1、 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限例例4在空间直角坐标系中，指出下列各在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？点在哪个卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 , 3, 2
2、( D解答：解答：A:; B:; C:; D:;空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C坐标系可表示向量借助空间直角注意:kzORj yPAOQ,:i xOP如2.向量向量 的坐标分解式的坐标分解式任给向量任给向量 ，对应点，对应点M，使，使OM),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0
3、 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC以以OM为对角线，三条坐标轴为棱作长方体为对角线，三条坐标轴为棱作长方体OPAQRCMB，有：有：kzj yi xAMPAOPOM1.13 ,( , , ),( , , );,( , , ),( , , ).xiyjzkxi yj zkx y zx y zOMx y zMM x y z 定义若向量 的坐标分解式为则称为向量 沿三个坐标轴方向的分向量三元有序数组称为向量 的坐标 记作若也称为点的坐标记作.)(,:一一对应的关系与三元有序数组之间有或点空间的向量系下在给定的空间直角坐标结论)3 , 1,10(),3, 2 , 1 (:521MM例) 3 ,
4、 1,10(310),3, 2 , 1 (3221kjiOMkjiOM则)6 , 3,11(6311)32()310(1221kjikjikjiOMOMMM 1M 2M空间任给两个点空间任给两个点M1 ,M2的坐标的坐标,可可 得空间向量得空间向量M1M2的坐标形式的坐标形式.1.2.2 利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算,zyxaaaa 设,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 则则向量的运算可
5、用代数的方法讨论借助向量的坐标分解式说明,:解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，ABMxyzo例例6 6 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为两已知为两已知点，而在点，而在AB直线上的点直线上的点M分有向线段分有向线段AB为为两部分两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数，使它们的值的比等于某数)1( ，即，即 MBAM，求分点的坐，求分点的坐标标. 由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy
6、,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 1.2.3 向量的模与方向余弦向量的模与方向余弦),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxCOMzyx作设向量向量的模),(:. 1222|:zyx的模为向量由右图知|:|.),(|),(),(121212222111ABABzzyyxxABABBAzyxBzyxA即的模向量就是之间的距离与点则点设空间两点212212212)()()(zzyyxx空间两点间距离公式空间两点间
7、距离公式例例 7 7 求证以求证以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.例例 8 8 设设P在在x轴轴上上， 它它到到)3 , 2, 0(1P的的距距离离为为到到点点)1, 1 , 0(2 P的的距距离离的的两两倍倍，求求点点 P的的坐坐标标. 解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,
8、(x因为因为P在在x轴上，轴上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 例例 9 9 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的单单位位向向量量的的分分解解式式. 解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |0aaa) ,116117116(kji2. 空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.
9、特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. , 0 a, 0 bab称称为为向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角,记记作作 ),(ba),(ab 定义定义2.1.15 设有两个非零向量设有两个非零向量规定不超过规定不超过的的)0 ,(AOBAOB 设空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在
10、在轴轴u上的投影分别为上的投影分别为BA ,那那么轴么轴u上的有向线段上的有向线段BA 的的值，称为向量在轴值，称为向量在轴u上的投影上的投影.ABjuPr.BA 向量向量AB在轴在轴u上的投影记为上的投影记为关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦：ABjuPr cos| AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影
11、相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 注意注意: :1.1.向量向量 在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的投影分别为投影分别为数量数量 zyx,2.2.向量向量 在三个坐标轴上的分量是在三个坐标轴上的分量是向量向量 kzj yi x,3.3.向量向量 在向量在向量 上的投影为上的投影为 cos|PrAOjxOAA非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的非零向量与三条坐标轴的正向正向的夹角称为方向角的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 3.向量的方向余弦的坐标表示式向量的方向余弦的坐标表示式),(21zyxaa
12、aMMaxyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知cos|Pr21aMMjaoxxcos|Pr21aMMjaoyycos|Pr21aMMjaozz向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .PQR0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征|aa.cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为)cos| ,cos| ,
13、cos|(|),(,rrrzyxrr即余弦表示都可以用它的模与方向任何向量解解eABABBA方向相同的单位向量并求与方向余弦和方向角的模计算向量已知两点例,),0 , 3 , 1 (),2, 2 , 2(.10)2, 1 , 1()20 , 23 , 21 (AB2)2(1) 1(|222AB)cos,cos,(cos)22,21,21(|ABAB)22,21,21(;43,3,32e例例 1 11 1 设设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x轴轴上上的的投投影影及及在在y轴轴上上的的分分向向量量. 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.思考题思考题 设设jim ，kjn 2，求以向量，求以向量nm,为边的平行四边形的对角线的长度为边的平行四边形的对角线的长度.思考题解答思考题解答对角线的长为对角线的长为|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平平行行四四边边形形的的对对角角线线的的长长度度各各为为11, 3.mn
