1、典型问题 跟踪与解耦 阅读章节：教参阅读章节：教参10，8.2, 8.5.1, 8,5,2跟踪问题问题描述其中其中w为干扰向量，为干扰向量，F为已知的干扰分布矩阵。许多工程问题为已知的干扰分布矩阵。许多工程问题中希望受控系统实现以下任务：对于给定的某一个连续信号中希望受控系统实现以下任务：对于给定的某一个连续信号yr(t)，控制系统输出，控制系统输出y(t)满足：满足：CxyFwBuAxx 0)()(limtytyrt定义所谓跟踪问题，就是讨论系统在满足什么条件下可找到适当所谓跟踪问题，就是讨论系统在满足什么条件下可找到适当的控制率来实现的控制率来实现y(t)跟踪跟踪yr(t)的目标，满足的目
2、标，满足称为无静差跟踪。称为无静差跟踪。(a)成立意味着对于成立意味着对于w(t)=0和任意的和任意的yr(t)有有及对及对yr(t)0和任意的和任意的w(t)相应的输出相应的输出y(t)满足满足习惯上，称习惯上，称(b)的情况为渐近跟踪，的情况为渐近跟踪，(c)的情况为扰动抑制。当的情况为扰动抑制。当实现无静差跟踪时，将可同时达到渐近跟踪和扰动抑制，也实现无静差跟踪时，将可同时达到渐近跟踪和扰动抑制，也即对任意的即对任意的yr(t)和任意的和任意的w(t)都有都有(a)成立。成立。(a) 0)()(limtytyrt(b) )(lim)(limtytyrtt(c) 0)(limtytyr(t
3、)定常情形，即定常情形，即yr(t)=yr（常数）（常数） 误差为误差为e(t)=y(t)yr ，考察新系统，考察新系统 联立原系统，可得下述增广系统联立原系统，可得下述增广系统qxCywFyuBqxCAqxr000000(1) )(rytyq该增广系统的状态反馈控制率该增广系统的状态反馈控制率 则闭环系统为则闭环系统为 qKxKqxKKuqxqx 0(2) 000qxCywFyqxCBKBKAqxrqx0CBKBKAAqxcl令令yr(t)定常情形，即定常情形，即yr(t)=yr（常数）（常数） 定理定理1：如果存在如果存在Kx，Kq使使Acl稳定，则在干扰信号稳定，则在干扰信号w定常的定常
4、的情况下，系统输出情况下，系统输出y(t)可跟踪给定信号可跟踪给定信号yr。实际上由。实际上由(2)得得所以由所以由Acl稳定得到稳定得到 qxAqxCL 0)(0 0 ,rytyqxq ，yr(t)定常情形，即定常情形，即yr(t)=yr（常数）（常数） 得得由由结论：结论：定常信号跟踪控制器设计问题的求解可以化为增广系定常信号跟踪控制器设计问题的求解可以化为增广系统的状态反馈镇定问题。统的状态反馈镇定问题。受控系统为受控系统为希望设计控制律使得希望设计控制律使得y(t)跟踪给定信号跟踪给定信号yr(t)，其中，其中yr(t)由下述由下述参考模型生成参考模型生成以上参考模型既可代表所要设计的
5、控制系统的希望相应特性，以上参考模型既可代表所要设计的控制系统的希望相应特性，又可代表被跟踪对象的模型。设计控制律又可代表被跟踪对象的模型。设计控制律rrxKKxurrrrrrxCyxAx yr(t)为非定常信号为非定常信号 CxyBuAxx 定理定理2： 设设(A, B)可控，如果存在矩阵可控，如果存在矩阵G，H满足满足 那么对任何一个能使原系统稳定（即那么对任何一个能使原系统稳定（即A+BK稳定）的状态反稳定）的状态反馈控制率馈控制率K以及如下定义的以及如下定义的控制率控制率 均能使系统的输出均能使系统的输出y(t)跟踪跟踪yr(t)。 我们称我们称K为为反馈镇定器反馈镇定器，而，而Kr为
6、为前馈补偿器前馈补偿器。rrCCGGABHAGyr(t)为非定常信号为非定常信号 rrxKKxuKGHKr考虑系统考虑系统CxyBuAxx其传递函数矩阵为其传递函数矩阵为 ，其输入输出之间有，其输入输出之间有BAsICsG1)()(BAsICsG1)()()()()()()()()( )()()()()()()()()()()()()()(22112222121212121111susgsusgsusgsysusgsusgsusgsysusgsusgsusgsynnnnnnnnnn式中式中gij(s)是是G(s)的第的第i行第行第j列元素。可见每一个输入控制列元素。可见每一个输入控制多个输出，
7、每个输出为多个输入所控制，这一现象我们称多个输出，每个输出为多个输入所控制，这一现象我们称为耦合现象。这时，如果要在其他输出都不改变的情况下为耦合现象。这时，如果要在其他输出都不改变的情况下去调整每个输出，那么找出完成上述目的的一组输入去调整每个输出，那么找出完成上述目的的一组输入u1, u2,un是不容易的。是不容易的。工程背工程背景景 在现代化的工业生产中，不断出现一些较复杂的设在现代化的工业生产中，不断出现一些较复杂的设备或装置，这些设备或装置的本身所要求的被控制参数备或装置，这些设备或装置的本身所要求的被控制参数往往较多，因此，必须设置多个控制回路对该种设备进往往较多，因此，必须设置多
8、个控制回路对该种设备进行控制。由于控制回路的增加，往往会在它们之间造成行控制。由于控制回路的增加，往往会在它们之间造成相互影响的耦合作用，也即系统中每一个控制回路的输相互影响的耦合作用，也即系统中每一个控制回路的输入信号对所有回路的输出都会有影响，而每一个回路的入信号对所有回路的输出都会有影响，而每一个回路的输出又会受到所有输入的作用。要想一个输入只去控制输出又会受到所有输入的作用。要想一个输入只去控制一个输出几乎不可能，这就构成了一个输出几乎不可能，这就构成了“耦合耦合”系统。由于系统。由于耦合关系，往往使系统难于控制、性能很差。耦合关系，往往使系统难于控制、性能很差。解耦控解耦控制制 所谓
9、解耦控制系统，就是采用某种结构，寻找合适所谓解耦控制系统，就是采用某种结构，寻找合适的控制规律来消除系统种各控制回路之间的相互耦合关的控制规律来消除系统种各控制回路之间的相互耦合关系，使每一个输入只控制相应的一个输出，每一个输出系，使每一个输入只控制相应的一个输出，每一个输出又只受到一个控制的作用。典型的解耦控制系统结构示又只受到一个控制的作用。典型的解耦控制系统结构示意图如下。意图如下。-解耦控制器解耦控制器y待解耦系统待解耦系统u工程实例一：飞机工程实例一：飞机 飞机在飞行中我们感兴趣的输出量是俯仰角、水平飞机在飞行中我们感兴趣的输出量是俯仰角、水平位置和高度，控制输入变量是三个机翼的偏转
10、。因为三位置和高度，控制输入变量是三个机翼的偏转。因为三个输出量之间有耦合，如果要同时操纵三个输入量并成个输出量之间有耦合，如果要同时操纵三个输入量并成功地控制飞机，要求驾驶员有相当高的技巧。如果系统功地控制飞机，要求驾驶员有相当高的技巧。如果系统实现了解耦，就为驾驶员提供了三个独立的高稳定性的实现了解耦，就为驾驶员提供了三个独立的高稳定性的子系统，从而可以独立地调整其俯仰角、水平位置和高子系统，从而可以独立地调整其俯仰角、水平位置和高度。度。工程实例二：造纸过程工程实例二：造纸过程加压网前箱的箱底总压和液位由气泵和浆泵的变化量决加压网前箱的箱底总压和液位由气泵和浆泵的变化量决定，是一个严重耦
11、合的两输入两输出系统。定，是一个严重耦合的两输入两输出系统。 加压网前箱横截面草图加压网前箱横截面草图解耦控制的基本原理解耦控制的基本原理 分析多变量系统的耦合关系可以看出，控制回路之分析多变量系统的耦合关系可以看出，控制回路之间的耦合关系是由于对象特性中的子传递函数间的耦合关系是由于对象特性中的子传递函数gij(s),i j，i, j=1,2,n造成的。若造成的。若 是一个非奇异对角形有理多项式矩阵，则该系统是解耦是一个非奇异对角形有理多项式矩阵，则该系统是解耦的。寻找消除耦合的办法实际就是使系统传递函数阵对的。寻找消除耦合的办法实际就是使系统传递函数阵对角化，这样就在实际系统中消除了通道间
12、的联系，简化角化，这样就在实际系统中消除了通道间的联系，简化了结构的设计，因而具有实际意义。了结构的设计，因而具有实际意义。)(000)(000)()(2211sgsgsgsGnn解耦控制的基本原理解耦控制的基本原理 从信号观点看解耦后的系统，一个被控量只受一个从信号观点看解耦后的系统，一个被控量只受一个控制量的控制，与其他控制量无关；从结构看解耦后的控制量的控制，与其他控制量无关；从结构看解耦后的系统，原耦合的多变量系统变成为彼此相互独立的单输系统，原耦合的多变量系统变成为彼此相互独立的单输入单输出系统。入单输出系统。g11(s)g21(s)gn1(s)y1y2ynu1u2un解耦系统示意图
13、解耦系统示意图实现解耦的方法实现解耦的方法这是一种最简单的方法，只需在待解耦系统中串联一个这是一种最简单的方法，只需在待解耦系统中串联一个前馈补偿器，使串联组合系统的传递函数矩阵称为对角前馈补偿器，使串联组合系统的传递函数矩阵称为对角线形的有理函数矩阵。这种方法将使系统的维数增加。线形的有理函数矩阵。这种方法将使系统的维数增加。 这种方法虽然不增加系统的维数，但是可以采用状态反这种方法虽然不增加系统的维数，但是可以采用状态反馈实现解耦的条件要比前馈补偿器解耦苛刻得多。馈实现解耦的条件要比前馈补偿器解耦苛刻得多。前馈补偿器解耦前馈补偿器解耦状态反馈解耦状态反馈解耦-Gc(s)yG(s)u)()(
14、)(*1sGsGsGcG *(s)为给定对角阵为给定对角阵 问题描述问题描述考虑多输入多输出线性系统考虑多输入多输出线性系统 其中其中u与与y的维数相等，目标是设计的维数相等，目标是设计 使得闭环系统使得闭环系统 的传递函数矩阵的传递函数矩阵 为对角形。为对角形。(3) CxyBuAxxLvKxuCxyBLvxBKAx)(BLBKAsICsGKL1)()(设系统有设系统有p个输入个输入p个输出，令个输出，令 1ndi1, 1 , 0001, 1 , 00，当，而，当nkBACBACkBACkiiki和和1,iidiidiiACMBACE定理定理3：系统系统(3)可采用状态反馈和输入变换，即存在
15、矩阵对可采用状态反馈和输入变换，即存在矩阵对K, L进行输入输出解耦的充分必要条件是如下进行输入输出解耦的充分必要条件是如下p p常阵常阵pEEE1为非奇异为非奇异( (detdetE E 0)0)。当选取当选取K, L为为 时，其中时，其中必可使系统解耦，且解耦系统的传递函数矩阵为必可使系统解耦，且解耦系统的传递函数矩阵为解耦后每个单输入单输出系统的传递函数均具有多重积分器解耦后每个单输入单输出系统的传递函数均具有多重积分器的特性，因此称这类形式的解耦为积分型解耦。的特性，因此称这类形式的解耦为积分型解耦。11,ELMEKpMMM11111)(1pddsssG例：例：xyuxx0100000
16、110000100002010002003001000202003,1001ME经计算经计算221001)()(ssBLBKAsICsGKL1001,0020200311ELMEK取取干扰解耦干扰解耦 问题描述问题描述考虑受到外部干扰的线性系统考虑受到外部干扰的线性系统 其中其中q为干扰输入。为干扰输入。 系统称为是干扰解耦的，如果系统称为是干扰解耦的，如果 ，即系统，即系统的输出与干扰输入无关。干扰解耦的目的是通过设计状态的输出与干扰输入无关。干扰解耦的目的是通过设计状态反馈控制率反馈控制率 ，使得闭环系统是干扰解耦的，即，使得闭环系统是干扰解耦的，即 由于几乎所有实际系统都受到各式各样的干
17、扰，因而干扰由于几乎所有实际系统都受到各式各样的干扰，因而干扰解耦设计有很大的应用价值。解耦设计有很大的应用价值。CxySqBuAxx 0)(1SAsICFxu 0)(1SBFAsIC定理：定理：设设A、B、S、C给定，则存在给定，则存在K使得系统干扰解耦的使得系统干扰解耦的 充要条件是充要条件是例：例： 取取 ，则，则此时系统实现了干扰解耦。此时系统实现了干扰解耦。00)(jSBKACj，,000100010A,001001B,011C011S10002121K00000002121BKA干扰解耦干扰解耦利用利用Matlab进行辅助运算进行辅助运算极点配置：极点配置：若状态反馈信号为若状态反
18、馈信号为u=Kx,求解增益矩阵求解增益矩阵K，使，使系统系统 xyuxx11102110的闭环极点为的闭环极点为s1= 1, s2= 2。 A=0 1; -1, 2;B=0; 1;disp(Pole placement-using place function in Matlab)P = -1,-2;K = place(A,B,P)Pole placement-using place function in MatlabK = 1 5利用利用Matlab进行辅助运算进行辅助运算为了验证上面的状态反馈是否能使系统稳定，我们用以下程为了验证上面的状态反馈是否能使系统稳定，我们用以下程序得到系统的响
19、应曲线：序得到系统的响应曲线： A=0 1; -1 2; B=0; 1; C=1 -1; D=0;K=1 5;t = 0:0.1:5;u = ones(size(t);y x = lsim(A-B*K,B,C,D,u,t);subplot(2,1,1);plot(t,x);grid;subplot(2,1,2); plot(t,y,r); grid;title(The closed loop system step response);xlabel(Time sec);ylabel(Response value);利用利用Matlab进行辅助运算进行辅助运算利用利用Matlab进行辅助运算进行
20、辅助运算跟踪问题跟踪问题1：设系统为设系统为xyuxx21212021A=1 2; 0 -2; B=1; 2; D=1 2; D=0;A1=A 0;0; C 0;F=10; 2; -10;C1=1 2 0; B1=B;0;K=-1.7917 1.2380 -1.5058;Acl=A1+B1*K;step(Acl,F,C1,D);qKxKuqx其状态反馈控制率为其状态反馈控制率为 ，参考信号，参考信号yr=10。利用利用Matlab进行辅助运算进行辅助运算利用利用Matlab进行辅助运算进行辅助运算跟踪问题跟踪问题2：设系统为设系统为 参考信号模型为参考信号模型为xyuxx01102110状态反馈控制率为状态反馈控制率为rrrrxyxx010110rrxKKxu利用利用Matlab进行辅助运算进行辅助运算
