1、12 连续域连续域- -离散化设计离散化设计 在连续域设计控制律在连续域设计控制律D(sD(s) )，将，将D(sD(s) )离散化离散化 离散域设计离散域设计 将被控对象离散化，直接在离散域设计控制律将被控对象离散化，直接在离散域设计控制律 卡尔曼滤波器，预测控制，离散方程卡尔曼滤波器，预测控制，离散方程 经典设计方法经典设计方法 单输入单输入- -单输出系统，单输出系统，SISOSISO系统系统 根轨迹设计，频率域设计根轨迹设计，频率域设计35.2 5.2 数字数字PIDPID控制器设计控制器设计5.3 5.3 控制系统控制系统z z平面设计性能指标要求平面设计性能指标要求5.45.4 z
2、 z平面根轨迹设计平面根轨迹设计 5.5 w5.5 w变换及频率域设计变换及频率域设计4连续域连续域-离散化设计思想离散化设计思想 在连续域内已设计好控制律在连续域内已设计好控制律D(sD(s) ) 将将D(sD(s) )离散化离散化, ,便于计算机编程实现便于计算机编程实现1)1)充分利用对连续系统的分析和设计经验充分利用对连续系统的分析和设计经验2)2)离散化方法简单离散化方法简单, ,结论明确结论明确 飞控系统数字化飞控系统数字化, ,多变量复杂控制律实现多变量复杂控制律实现 利用各种变换利用各种变换,D(s),D(s)D(zD(z) )56连续：连续：离散：离散：经经ZOH后：后： Z
3、OH传递函数：传递函数： ()()()AujD jE j*1()()snEjE jjnT*()*()*()ujEjDj1()*()*()j TDeujEjDjj/21sin(/2)()e/2j Tj TZOHeTGjTjT/ 2sin(/2)()*()()/2j TDsnTujeDjE jjnT7sin(/2)1,/2TTT较小在低频段 一般动态系统有惯性，阻尼，低通特性，高频段幅值衰减大一般动态系统有惯性，阻尼，低通特性，高频段幅值衰减大 信号经信号经ZOHZOH，保留基本频谱，高频部分衰减大，保留基本频谱，高频部分衰减大/ 2()*() ()j TDujeDjE j()()() ()DAu
4、jujD jE j/ 2*()()j TDjeD j8第第1 1步：根据系统的性能，选择采样频率步：根据系统的性能，选择采样频率第第2 2步：考虑步：考虑ZOHZOH的相位滞后，设计数字控制算法等效传递的相位滞后，设计数字控制算法等效传递 函数函数D De e(s(s) )第第3 3步：选择合适的步：选择合适的离散化方法离散化方法，将，将DeDe( (s s) )离散化，获得脉离散化，获得脉 冲传递函数冲传递函数D D( (z z) )，使两者性能尽量等效使两者性能尽量等效。第第4 4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求，步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求， 进行下一步；
5、否则，重新进行设计。进行下一步；否则，重新进行设计。选择更合适的离散化方法选择更合适的离散化方法提高采样频率提高采样频率修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等第第5 5步：将步：将D D( (z z) )变为数字算法，在计算机上编程实现。变为数字算法，在计算机上编程实现。()(),( )(1/2) ( )j TeeD jD jeD ssTD s或9等效离散等效离散D(z) D(s)一阶向后差法一阶向后差法一阶向前差法一阶向前差法双线性变换法及修正双线性变换法双线性变换法及修正双线性变换法保持器等价法（阶跃响应不变法）保持器等价法（阶跃响应不变法）z变换法变换法
6、(脉冲响应不变法脉冲响应不变法) 10(1) (2) 带零阶保持器带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）变换法（阶跃响应不变法） 一阶保持器一阶保持器z变换法（斜坡响应不变法）变换法（斜坡响应不变法） 1 e( )( )sTD zZD ss ( )( )D zZ D s112. 一阶向后差分法一阶向后差分法(1)(1)离散化公式离散化公式11( )( )zsTD zD s实质：实质： ( )( )/( )1/ ,( )( )D sC sU ssc tu t dt( )/ ( )(1)/t kTdc tdtc kc kT( )(1)( )c kc kTu k1(1)/szT11zsT s与与z之
7、间的变换关系：之间的变换关系：（直接代入）（直接代入） 或：或： 总面积前总面积前k-1k-1步面积和当前面积步面积和当前面积 当前面积步长第当前面积步长第k k步的输入值步的输入值 1( )( )( )11C zTTzD zU zzz122. 一阶向后差分法一阶向后差分法(2)(2)主要特性主要特性若若D(s)稳定，则稳定，则D(z)一定稳定一定稳定串联特性，变换前后稳态增益不变，串联特性，变换前后稳态增益不变，。T大，离散后失真大大，离散后失真大111 (1)122 (1)TszTsTssj2222211 (1)()24 (1)()TTzTT图图5-4 一阶向后差分法的映射关系一阶向后差分
8、法的映射关系 01( )( )szD sD z(3) (3) 应用应用 13法法(1)(1)离散化公式离散化公式11()()()11CzTT zDzUzzz做做z变换，得变换，得 1111zzsTTz1 zTs1( )( )zsTD zD s ( )( )/( )1/ ,( )( )D sC sU ssc tu t dt( )/ (1)( )/t kTdc tdtc kc kTs与与z之间的变换关系：之间的变换关系：（直接代入）（直接代入） 或：或： 系统离散：系统离散： ( )(1)(1)c kc kTu k当前面积步长第当前面积步长第k k1 1步的输入值步的输入值 14法法(2)(2)主
9、要特性主要特性 s平面与平面与z平面映射关平面映射关系系若若D(s)稳定，则稳定，则D(z)不一定稳定：不一定稳定：稳态增益不变稳态增益不变图图5-8 一阶向前差分法的映射关系一阶向前差分法的映射关系(3) (3) 应用应用 由于这种变换不能保证由于这种变换不能保证D(z)一定稳定，所以应用较少。一定稳定，所以应用较少。1 zTs01( )( )szD sD z154.双线性变换法（突斯汀双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法）变换法）(1)(1)离散化公式离散化公式用梯形面积代替用梯形面积代替矩形面积矩形面积( )( )/( )1/D sC sU ss进行进行z变换，得变换，得 s与与z之
10、间的变换关系之间的变换关系 图图5-9 梯形积分法梯形积分法211( )( )zsT zD zD s( )(1) ( )(1)2Tc kc ku ku k0( )( )dtc tu tt2 (1)(1)zsTz1212TszTs11(1) ( )/2(1) ( )zC zTzu z 161122211222TTTjszTTTsj(2)(2)主要特性主要特性当当 =0（s平面平面虚轴虚轴)映射为映射为z平面的平面的单位圆周单位圆周。当当 0（s右半平面），映射到右半平面），映射到z平面单位圆外平面单位圆外 。当当 0（s左半平面），映射到左半平面），映射到z平面单位圆内平面单位圆内 。若若D(s
11、)稳定，则稳定，则D(z)一定稳定，一定稳定，映射一一对应映射一一对应 频率特性无混叠频率特性无混叠频率频率畸变：畸变：s s域虚轴映射为域虚轴映射为z z域单位圆周长域单位圆周长sj图图5-10 双线性变换映射关系双线性变换映射关系22222122122TTzTT2 (1)(1)zsTz/2/2/2/22 1 e2 ee1 eeeDDDDDjTjTjTAj DTjTjTjTT2 sin(/2)22tan2cos(/2)2DDDjTTjTTT2tan2DATTs域角频率域角频率 z域角频率为域角频率为 D 17频率畸变：双线性变换的一对一映射，频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特
12、性保证了离散频率特性，但产生了，但产生了。 图图5-11双线性变换的频率关系双线性变换的频率关系 2tan2DATT图图5-12双线性变换的频率关系双线性变换的频率关系 22DADTT当采样频率当采样频率DT足够小足够小 18AD80s19(2)(2)主要特性主要特性串联特性，变换前后，串联特性，变换前后，。变换后变换后D(z)的阶次不变，且的阶次不变，且。并有：并有： 01( )( )szD sD z(3) (3) 应用应用 使用方便，有较高的精度和前述一些好的特性，工程上应使用方便，有较高的精度和前述一些好的特性，工程上应 用较为普遍，选好离散化的采样周期。用较为普遍，选好离散化的采样周期
13、。 主要用于主要用于，不宜用于高通环节的离散化。，不宜用于高通环节的离散化。2(e)0sj TD2011()()jTDjD e1122mTtgT21(1)(1)离散化公式离散化公式111tan(/2)1( )( )zsTzD zD s实际可以直接采用上面的变换公式进行变换实际可以直接采用上面的变换公式进行变换 该方法本质上仍为双线性变换法，因此具有双线性变换法的各种特该方法本质上仍为双线性变换法，因此具有双线性变换法的各种特性。但由于采用了频率预修正，故可以保证在性。但由于采用了频率预修正，故可以保证在关键频率关键频率处连续频率处连续频率特性与离散后频率特性相等，即满足：特性与离散后频率特性相
14、等，即满足： 在其他频率点幅相频特性会变化在其他频率点幅相频特性会变化 稳态增益不变，只要关键频率不为稳态增益不变，只要关键频率不为0(3) (3) 应用应用 由于该方法的上述特性，所以主要用于原连续控制器在某些特征频由于该方法的上述特性，所以主要用于原连续控制器在某些特征频率处要求离散后频率特性保持不变的场合。率处要求离散后频率特性保持不变的场合。11(e)(j)jTDD22(1)离散化方法离散化方法特点：特点： 零、极点分别按零、极点分别按 一一对应匹配一一对应匹配 若分子阶次若分子阶次m小于分母阶次小于分母阶次n，离散变换时，在，离散变换时，在D(z)分子上加分子上加(z+1)n-m因子
15、因子 确定确定D(z)的增益的增益k1的方法：的方法： 按右式来匹配按右式来匹配 若若D(s)分子有分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即即 也可选择某关键频率处的幅频相等，即也可选择某关键频率处的幅频相等，即1()(e)( )e( )(1)()(e)iiz TisTn mmmpTinmkszkzD szD zzspzesTz 01( )( )szD sD z1( )( )szD sD z11(j)(e)jTDD23(2)主要特性主要特性 零极点匹配法要求对零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需分解为极零点形式，且需要进行稳态增益匹配，因
16、此工程上应用不够方便。要进行稳态增益匹配，因此工程上应用不够方便。 由于该变换是基于由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证变换进行的，所以可以保证D(s)稳定，稳定，D(z)一定稳定。一定稳定。 当当D(s)分子阶次比分母低时，在分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有分子上匹配有(z+1)因子，可获得双线性变换的效果，即可防止频因子，可获得双线性变换的效果，即可防止频率混叠。率混叠。（3）应用）应用 由于没有混叠，一一对应，无频率畸变，应用效果由于没有混叠，一一对应，无频率畸变，应用效果 较好，不如较好，不如Tustin变换方便变换方便242526已知：已知： 1.1.试用试用Z Z变
17、换、一阶向后差分、向前差分、零极点匹配、变换、一阶向后差分、向前差分、零极点匹配、 TustinTustin变换和预修正的变换和预修正的TustinTustin变换（设关键频率变换（设关键频率1 1）等）等 方法将方法将D(sD(s) )离散化，采样周期分别取为离散化，采样周期分别取为0.1s0.1s和和 0.5s0.5s；2.2.将将D(zD(z) )的零极点标在的零极点标在Z Z平面图上平面图上3.3.计算计算D(jD(j ) )和各个离散化系统的幅频和相频特性并绘图，和各个离散化系统的幅频和相频特性并绘图， 由由0.10.11515，至少计算，至少计算3030个点，应包括个点，应包括 1 1点，每个点，每个T T绘一绘一 张图（张图（Z Z变换方法单画）变换方法单画）4.4.计算计算D(sD(s) )及及T=0.1,T=0.5T=0.1,T=0.5时时D(zD(z) )的单位脉冲响应的单位脉冲响应, ,取取k k 20 20 项项5.5.结合所得的结果讨论分析各种离散化方法的特点结合所得的结果讨论分析各种离散化方法的特点6.6.写出报告，附上结果。写出报告，附上结果。( )1/(1)D ss
