1、X系统数学模型的时域表示 时域分析方法时域分析方法: :不涉及任何变换，直接求解不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。础。 元一阶微分方程元一阶微分方程状态变量描述状态变量描述阶微分方程阶微分方程一元一元输入输出描述输入输出描述 : :NN本课程中我们主要讨论本课程中我们主要讨论输入、输出描述法输入、输出描述法。X系统分析过程 变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求零零输输入入双双零零
2、法法经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程:,:经典法经典法: :前面电路分析课里已经讨论过，但与前面电路分析课里已经讨论过，但与 (t)有关的问题有待进一步解决有关的问题有待进一步解决 h(t)；卷积积分法卷积积分法: : 任意激励下的零状态响应可通过任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。冲激响应来求。( (新方法新方法) )X本章主要内容线性系统完全响应的求解；线性系统完全响应的求解；冲激响应冲激响应h(t)的求解；的求解；卷积的图解说明；卷积的图解说明；卷积的性质；卷积的性质；零状态响应：零状态响应： 。 thtfty zsX主要内容
3、物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法X一物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程来描述。来描述。X二微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是根据元件特性约束元件特性
4、约束和和网络拓扑网络拓扑约束约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。 元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。X三n 阶线性时不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之间之间的关系，可以用下列形式的微分方程式
5、来描述的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述)(te)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为均为常数，此方程为常系数的常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。X四求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：分析系统的方法：列写方程，求解方程。列写方程，求解方程。 变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解
6、零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求解解零零输输入入应应零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程: ,:求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：就是：齐次解齐次解+特解。特解。 X 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应，响应为为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件 0t齐次解：齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式 nktkkA1e 注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解：解：根据微分方程右端函
7、数式形式，设含待定系根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程代入原方程，比较系数，比较系数 定出特解。定出特解。1122d)0(d,d)0(d,d)0(d, )0( nntrtrtrr 初始条件的初始条件的确定确定是此课程要解决的问题。是此课程要解决的问题。经典法kA全全 解：解：齐次解齐次解+特解，由特解，由初始条件初始条件定出齐次解定出齐次解 。X几种典型激励函数相应的特解激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解)(常常数数E)(常常数数Bpt1121 ppppBtBtBtBt etB e t cos t sin tBtB sinc
8、os21 tttp sine tttp cose tDtDtDtDtBtBtBtBtpppptpppp sinecose11211121 X例2-2-1电感电感电阻电阻 tvRtiR1 d1 tLvLti电容电容 ttvCtiCdd 根据根据KCL titititiCLRS 代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。 求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。 tv tis tisRRiLLiCciab tv
9、X这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。可以用高阶微分方程表示。 例2-2-2msFf机械位移系统，质量为机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧的刚体一端由弹簧 tv牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为擦力为 ，外加牵引力为，外加牵引力为 ，其外加牵引力，其外加牵引力 与与刚体运动速度
10、刚体运动速度 间的关系可以推导出为间的关系可以推导出为 tFSf tFS ttFtkvttvfttvmddddddS22 kX例2-2-3 的的齐齐次次解解。求求微微分分方方程程tetrtrttrttrt 12dd16dd7dd2233系统的特征方程为系统的特征方程为 01216723 0322 3 , 221 重重根根 tthAAtAtr33221ee 特征根特征根因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为X例2-2-4 如果已知：如果已知： 分别求两种情况下此分别求两种情况下此方程的特解。方程的特解。 tettetrttrttr dd3dd2dd22 ,e 2 ; 12ttette 给定微分方程
11、式给定微分方程式 3221pBtBtBtr 为使等式两端为使等式两端 ,2 , 122tttte 得得到到代代入入方方程程右右端端将将平衡，试选特解函数式平衡，试选特解函数式 将此式将此式代入方程代入方程得到得到 为待定系数。为待定系数。这里这里321, , BBB ttBBBtBBtB2322 34323212121 X等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 032223413321211BBBBBB联解得到联解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以，特解为所以，特解为 271092312p tttrX 这里，这里，B是待定系数。是待定系数。 代
12、入方程后有：代入方程后有： 。可可选选很很明明显显时时当当ttBtrtee , ,e tttttBBBeee3e2e 31 B。于于是是，特特解解为为te31 相相加加即即得得方方程程的的完完全全解解和和特特解解上上面面求求出出的的齐齐次次解解trtrph trAtrnitip1ie (2)X例2-2-5 时的变化。时的变化。在在方程并求解方程并求解的微分的微分。建立电流。建立电流转向转向由由时时达到稳态。当达到稳态。当的位置而且已经的位置而且已经处于处于开关开关给定如图所示电路，给定如图所示电路，0)()(21S01S0 ttititt21S ti V4 te V2 teF1 C 11R t
13、iC tiLH41 L 232RX根据电路形式，列回路方程根据电路形式，列回路方程 tetvtiRC 1 2ddRtititLtvLLC 列结点电压方程列结点电压方程 titvtCtiLC dd , tvC先消去变量先消去变量 , 把把电电路路参参数数代代入入整整理理得得再再消消去去变变量量tiL tetettettitittit4dd6dd10dd7dd2222 (1)（1）列写电路的微分方程X(2)求系统的完全响应系统的特征方程系统的特征方程01072 052 即即特征根特征根5 , 221 齐次解齐次解 0 ee5221tAAtitth V4 0 tet时时由于由于 , , 44pBti
14、 因因此此令令特特解解4410 B581016 B方程右端自由项为方程右端自由项为代入式代入式(1)(1)要求系统的完全响应为要求系统的完全响应为 0 58ee5221tAAtitt特解特解X(3) 0dd0iti和和确确定定换换路路后后的的 A5420021 RRiiL 00dd it V56V23540 Cv换路前换路前21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232RX A514A5641100101 CveRi s/A20dd0dd10dd1 CvtetRit因而有因而有 :0dd0 iti和和换换路路后后的的由于电容两端电压和电感中的电流不会发生
15、突变由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, ,21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232RX(4) 时时的的完完全全响响应应在在求求 0tti 的表示式的表示式由由 ti 2520dd5145802121AAitAAi求得求得要求的完全响应为要求的完全响应为 1523421AA 0 581523452tAeetitt电容电压的突变电容电压的突变电感电流的突变电感电流的突变冲激函数匹配法确冲激函数匹配法确定定初始条件初始条件X)0()0()0()0( LLCCiivv我们来进一步讨论我们来进一步讨论 的条件。的条件。 一起始点的跳变 0t 112
16、2d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr状态、起始状态状态、起始状态 0O 0 0t导出的起始状态导出的起始状态状态、初始条件、状态、初始条件、 0 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrrX当系统用微分方程表示时，系统从当系统用微分方程表示时，系统从 到到 状态有状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及及其各阶导数项。其各阶导数项。 0 0 t 说明一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中
17、的换路定则换路定则： .00 ,00 LLCCiivv 0对于一个具体的电网络，系统的对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中状态就是系统中储能元件的储能元件的储能情况储能情况; ; 00 到到但是当有但是当有冲激电流冲激电流强迫作用于电容或有强迫作用于电容或有冲激电压冲激电压强迫强迫作用于电感，作用于电感， 状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。 X1电容电压的突变由伏安关系由伏安关系 tCCiCtv d)(1)( tCCCiCiCiC0000d)(1d)(1d)(1 tCCCiCiCv000d)(1d)(1)0( 0d)(1)0()0(,000 CCCiCvvt令令为有限值为有限值如果如
18、果)(tic, 0d)(00 Ci ttic 为为如果如果)(，CiCC1d)(100 )0()0( CCvv此时此时CvvCC1)0()0( 此时此时当有冲激电流当有冲激电流或阶跃电压作或阶跃电压作用于电容时：用于电容时：)0()0( CCvvC)(tvC)(tiCX例2-3-1EvC )0(0)0( Cv)(d)(d)(tCEttvCtiCC 电流为冲激信号。电流为冲激信号。C)(tvC)(tiC)(tEuX2电感电流的突变 tLLvLti d)(1)( 00d)(1)0()0( LLLvLii)(tiL)(tvLL)0()0( LLii此时此时 0d)(00， Lv如果为有限值，如果为有
19、限值，)(tvL，为为如果如果 )()(ttvL 00 , 1d)(100LLLiiLvL此时此时 冲激电压或阶冲激电压或阶跃电流作用于跃电流作用于电感时：电感时：)0()0( LLiiX例2-3-2)(tiL)(tvLL)(stuIttiLtvLLd)(d)( ttLILiiLLd)(1)0()0(00s s)0(IiL )( d)(dsstLIttvIL X配平的原理：配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的时刻微分方程左右两端的(t)及各阶及各阶导数应该平衡导数应该平衡( (其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）可以不管其他项） tt
20、rtrt 33dd 0,0rr求求已知已知例例： 三冲激函数匹配法确定初始条件该过程可借助该过程可借助数学描述数学描述 ttrtrdtd 33 tt 33 t 3 t 9 t 9 tu 93 X在在 中中 时刻有时刻有 tr0 t tu 9分析 t 3方程右端含方程右端含 tttr 3dd中必含中必含 ttr 3中包含中包含 t 方程右端不含方程右端不含 ttrtttr 939dd中的中的以平衡以平衡必含必含 900 rr 900 rr即即中的中的 trtdd t 9 表示表示 到到 的相对跳变函数，所以，的相对跳变函数，所以， tu 0 0X 可可知知由由方方程程ttrtrt 33dd 项，
21、项，方程右端含方程右端含t trtdd它一定属于它一定属于数学描述 tubtatr ttubtatuctbta 333 900 brr tuctbtatrt dd设设则则代入方程代入方程得出得出所以得所以得 900 rr即即 03033bcaba 993cba即即X例2-3-3 。和和用冲激函数匹配法求用冲激函数匹配法求和和如图，已知如图，已知输入输入的微分方程为的微分方程为描述描述 0dd0, 00dd540 )(4dd6dd10dd7dd LTIS2222rtrrtrtetetettettrtrttrt（1）将）将e(t)代入微分方程，代入微分方程，t0得得 trtrttrt10dd7dd
22、22 tutt 8122 te24OtX(2)方程右端的冲激函数项最高阶次是方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而有，因而有 t tuatrtubtatrttuctbtatrt dddd22)00( t trtrttrt10dd7dd22 tutt 8122 代入微分方程代入微分方程 tuatubtatuctbta 107 tutt 8122 X 81071272abcaba求得求得 20dd0dd20dd0dd2002222crtrtbrtrtarr状状态态为为要要求求的的 0因而有因而有 20dd20dd514542020rtrtrr起始状态与激励源的等效转换起始状态与激励源的等效转换系统
23、响应划分系统响应划分对系统线性的进一步认识对系统线性的进一步认识X一起始状态与激励源的等效转换在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。即可以将原始储能看作是激励源。电容的等效电路电容的等效电路电感的等效电路电感的等效电路外加激励源外加激励源系统的完全响应系统的完全响应共同作用的结果共同作用的结果可以看作可以看作起始状态等效激励源起始状态等效激励源系统的完全响应系统的完全响应 = =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应( (线性系统具有叠加性线性系统具有叠加性 ) )X电容器的等效电路 tCCiCtv
24、 d)(1)( tCCiCiC00d)(1d)(1 tCCtiCv00d)(1)0( C)(tvC)(tiC0, 0)0( tvC电路等效为起始状态为零的电容与电压源电路等效为起始状态为零的电容与电压源 的的串联串联 tuvC)0( 等效电路中的等效电路中的电容器的起始电容器的起始状态为零状态为零C)(tvC)(tiC)0(CvX tLLvLti d)(1)( tLLvLvL00d)(1d)(1 )(tiL )(tvLL)0( d)(1)0(0 tvLitLL 故电路等效为起始状态为零的电感故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源和电流源的并联。的并联。)()0(tuiL 电感的等效电路0 0
25、)0( tiL，)(tiL)(tvLL)0( LiX二系统响应划分自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state)X 也称固有响应，由系统本身特性决定，与也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。外加激励形式无关。对应于齐次解。 形式取决于外加激励。对应于特解。形式取决于外加激励。对应于特解。 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分
26、，随着时间暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。增加，它将消失。 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。响应分量。 没有外加激励信号的作用，只由起始状没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。 (1)(1)自由响应：自由响应：(2)(2)暂态响应：暂态响应：稳态响应：稳态响应：强迫响应：强迫响应：(3)(3)零输入响应
27、：零输入响应：零状态响应：零状态响应：各种系统响应定义X 系统系统零输入响应零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值由非零的系统状态值 决定的初始值求出决定的初始值求出待定系数待定系数。 00LCiv和和 系统系统零状态响应零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值次解，由状态值 为零决定的初始值求出待为零决定的初始值求出待定系数定系数。 00LCiv和和 求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷卷积积分法积积分法。 t 线线性性时时不不变变系系统统 t
28、h te th tr求解系统的零状态响应系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即激励与系统冲激响应的卷积，即 thtetr X三对系统线性的进一步认识由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。(1)(1)响应可分解为：响应可分解为：零输入响应零状态响应。零输入响应零状态响应。(2)(2)零状态线性：零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。应对于各激励信号呈线性。(3)(3)零输入线性：零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线
29、性。于各起始状态呈线性。 X例2-4-1 )()2sin(e2)()()(3zszi1tuttrtrtrt )()2sin(2e )(2)()(3zszi2tuttrtrtrt X解（续）)()()(0zszi3ttrtrtr )()22sin(e)(e300)(330ttutttuttt )(5 . 0)(2)(zszi4trtrtr tuttutt2sine5 . 0e3233 解得解得)(e3)(3zitutrt )()2sin(e)(3zstuttrt tutt2sin5 . 0e5 . 53 冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应X系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的作用下产
30、生的零状态零状态响应，响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。表示。 一冲激响应1定义 2一阶系统的冲激响应)(t 3n阶系统的冲激响应H t thX响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)3n阶系统的冲激响应(1)冲激响应的数学模型)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 对于线性时不变系统对于线性时不变系统, ,可以用一可以用一高阶微分方程高阶微分方程表示表示 )()()()()()()()(111
31、1011110tEtEtEtEthCthCthCthCmmmmnnnn 激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为m次次)令令 e(t)= (t) 则则 r(t)=h(t)X(2)h(t)解答的形式设特征根为简单根（无重根的单根）设特征根为简单根（无重根的单根）)(e)(1tuAthnitii 由于由于 及其导数在及其导数在 时都为零，因而方程式右时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。解的形式相同。 t 0t 及其各阶导数。及其各阶导数。应包含应包含时，时，当当；中应包含中应包含时，时，当
32、当及其各阶导数；及其各阶导数；不含不含时，时，当当tthmntthmntthmn 与与n, m相对大小有关相对大小有关 与特征根有关与特征根有关X二阶跃响应 系统的输入系统的输入 ，其响应为，其响应为 。系统。系统方程的右端将包含阶跃函数方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，所以除了齐次解外，还有还有特解项特解项。 tute tgtr tu我们也可以根据线性时不变系统特性，利用我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与冲激响应与阶跃响应关系阶跃响应关系求阶跃响应。求阶跃响应。 系统在单位阶跃信号作用下的系统在单位阶跃信号作用下的零状态零状态响应，称为单响应，称为单位阶跃响应，简称
33、阶跃响应。位阶跃响应，简称阶跃响应。1定义 H te trH tu tgX2阶跃响应与冲激响应的关系 tt0,对因果系统：对因果系统：积分，注意积分限：积分，注意积分限：阶跃响应是冲激响应的阶跃响应是冲激响应的线性时不变系统满足线性时不变系统满足微、积分微、积分特性特性 ttttud)()( ttthtgd)()(X三齐次解法求冲激响应（补充）左端最高阶微分中含有左端最高阶微分中含有 (t)项项(n-1)阶微分中含有阶微分中含有u(t)项。项。可以由此可以由此定初始条件定初始条件 )()(d)(dd)(d0111tthatthatthnnnnn 0)0()0()0()0(, 1)0()2()1
34、( nnhhhhh令方程左端系数为令方程左端系数为1，右端右端只有一项只有一项 (t)时，冲激响应为时，冲激响应为 th此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。有优越性。X求冲激响应的几种方法方法方法1：冲激函数匹配法求出：冲激函数匹配法求出 跃变值，定系数跃变值，定系数A。方法方法2：奇异函数项相平衡法，定系数：奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法方法3: 齐次解法求冲激响应。齐次解法求冲激响应。 00X总结冲激响应的冲激响应的求解求解至关重要。至关重要。冲激响应的定义冲激响应的定义零状态；零状态；单位冲激信号单位冲激信号作用下，
35、系统的响应为冲激响应。作用下，系统的响应为冲激响应。冲激响应说明：冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励下加同样的激励 ，看响应，看响应 ， 不同，说明其不同，说明其系统特性不同，系统特性不同，冲激响应冲激响应可以衡量系统的特性。可以衡量系统的特性。 t )(th)(th用用变换域变换域( (拉氏变换拉氏变换) )方法求方法求冲激响应和阶跃响应简冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。X定初始条件系统是零状态的，故系统是零状态的，故 tttthatthatthnnnd)(d)(
36、dd00000001100 10011 nnhh 000021 hhhnn 101 nh 000032 hhhnn积分积分方程两端在方程两端在 00 th由系统的线性时不变特性，原系统的冲激响应由系统的线性时不变特性，原系统的冲激响应 为为 .的的线线性性组组合合 th积分积分为为1 1有界函数，在无穷有界函数，在无穷小区间积分为小区间积分为0 0含含 ( (t) )项项积分不为积分不为0 0X例2-5-1 一阶系统的冲激响应)()(d)(dttvttvRCCC 列系统微分方程：列系统微分方程：)(t C )(tvC)(tiCR求下图求下图RC电路的冲激响应。电路的冲激响应。 （条件：（条件：
37、 ） 00 Cv0)(d)(d tvttvRCCC冲激冲激 在在 时转为系统的储能（由时转为系统的储能（由 体现），体现），t 0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响应。的冲激响应。 t 0 t)0( Cv 0, 0 tt 齐次方程齐次方程X特征方程特征方程01 RC特征根特征根RC1 时的解时的解 0 )(e)( ttuAtvRCtC求解下面的问题是确定系数下面的问题是确定系数A, ,求求A有两种方法：有两种方法：方法方法2 2：奇异函数项相平衡法，定系数奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法方法1 1：冲激函数匹配法求出冲激函数匹配
38、法求出 ，定系数，定系数A。)0( Cv)(e1)(1tuRCtvtRCC )(e1)(1tuRCthtRC 即即:波形波形RCA1 X波形 )(e1)(1tuRCtvthtRCC )(1)(e1d)(d)(12tRtuCRttvCtitRCCC )()(thtvC tRC1Ot R1CR21 )(tiCO电容器的电流在电容器的电流在 t =0时有一冲激，时有一冲激，这就是电容电压突这就是电容电压突变的原因变的原因 。注意！注意！X方法1：求据据方程方程可设可设代入方程得代入方程得 ttuatuRCbtRCa 得出得出RCaRCa1 1 即即所以所以 RCAAttRCCC1e01 得得代代入入
39、把把 tuRCttRCC1e1 tuattubtattCC dd 0Cv RCRCCC1100 X方法2：奇异函数项相平衡原理)()(d)(dttvttvRCCC )(e)(tuAtvRCtC )(e)(d)(d1tuRCAtAttvtRCC 代入原方程代入原方程)()(e)()(e1ttuAtRCAtuARCRCRCtRCt )()(ttRCA 整理，方程左右奇异函数项系数相平衡整理，方程左右奇异函数项系数相平衡 已知方程已知方程冲激响应冲激响应求导求导注意注意！RCARCA1 1 X例2-5-2解：解：)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tttthtthtth 求特征根求特征根3,
40、1034212 冲激响应冲激响应)()ee()(321tuAAthtt 求系统求系统 的冲激响应。的冲激响应。 )(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tettetrttrttr mnmn , 1, 2 中中不不包包含含冲冲激激项项th将将e(t) (t)，r(t)h(t)带带u(t)求待定系数求待定系数求求0 0+ +法法, ,奇异函数项相平衡法奇异函数项相平衡法X求0+定系数 20,10 hh代入代入h(t),得得 212123010212121AAAAhAAh )(21)( 3tueethtt tuatrtubtattrtuctbtattr dddd 22设设X用奇异函数项相平衡法求待
41、定系数 )(ee)(321tuAAthtt )(e3e)()(e3e)(ee)( 32121321321tuAAtAAtuAAtAAthtttttt tuAAtAAtAAthtt e9e33212121 )(),(),(代代入入原原方方程程将将ththth )(2)()(0)(3)(2121tttutAAtAA 2121231212121AAAAAA )( ee21)(3tuthtt 根据系数平衡，得根据系数平衡，得X例2-5-3 )(ee)(321tuAAthtt 00 10 hh 2121013212121AAAAAA )(ee)(e21e21)(e23e21333tuttuthttttt
42、t )(ee213tutt 已知系统已知系统 ，求，求h(t) 。)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tettetrttrttr 将边界条件代入将边界条件代入 式式 th)(2d)(d)(thtthth 则由系统的线性时不变特性则由系统的线性时不变特性 )(ee21)(3tuthtt X系统框图系统框图)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tettetrttrttr tdd 2 22ddttr ttrdd te tr43tdd 2 22ddttr ttrdd te tr43 tdd 2 22ddttr ttrdd te tr 43 tr两个加法器两个加法器子系统交换子系统交换X卷积卷
43、积利用卷积积分求系统的零状态响应利用卷积积分求系统的零状态响应卷积图解说明卷积图解说明卷积积分卷积积分的的几点认识几点认识X一卷积（Convolution）积分积分和和设有两个函数设有两个函数),()(21tftf d21 tfftf tftftftftftf2121)( 或或，记为，记为的卷积积分，简称卷积的卷积积分，简称卷积和和称为称为)()(21tftf利用卷积可以求解系统的零状态响应。利用卷积可以求解系统的零状态响应。X二利用卷积求系统的零状态响应 d tete则响应为则响应为的的为为若把它作用于冲激响应若把它作用于冲激响应LTIS,)(th teHtr )(任意信号任意信号e(t)可
44、表示为冲激序列之和可表示为冲激序列之和 dteH dtHe d the这就是系统的零状态响应。这就是系统的零状态响应。 thtethtetr zsX三卷积的计算由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定积分限的确定是是非常关键的。非常关键的。借助于阶跃函数借助于阶跃函数u(t)确定积分限确定积分限利用图解说明确定积分限利用图解说明确定积分限X卷积的图解说明 用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定出定积分限积分限尤
45、为方便准确，用解析式作容易出错，最好将尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。两种方法结合起来。 d21 tfftf ),()(. 111积分变量改为积分变量改为ftf)()()()(. 22222 tffftf时延时延倒置倒置)()(. 321 tff相乘：相乘： d)(. )(. 421 tff乘积的积分：乘积的积分： tt)(t时时延延对对 的的函函数数积积分分结结果果为为t 再移动再移动倒置为倒置为的图形不动，的图形不动， 2221, ffffX四对卷积积分的几点认识(1)t ：观察响应的时刻，是积分的参变量；观察响应的时刻，是积分的参变量； : 信号作用的时刻，积分
46、变量信号作用的时刻，积分变量 从因果关系看，必定有从因果关系看，必定有 t(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容内容；即即d f( ) 是是h(t- )的加权，积分的加权，积分 f( ) 是是h(t- )的加权，求和的加权，求和 (t- )的响应的响应 d thetrX(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建建立了响应立了响应r(t)与激励与激励e(t)之间的关系。之间的关系。 (4)卷积是数学方法，也可运用于其他学科卷积是数学方法，也可运用于其他学科 。信号无起因时：信号无起因时：
47、 d)()()(thftg一般数学表示：一般数学表示： d)()()(21tfftg(5)积分限由积分限由 存在的区间决定，即由存在的区间决定，即由 的范围决定。的范围决定。 )(),(21tftf0)()(21 tffX总结求解响应的方法：求解响应的方法：时域经典法：时域经典法：双零法：双零法： thte 零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：完全解完全解=齐次解齐次解 + 特解特解解齐次方程，用初（起）始条件求系数；解齐次方程，用初（起）始条件求系数； X例2-6-11列写列写KVL方程方程 tetRittiL dd2 2冲激响应为冲激响应为)(e)(tutht d)(e)2()
48、(e)(21tuuut d)()2(ed)()(ee22 tuuetuutt d)()()( . 3theti 的零状态响应。的零状态响应。，求，求已知已知)( )2()(e)(2titututet )(tiH1 L 1R X4.4.定积分限（定积分限（关键关键） 10: 时存在，时存在，宗量宗量特点特点u 22002ttt )2(deedee)(2202 tututitttt )2(ee2)(ee2)1(22 tututttt 00 t)()( tuu d)()2(eed)()(ee22 tuutuutitt)()2( tuu 00tt X波形 2 ,ee220 , )ee (2)()1(2
49、tttitttt分段表示：分段表示：Ot th1Ot ti2Ot te12 )2()(e2 tutut)(etut X例2-6-2)30(2)(1011)(21 tttftttfOt tf1111 Ot tf2323O 2f3 23O tf223O 1f111 3 tt t ttXX浮动坐标O 231 1浮动坐标：浮动坐标：下限下限 上限上限t- -3t- -0 1f tf2t ：移动的距离：移动的距离t =0 f2(t- ) 未移动未移动t 0 f2(t- ) 右移右移t 0 f2(t- ) 左左移移 从左向右移动从左向右移动对应对应到到从从 tft2, 1f-113 t tf2XO 1f1
50、11 t -13 tt tf2两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二者乘积为0 0，即积分为，即积分为0 0 021 tff 021 tftftg1 tX-1 t 1O 1f111 3 tt tf2 向右移向右移 tf2 时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限积分下限- -1，上限，上限t ，t 为移动时间为移动时间;1 t d)()()(211 tfftgt d211 tt1422 t 41242 ttX1 t 2O 1f111 3 tt tf2 113tt即即1 t 2 tttg d21)(11X2 t 4O 1f111 3 tt tf2即即
