态过程，不衰减项称为稳态过程减项称为瞬态过程，不衰减项称为稳态过程频响函数与传递函数频响函数与传递函数6)(2ty)(2ty)(1ty)(1tyF从另外的从另外的“域域”来讨论同样问题：若输入信号来讨论同样问题：若输入信号的拉氏变换和富里叶变换分别为的拉氏变换和富里叶变换分别为F 拉氏变换拉氏变换F 富里叶变换富里叶变换F可以证明，正弦函数的拉氏变换与单边正弦信可以证明，正弦函数的拉氏变换与单边正弦信号的富里叶变换相等，即号的富里叶变换相等，即F即即频响函数与传递函数频响函数与传递函数6)(sin)(sXttx)(sin)(Xttx00sinsindtt
13、edttetjst)()(XsX)0( tF将输出信号总括成将输出信号总括成F对它求拉氏变换得对它求拉氏变换得F由于由于 均为一正弦函数，故均为一正弦函数，故F则则频响函数与传递函数频响函数与传递函数6)()()()(21tytyAty稳态过程瞬态过程)()()()(21sYsYAsY)(1ty)()(11YsY)()()()(21sYYAsY稳态过程瞬态过程频响函数与传递函数频响函数与传递函数6)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2212121sXsYAjHsXsYXYAsXsYsXYAsXsYYAsXsYsH重要结论瞬态过程传递函数稳态过程频
14、响函数系统的传递函数为：系统的传递函数为：6F频响函数的含义是一系统对输入与输出皆为正频响函数的含义是一系统对输入与输出皆为正弦信号传递关系的描述。它反映了系统稳态输弦信号传递关系的描述。它反映了系统稳态输出与输入之间的关系，也称为正弦传递函数。出与输入之间的关系，也称为正弦传递函数。F传递函数是系统对输入是正弦信号，而输出是传递函数是系统对输入是正弦信号，而输出是正弦叠加瞬态信号传递关系的描述。它反映了正弦叠加瞬态信号传递关系的描述。它反映了系统包括稳态和瞬态输出与输入之间的关系。系统包括稳态和瞬态输出与输入之间的关系。F如只研究稳态过程的信号，则用频响函数来分如只研究稳态过程的信号，则用频响函数来分析系统。如研究稳态和瞬态全过程信号，则用析系统。如研究稳态和瞬态全过程信号，则用传递函数来分析系统。传递函数来分析系统。重要结论
