1、初中数学演义初中数学演义作者 李树茂数学立体通关教学法创始人初中数学通关口诀初中数学通关口诀代数抓精髓；代入是关键。代数抓精髓；代入是关键。 代数一般式；两得全搞定。代数一般式；两得全搞定。算功过三关；解功四门槛。算功过三关；解功四门槛。 方程辨两类；函数识三型。方程辨两类；函数识三型。函数三姐妹；勾股三用途。函数三姐妹；勾股三用途。 系数不为零；指数要相吻。系数不为零；指数要相吻。非负三兄弟；蜕皮两魔鬼。非负三兄弟；蜕皮两魔鬼。 统计要通关；两查走在前。统计要通关；两查走在前。几何要通透；精髓是特殊。几何要通透；精髓是特殊。 四图加一表；数据整理好。四图加一表；数据整理好。重点特殊图；识图定
2、性判。重点特殊图；识图定性判。 数据分析透；三差加三数。数据分析透；三差加三数。两图谈感情；特殊关系联。两图谈感情；特殊关系联。 概率也不难；频率能估算。概率也不难；频率能估算。全等加相似；对称与旋转。全等加相似；对称与旋转。 列表和树型；搞清总和分。列表和树型；搞清总和分。平移与投影；位似也要算。平移与投影；位似也要算。 鱼池鱼几多；应用记概型。鱼池鱼几多；应用记概型。考点说举做；做题改变找。考点说举做；做题改变找。 动点巧分类；最短牛喝水。动点巧分类；最短牛喝水。条件挖隐含；分类不漏点。条件挖隐含；分类不漏点。 找准临界点；相似巧破题。找准临界点；相似巧破题。思路技巧精；反思记模型。思路技
3、巧精；反思记模型。 代数两特殊；首先特殊数。代数两特殊；首先特殊数。应用均同宗；关系是根本。应用均同宗；关系是根本。 数数拉关系；方不与函数。数数拉关系；方不与函数。元量同回代；运算有六种。元量同回代；运算有六种。关系大小等；再加倍比分。关系大小等；再加倍比分。每每有热点；负元巧应用。每每有热点；负元巧应用。算功：有理数、无理数、代数式的三种计算功力。解功：指解一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、不等式（组）的四种功力。勾股三用途：指勾股定理的计算；列方程；证明垂直的三项功能。戏说初中数学三国演义三国演义代数代数几何几何统概统概数与式数与式方程与不等式方程与不等式函数及其图象函数及其图
4、象图形基础、三角形及图形的全等变换图形基础、三角形及图形的全等变换多边形及四边形多边形及四边形相似、视图、投影和解直角三角形相似、视图、投影和解直角三角形圆圆统计与概率统计与概率八仙过海八仙过海难题突破突破方向的确定 三句话：基本图形三句话：基本图形经验积累经验积累模式识别模式识别 九个字：改条件九个字：改条件变结论变结论找接口找接口学数学首先必须掌握的基本学数学首先必须掌握的基本功功三种语言：三种语言：自然语言；符号语言；图形语言。三类符号：三类符号：运算符号；关系符号；推理符号。六种运算：六种运算：加；减；乘；除；乘方；开方+锐角三角函数。两解一分：两解一分：解方程；解不等式；分解因式。两
5、句口诀：两句口诀：算功不过关；一切都枉然。解功不过关，高分是空谈。戏说数学之代数分式方程（可化为一元一次方程）死数（实数）活数（含有字母的数）代数式（定义）有理式无理式整式分式单项式多项式特殊数数与数之间的特殊关系相等关系：等式及方程不等关系：不等式（组）全部关系：函数与图象整式方程一元（一次；二次）二元（一次方程组）按照数的性质为代数式分类按照数的性质为代数式分类 代数式死数（实数）死数（实数）活数（含字母的数）活数（含字母的数）永正数：非负数永正数：非负数+正数正数非负数：平；绝；根非负数：平；绝；根永负数：（非负数永负数：（非负数+正数）正数）条件活数（川剧变脸）条件活数（川剧变脸）戏说
6、数学之几何基本图形（点、线、面、空）特殊图形（三、四、多、圆）特殊图形三角形性质（直角等腰）（平矩菱正）特特殊殊图图图与图之间图与图之间的特殊关系的特殊关系全等关系相似关系变换关系 定义四边形判定定义性质判定对称兴致平移位似投影视图多边形与圆（正、圆）普通图形（丑）特殊图形（美）（整容）（整容）学习几何要过三关 画图关：按照题意画图形。 语言关：文字语言（自然语言）、图形语言、符号语言这三种语言的转换和翻译。 推理关：证明，推理的能力和步骤。数学怎么学 说（说得出）举（会举例）做（能做题） 例：以有理数；绝对值；代数式；整式；分式；多项式的次数为例。 初中数学精髓初中数学精髓1.几何：两个字概
7、括特殊：特殊图形；特殊关系（全等、相似）。2.代数：两个字概括代入：字母的含义代入代数式、方程、不等式或者函数。3.几何三大方法：全等、相似、勾股定理。4.辅助线的认识对内分割对外补形5.压轴题大类：几何综合；代数综合；代几综合。 中学数学常用到的五种思想中学数学常用到的五种思想,十六种方法十六种方法A.五种解题思想：五种解题思想：1整体思想；整体思想；2.化归思想；化归思想；3.方程思想；方程思想；4.数形结合思想；数形结合思想；5.函数思想；文函数思想；文字语言转化为符号、图形语言的思想。字语言转化为符号、图形语言的思想。B.十六种解题方法：十六种解题方法：1、配方法；、配方法；2、因式分
8、解法；、因式分解法；3、换元法、换元法 ；4、判别式法与韦达定理、判别式法与韦达定理 ；5、待定系数法；待定系数法；6、构造法；、构造法；7、反证法、反证法 ； 8、面积法面积法 ；9、几何变换法（平移；旋转；对称；、几何变换法（平移；旋转；对称；翻折）；翻折）；10、客观性题的解题方法（直接推演、客观性题的解题方法（直接推演法；验证法；特殊元素法法；验证法；特殊元素法-取特值法；排除、取特值法；排除、筛选法；分析法）筛选法；分析法）;11、倒数法；、倒数法；12、割补法；、割补法；3、拆项法；、拆项法；14、借来还去法、借来还去法15、因果对应法；、因果对应法；16、恒等变形法、恒等变形法-
9、。压轴题基本模型压轴题基本模型 相似存在掉包计；是否垂直化相似。相似存在掉包计；是否垂直化相似。 直角存在还勾股；角若相等想弦切。直角存在还勾股；角若相等想弦切。 线段最短牛喝水；三平交点定平四。线段最短牛喝水；三平交点定平四。 等腰风水轮流转；两线合一也等腰。等腰风水轮流转；两线合一也等腰。四压轴题复习（学习）方法1.背题：把别人的方法背下来。2.做题：自己把题做出来。一定要自己做出来。3.压轴题必考点：一动二分动点问题分类讨论重点章节知识结构演义根号中不能有开出去的因式（数）-根号中无有分母；分母中无根号-根号中不能有小数（变分数处理）-运算加减：先化后算；乘除：先算后化。四四三个重要公式
10、三个重要公式1.若若x2=a 则则 x=a(用来解方程）。用来解方程）。2.(a )2=a (a0)3.(a2 )2 = IaI ( 需分类讨论需分类讨论).4. 特别注意公式特别注意公式2、3的区别：的区别：先开后平就自先开后平就自己；先平后开加绝对。己；先平后开加绝对。5.IAI=6. a-b 的相反数是的相反数是b-a；a+b的相反数是的相反数是- a-bA（A0）A（A0）数形结合判正负数形结合判正负二二非负数总结非负数总结1.定义：定义：0和正数（没有负数的事！）和正数（没有负数的事！）2.形式：形式：|A|；A2；A。3.性质：性质：和为零，每个加数必为零。和为零，每个加数必为零。
11、与正数的和为正数。与正数的和为正数。有最小值，最小值为零。有最小值，最小值为零。4.与相反数、倒数、绝对值、数轴共同成为认与相反数、倒数、绝对值、数轴共同成为认识和数的五大基本概念。识和数的五大基本概念。特别记忆特别记忆 非负三兄弟非负三兄弟 |A|；B2；C 蜕皮两魔鬼蜕皮两魔鬼 |A|； B220|0a aaaa a 脱衣裸奔剥皮抽筋（吃肉）（喝汤）注：+为吃肉的两根筷子；-为喝汤勺子！科学记数法通关口诀科学记数法通关口诀 万四亿八现原形；大正小负要记清。万四亿八现原形；大正小负要记清。 点动几位幂为几；有效数字不能混。点动几位幂为几；有效数字不能混。模型解题 拆项法。 高斯算法。 设参倍
12、乘倒序相加法。 等差数列梯形法。【典例【典例1】一种特殊的解题技巧。一种特殊的解题技巧。 求求1+2+22+23+-+22014可以这样做：可以这样做： 令令S= 1+2+22+23+-+22014 两边同乘两边同乘2得：得： 2S= 2+22+23+24+-+22014+22015 因此：因此：2S-S=22015-1,仿照以上推理，计算：仿照以上推理，计算： 1+5+52+53+-+52014=（ ）。）。 等比数列（略）等比数列（略） 等差数列（略）等差数列（略） 斐波拉契数列：前两项的积等于第三项。斐波拉契数列：前两项的积等于第三项。 阶差数列：相邻两数的差为：阶差数列：相邻两数的差为
13、：1、2、3、4、5-（依次大（依次大1）。）。 隔位找规律。隔位找规律。 非线性规律：平方乘一个数再加一个数。非线性规律：平方乘一个数再加一个数。（二次函数）（二次函数） 其它规律其它规律六六探索规律探索规律1.一般方法：具体事例一般方法：具体事例-合理联想合理联想-善于类比善于类比-总总结规律结规律-大胆猜想大胆猜想-得出结论得出结论-验证完成。验证完成。2.一般步骤；观察一般步骤；观察-归纳归纳-猜想猜想-验证。验证。3.一般技巧：相邻看，隔一看。等差、等比、一般技巧：相邻看，隔一看。等差、等比、倍数倍数+几、平方几、平方+几、平方的倍数几、平方的倍数+几几-按照数的性质为代数式分类按照
14、数的性质为代数式分类 代数式死数（实数）死数（实数）活数（含字母的数）活数（含字母的数）永正数：非负数永正数：非负数+正数正数非负数：平；绝；根非负数：平；绝；根永负数：（非负数永负数：（非负数+正数）正数）条件活数（川剧变脸）条件活数（川剧变脸）五五去括号的特殊应用去括号的特殊应用1.注意：注意：(a+b)与与 a-b互为相反数互为相反数; (a - b)与与b a互为相反数。互为相反数。2.复习：复习：绝对值的概念和化简。绝对值的概念和化简。 IaI=3.掌握：掌握：Ia-bI和和Ia+bI类的讨论与化简。类的讨论与化简。确定确定“狗笼狗笼”里是什么狗（正数还是负数）。里是什么狗（正数还是
15、负数）。好狗（正能量）直接放出，恶狗（负能量）要带好狗（正能量）直接放出，恶狗（负能量）要带铁链。铁链。a (a0夏天热，出门不用加衣夏天热，出门不用加衣)a (a0冬天冷，出门加衣冬天冷，出门加衣)【例【例5】如图是有理数如图是有理数a,b在数轴上的位置，在数轴上的位置，化简化简 Ia+bI-Ib-aI+Ia-1I+Ia+1I01-1-22ab整式的乘除知识点记忆口诀整式的乘除知识点记忆口诀八个公式（幂六乘二）八个公式（幂六乘二）五个法则（三乘两除）五个法则（三乘两除）一种计数（科学计数法表示较小的数）一种计数（科学计数法表示较小的数）一个活用（公式正用逆用）一个活用（公式正用逆用）五种思想
16、（整体的思想；数形结合的思五种思想（整体的思想；数形结合的思 想；化归的思想；类比、推想；化归的思想；类比、推 理、归纳的思想；方程的思想）理、归纳的思想；方程的思想）一座桥梁（数与代数的桥梁：字母表示数一座桥梁（数与代数的桥梁：字母表示数)幂幂的的运运算算法则法则性质性质同底数幂的乘法同底数幂的乘法同底数幂的除法同底数幂的除法积的乘方积的乘方商的乘方商的乘方幂的乘方幂的乘方零指数幂零指数幂负整数指数幂（三种算法）负整数指数幂（三种算法）特别提升特别提升1. (a+b)2=a2+b2+2ab应用整体的思想，可以应用整体的思想，可以理解为三个数（画线三部分），三个数知理解为三个数（画线三部分），
17、三个数知二求一是这个公式的另外一种应用。二求一是这个公式的另外一种应用。2. (a- b)2=a2+b2- 2ab应用整体的思想，可以应用整体的思想，可以理解为三个数（画线三部分），三个数知理解为三个数（画线三部分），三个数知二求一是这个公式的另外一种应用。二求一是这个公式的另外一种应用。3. 小结：两数和、两数的差、两数平方的和、小结：两数和、两数的差、两数平方的和、两数的乘积，知二求二。两数的乘积，知二求二。4. 可以让学生自己出题加深理解记忆。可以让学生自己出题加深理解记忆。活用公式之总结活用公式之总结a) a2-b2=(a+b)(a-b)b) a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b
18、)2+2abc) (a+b)2-(a-b)2=4abd) (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)e) X2+1/x2=(x+1/x)2-2 =(x-1/x)2+2 因式分解 定义 与乘法的关系 工具性（约分；通分；解方程） 方法：一提二套三十字四分组二二分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算(含乘方含乘方)1.顺序顺序:先计算乘方，再计算乘除。同级运算先计算乘方，再计算乘除。同级运算按照从左到右的顺序计算，有括号熏算括号按照从左到右的顺序计算，有括号熏算括号2.除法运算统一为乘法运算。（见除先变乘）。除法运算统一为乘法运算。（见除先变乘）。3.运算结果要化为最简分式。分子分母按照某运算结果
19、要化为最简分式。分子分母按照某一字母降幂排列。一字母降幂排列。4.分子分母遇到多项式一般要先分解因式，变分子分母遇到多项式一般要先分解因式，变为乘积的形式后约分。为乘积的形式后约分。5.乘除法：确定符号的法则与分数乘法相同。乘除法：确定符号的法则与分数乘法相同。6.分式的乘方：把分子分母各自乘方即可。分式的乘方：把分子分母各自乘方即可。四四分式的混合运算分式的混合运算1.顺序：括号顺序：括号乘方、开方乘方、开方乘法、除法乘法、除法加加法、减法法、减法最简结果。最简结果。2.正确运用法则，灵活运用运算律。正确运用法则，灵活运用运算律。3.避免出错：一步一回头。避免出错：一步一回头。4.一定顺序二
20、开算，能简便的就简便；遇负不一定顺序二开算，能简便的就简便；遇负不忘加括号，遇除一定先变乘；整式分母看作忘加括号，遇除一定先变乘；整式分母看作1，结果一定要最简。，结果一定要最简。5.结果中的分母和分子可以是和差的形式也可结果中的分母和分子可以是和差的形式也可以是乘积的形式，根据情况灵活掌握。以是乘积的形式，根据情况灵活掌握。五五代数式求值的思路代数式求值的思路1.把字母的取值直接代入。把字母的取值直接代入。2.把条件化简或者改造。把条件化简或者改造。3.把所给的代数式化简或变形。把所给的代数式化简或变形。4.同时改造条件和所给代数式。同时改造条件和所给代数式。5.整体代入法。整体代入法。6.
21、例题：典例例题：典例5-特别提升特别提升11 11()()11113 553 35111.4 77 1016 19x xnn xxn的应用如（）；应用：有关求和。例.求:的值一一分式方程的概念分式方程的概念1.复习：整式方程（组）：以元和次命名。复习：整式方程（组）：以元和次命名。2.分式方程：分母中含有未知数的方程叫之。分式方程：分母中含有未知数的方程叫之。3.方程分类方程分类方程方程有理方程有理方程无理方程无理方程其它方程其它方程整式方程整式方程分式方程分式方程只有整式方只有整式方程才有次数程才有次数二二分式方程的解法分式方程的解法1.基本思路：分式方程基本思路：分式方程 整式方程整式方程
22、2.步骤（步骤（一去二解三验四写一去二解三验四写）：）：整理整理-去分母去分母-整式方程整式方程解整式方程解整式方程检验（必须的步骤）检验（必须的步骤）写结论写结论3.验根的方法：把解整式方程所得到的解代入验根的方法：把解整式方程所得到的解代入公分母中，如果使公分母为公分母中，如果使公分母为0，这个根为原，这个根为原方程的增根，若使公分母的值不为方程的增根，若使公分母的值不为0，则这，则这个根为原来方程的根。个根为原来方程的根。（去分母）（去分母）三三分式方程的增根分式方程的增根1.增根的意义：分式方程通过去分母变为整式增根的意义：分式方程通过去分母变为整式方程，未知数的取值范围扩大，如果解整
23、式方程，未知数的取值范围扩大，如果解整式方程得到的根恰巧是使原来的分式方程分母方程得到的根恰巧是使原来的分式方程分母为为0的值，则这个根显然不是原方程的根。的值，则这个根显然不是原方程的根。这样的根叫做原方程的增根。这样的根叫做原方程的增根。2.解分式方程验根是必须的步骤。增根的产生解分式方程验根是必须的步骤。增根的产生并不是因为运算错误。并不是因为运算错误。 是整式方程的根是整式方程的根 使公分母为使公分母为0的未知数的值的未知数的值)4.利用增根的概念利用增根的概念,确定方程中字母系数的值确定方程中字母系数的值.3. 增根增根特别提升特别提升分式方程无解分式方程无解 去分母后的整式方程无解
24、 去分母后的整式方程的解是原方程的增根 【典例【典例2】已知关于】已知关于x的分式方程的分式方程的取值范围。的解是非正数，求axa112A-1且且a-2【典例【典例3】已知关于】已知关于x的方程的方程的值。无解，求mxxxmx332132-1或或-5/3【典例【典例4】若关于x的方程xxxk3423有增根，试求k的值。瑞星瑞星教育教育数学数学思维思维导图导图二者关系解方程注意解方程注意去分母时小心漏乘去分母时小心漏乘去分母小心丢括号去分母小心丢括号去括号时注意负号去括号时注意负号分数与等式性质混分数与等式性质混列方程解应用题列方程解应用题思路：试设元思路：试设元-回头看回头看-找关系找关系-列
25、方程（别把未列方程（别把未知数不当数）。知数不当数）。注意单位的统注意单位的统一和隐含的条件一和隐含的条件初中初中要学要学习的习的方程方程列方程解应用题列方程解应用题 思路：试设元思路：试设元-回头看回头看-找关系找关系-列方程。列方程。 步骤：审步骤：审-设设-列列-解解-验验-答。答。 记住：未知数也是数，别把未知数不当数。记住：未知数也是数，别把未知数不当数。 方法清单：方法清单： 直接设元；间接设元；设辅助未知数（或把某直接设元；间接设元；设辅助未知数（或把某个总量看作整体个总量看作整体1）；巧设比例份数为未知数）；巧设比例份数为未知数（一份为（一份为 x）负元法（减元法）负元法（减元
26、法）（看似多（看似多设一元，实则减一少一元）；整体设元设一元，实则减一少一元）；整体设元 （求（求6位数位数,已知个位数字为已知个位数字为7，则可设左边五位数为，则可设左边五位数为 x，则，则10 x +7为此六位数）。为此六位数）。如何找等量关系如何找等量关系 抓关键词 同一个量从不同角度描述 利用公式 抓不变量瑞星教育数瑞星教育数学思维导图学思维导图解的解的应用应用解应用题解应用题思路：试设元思路：试设元-回头看回头看-找关找关系系-列方程列方程（别把未知数（别把未知数不当数）不当数）有一个或者两个未知数的方程；三个方程有三个未知数盘点设未知数的五大技巧盘点设未知数的五大技巧 一一.直接设
27、元直接设元. 二二.间接试元间接试元. 三三.设辅助未知数设辅助未知数(或整体或整体1). 四四.设比例份数为未知数设比例份数为未知数(负元法负元法). 五五.整体设未知数整体设未知数.才是函数（只有）化成只要二元一次方程函数又是一元一次方程既是一次函数的方程者关于的方程或关于求或知求知一次函数的解一元一次方程轴交点横坐标与一次函数元一次方程二一次函数与一一转化为解方程是方程的解bkxycbyaxbkxyyxxyyxbkxybkxxbkxy. 3. 20. 1)(.是交点横坐标（变量互求）互相利用互相利用函数利函数利用方程用方程你中有我既有联系你中有我既有联系我中有你又有区别我中有你又有区别
28、方程与函数方程与函数 关系示意图关系示意图方程组方程组方程方程方程方程一次一次函数函数函数函数函数函数直线直线直线直线方程组的解（方程组的解（x，y) 函数图象交点坐标（函数图象交点坐标（x，y）方程组的解（方程组的解（x，y） 函数图象交点坐标（函数图象交点坐标（x，y）（x，y）函数图象的交点函数图象的交点满足函数表达式满足函数表达式满足对应方程组满足对应方程组方程的解满足函方程的解满足函数表达式是对应数表达式是对应图象交点的坐标图象交点的坐标平面直角坐标系和图象是桥梁：图象既能代表方程也能代表函数！平面直角坐标系和图象是桥梁：图象既能代表方程也能代表函数！小结（理解）小结（理解） 函数（
29、图象）可以解方程（不等式）函数（图象）可以解方程（不等式） 方程为函数提供计算、求值、分析服务。方程为函数提供计算、求值、分析服务。 函数都可以看做方程；方程只有化做特定函数都可以看做方程；方程只有化做特定的形式后才能看做方程。的形式后才能看做方程。 函数和方程的共同祖先是代数式。函数全函数和方程的共同祖先是代数式。函数全面研究和反应含有一个未知数的代数式的面研究和反应含有一个未知数的代数式的变化情况，与之相比：方程，不等式又都变化情况，与之相比：方程，不等式又都是函数的特例。是函数的特例。方法清单方法清单一、直接设元一、直接设元二、间接设元二、间接设元三、设辅助未三、设辅助未 知数（或知数（
30、或 者整体者整体1）四、设比例份四、设比例份 数为未知数为未知 数（数（1份）份）五、整体设元五、整体设元不等式 不等式 不等式的一个解 不等式的解集 不等式的性质 一元一次不等式及解法 不等式组的解法（含混合不等式） 不等式的应用不等式解集总结不等式解集总结补充提升补充提升一一不等式不等式|x|a 和和 |x|a的解：的解：1.|x|a a0 全体实数；全体实数；a则则xa或或x-a2.|x|a a0 无解；无解；a则则-a xa二二数轴表示（几何意义）：数轴表示（几何意义）：a0-aa|x|a|x|a|x|a一一正方体的表面正方体的表面 展开图展开图1.1. 十一种类型汇总十一种类型汇总
31、6.记忆口诀记忆口诀 中四连，帽子任戴鞋任穿（中四连，帽子任戴鞋任穿（1-4-1） 中三连，歪带帽子鞋任穿（中三连，歪带帽子鞋任穿（2-3-1） 三二相连边对边（三二相连边对边（2-2-2） 三三相连边对边（三三相连边对边（3-3） 总面六个不能少，凹字田字不能有。总面六个不能少，凹字田字不能有。七七复习整理复习整理三角形三角形概念：边；角；顶点概念：边；角；顶点三角形的表示法（直角三角形的表示法）三角形的表示法（直角三角形的表示法）三角形角的关系（直角三角形两锐角的关系）三角形角的关系（直角三角形两锐角的关系）三角形三边的关系三角形三边的关系三角形的分类三角形的分类三角形中的三种线段三角形中
32、的三种线段四四三角形的分类三角形的分类1.按角分按角分2.按边分按边分3.先定标准后分类。等边三角形是特殊的等腰先定标准后分类。等边三角形是特殊的等腰锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形直角三角形：有一个内角是直角的三角形直角三角形：有一个内角是直角的三角形钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形不等边三角形：三边都不相等的三角形不等边三角形：三边都不相等的三角形等腰三角形等腰三角形腰和底边不相等：两等一不等腰和底边不相等：两等一不等等边三角形：三边都相等的三角形等边三角形：三边都相等的三角形自造公式自造公式l角平分线交角的计
33、算：角平分线交角的计算： BD与与CD是角平分线，则是角平分线，则 ADC=90+ Al如图：如图：AD是角平分线，是角平分线， AE是高，则：是高，则： DAE= （C- B）大大-小小ABCD12BACDE12技巧拓展：技巧拓展： 若若D是是ABC的一条中线，则的一条中线，则ABD与与 ACD的面积相等。的面积相等。 拓展：拓展： ABD与与ACD面积的比等于面积的比等于BD 与与DC的比。的比。 中考综合题中常常是解决问题的突破点中考综合题中常常是解决问题的突破点 高等，底之比等于面积比；底等，高之比等高等，底之比等于面积比；底等，高之比等于面积比。于面积比。ABCD四四复习整理复习整理
34、1.全等图形全等图形2.全等三角形的概念及表示全等三角形的概念及表示3.全等三角形的性质全等三角形的性质4.全等三角形的用途全等三角形的用途5.对应元素的确定对应元素的确定四四复习整理复习整理证明三角证明三角形的全等形的全等知两边知两边知两角知两角知角边知角边再找一边相等，用再找一边相等，用SSS再找夹角相等，用再找夹角相等，用SAS再找夹边相等，用再找夹边相等，用ASA再找对边相等，用再找对边相等，用AAS找条件向上两方向发展找条件向上两方向发展 角相等角相等线段等线段等【创造条件证全等【创造条件证全等】八个渠道：八个渠道：公共边或公共角；同角的余补角；对顶角；公共边或公共角；同角的余补角；
35、对顶角；内错角内错角 或同位角；等量加等量和相等；等量加等量差相等；等量的同或同位角；等量加等量和相等；等量加等量差相等；等量的同倍同分量相等；全等倍同分量相等；全等 最后一招：最后一招：添加辅助线构造全等三角形。添加辅助线构造全等三角形。 平移全等型平移全等型 对称全等型对称全等型 旋转全等型旋转全等型 全等全等三角三角形的形的三类三类九种九种基本基本类型类型（4 4）翻折全等型）翻折全等型注意共角与共边三角形。注意共角与共边三角形。截长补段证明线段的和倍分问题截长补段证明线段的和倍分问题 平移全等型平移全等型 对称全等型对称全等型 旋转全等型旋转全等型 全等全等三角三角形的形的三类三类九种
36、九种基本基本类型类型（4 4）翻折全等型）翻折全等型数学微博数学微博求三角形面积技巧求三角形面积技巧ABCEXYMNO1.三角形面积等于三角形面积等于AE与与MN乘积乘积 的一半的一半(三线平行且都垂直于三线平行且都垂直于 MN或者或者X轴轴)!2.若知道三角形三边的坐标若知道三角形三边的坐标,可以可以 用这种模式求三角形的面积用这种模式求三角形的面积.关关 键是求键是求AE的长度的长度,先求先求BC的关的关 系式系式,再求再求E点的坐标点的坐标,然后求然后求A E的长度的长度-特别提示特别提示勾股定理的应用勾股定理的应用1. 三边的长度：知二求一（三边的长度：知二求一（开方式开方式）。）。2
37、. 利用勾股定理列方程解决问题（利用勾股定理列方程解决问题（平方式平方式）。）。3. 知道两条直角边求斜边上的高（知道两条直角边求斜边上的高（等积法等积法）。）。4. 构造直角三角形通过上述方法解决问题。构造直角三角形通过上述方法解决问题。折叠问题解题思路折叠问题解题思路 设：设恰当的未知数。折叠中的某边。设：设恰当的未知数。折叠中的某边。 表：用含未知数的代数式表示未知的边。表：用含未知数的代数式表示未知的边。 找：找一个直角三角形（三边可表或可求）找：找一个直角三角形（三边可表或可求） 列：用勾股定理的列：用勾股定理的“平方式平方式”列方程。列方程。 解：解方程并检验。解：解方程并检验。
38、答：写出答案。答：写出答案。特别拓展特别拓展 锐角三角形中两边平方的和大于第三边。锐角三角形中两边平方的和大于第三边。 钝角三角形中钝角的两边平方的和小于钝钝角三角形中钝角的两边平方的和小于钝角的对边的平方。角的对边的平方。 要会证明（做高证明）要会证明（做高证明）勾股定理三情勾股定理三情形：形： a b c ab c a b ca2+b2=c2a2+b2c2a2+b2c2特别记忆特别记忆 若过直角三角形两锐角顶点的中线长分别为若过直角三角形两锐角顶点的中线长分别为m和和n，则此直角三角形斜边的长为（如图所，则此直角三角形斜边的长为（如图所示）：示）： 224()5mn直角三角形快速切换求边法
39、（强化训练直角三角形快速切换求边法（强化训练熟练掌握）熟练掌握）用比值法用比值法抓住已知抓住已知准确判断准确判断快速求值快速求值111234512135121323510用两边的长度或比值确定属于那种类型，用比值知一求二（其它边）用两边的长度或比值确定属于那种类型，用比值知一求二（其它边） 勾股定理的应用勾股定理的应用 直角三角形的判定：一角为直角；两锐角互余：直角三角形的判定：一角为直角；两锐角互余：两边平方和等于第三边平方。两边平方和等于第三边平方。 直角三角形的性质：锐角互余；两边平方的和直角三角形的性质：锐角互余；两边平方的和等于第三边；斜边上的到等于两直角边的乘积等于第三边；斜边上的
40、到等于两直角边的乘积除以斜边。除以斜边。 方程的思想帮助解决问题；辅助线构造直角三方程的思想帮助解决问题；辅助线构造直角三角形；直接用平方的形式构建方程：角形；直接用平方的形式构建方程： 若：若：a2=b2+c2,d2=e2+f2,a=d, 则则b2+c2=e2+f2 距离问题；航海问题；证明垂直；折叠问题；距离问题；航海问题；证明垂直；折叠问题；侧面展开问题；测量距离问题侧面展开问题；测量距离问题-。三个基本问题三个基本问题 蚂蚁立体对角吃东西路最近蚂蚁立体对角吃东西路最近 立体插杆怎么最长立体插杆怎么最长 梯子滑动问题梯子滑动问题222222()()()abcbaccab长方体蚂蚁对角爬长
41、方体蚂蚁对角爬吃东西求最短路程吃东西求最短路程a、b、c为长宽高为长宽高计算比较判断求之计算比较判断求之牢记：最大边平方与另外牢记：最大边平方与另外两边和的平方之和的算术两边和的平方之和的算术平方根最短平方根最短勾股定理产生的最长与最短问题勾股定理产生的最长与最短问题 最长问题：最长问题： 长方体对角点距离最长：长，宽，高平方和的算术平方根。长方体对角点距离最长：长，宽，高平方和的算术平方根。 圆柱体放置最长筷子：直径与高的平方和的算术平方根。圆柱体放置最长筷子：直径与高的平方和的算术平方根。 最短线路：最短线路： 长方体对角觅食：线路三条，最短的为长宽高（中最长方体对角觅食：线路三条，最短的
42、为长宽高（中最大者的平方大者的平方+另外两边和的平方）的算术平方根。另外两边和的平方）的算术平方根。 圆的对角觅食：圆周长的一半与高的平方和的算术平圆的对角觅食：圆周长的一半与高的平方和的算术平方根。（圆柱中间觅食：公式中高按实际高度计算）方根。（圆柱中间觅食：公式中高按实际高度计算） 长方体某顶点到对棱某点觅食：（长与宽和的平方长方体某顶点到对棱某点觅食：（长与宽和的平方+高高的平方）的算术平方根。的平方）的算术平方根。 用线绕圈最短问题：（圆周长的平方用线绕圈最短问题：（圆周长的平方+高除以间隔数的高除以间隔数的平方）的算术平方根，乘圈数。平方）的算术平方根，乘圈数。勾股定理的三大功能勾股
43、定理的三大功能求边长（知二求一）求边长（知二求一）开方式。开方式。列方程（求未知数）列方程（求未知数）平方式。平方式。证直角（证明垂直）证直角（证明垂直）平方式。平方式。本章重点培养的思想和方法本章重点培养的思想和方法 方程的思想方程的思想 数型结合的思想数型结合的思想 等积的思想（求斜高）等积的思想（求斜高） 分类讨论的思想（知任两边求另外一边）分类讨论的思想（知任两边求另外一边） 折叠和展开的思路（图形折叠；蚂蚁走路）折叠和展开的思路（图形折叠；蚂蚁走路） 定理和逆定理的理解记忆和应用定理和逆定理的理解记忆和应用 动点的思想（同一点出发，一向北一向南，动点的思想（同一点出发，一向北一向南，
44、一个速度为一个速度为3，一个速度为，一个速度为4，几分钟后相，几分钟后相距距20？ 图形变换图形变换全等变换全等变换相似变换相似变换（形状不变大小变）（形状不变大小变）图形的缩放（宝塔；酒盅图形的缩放（宝塔；酒盅-）对称对称旋转旋转平移平移翻折翻折形状大小都不变形状大小都不变两次翻折两次翻折 = 一次平移一次平移位似位似投影投影反射反射一一平移的概念平移的概念1.图形变换：平移；旋转；对称；翻折；相似。图形变换：平移；旋转；对称；翻折；相似。2.定义：在平面内，把一个图形沿某一个方向定义：在平面内，把一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。移动一定的距离，这样的图形运动称为
45、平移。3.确定平移的两要素：确定平移的两要素：方向方向和和距离距离。4.平移不改变图形的形状和大小，只改变图形平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。平移前后的图形全等。的位置。平移前后的图形全等。5.相关概念：平移前后能相互重合的点、线段、相关概念：平移前后能相互重合的点、线段、角分别称为角分别称为对应点、对应线段、对应角对应点、对应线段、对应角。6.对应点之间的连线（都平行）为平移的方向。对应点之间的连线（都平行）为平移的方向。7.平移是产生全等图形的一个途径。平移是产生全等图形的一个途径。二二平移动的特征平移动的特征1.实质：图形上的每一个点都沿同一个方向移实质：图形上的每一个点都
46、沿同一个方向移动了相同的距离。动了相同的距离。2.平移前后图形的形状、大小完全相同（全等）平移前后图形的形状、大小完全相同（全等）3.连接对应点的线段平行（连接对应点的线段平行（或在同一条直线上或在同一条直线上）且相等。对应线段平行（且相等。对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。对应角相等。（且相等。对应角相等。（沿某一边方向移动沿某一边方向移动）4.重要的关键词：平行且相等。方向、距离。重要的关键词：平行且相等。方向、距离。5.两种情形：方向与两种情形：方向与 一边相同；方向不一边相同；方向不 与任何一边相同。与任何一边相同。三三平移作图平移作图1.理论依据：平移的特征。（方向，距离！）理
47、论依据：平移的特征。（方向，距离！）2.步骤：步骤：一找一找（拐点）；（拐点）；二连二连（一对已知的对（一对已知的对应点）；应点）；三定三定（距离、方向）；（距离、方向）；四作四作（其它（其它拐点的对应点）；拐点的对应点）；五连五连（按照原图顺序连接（按照原图顺序连接所有拐点的对应点）。所有拐点的对应点）。3.作其它拐点的对应点：按照第二步中确定的作其它拐点的对应点：按照第二步中确定的方向和距离，作出其它拐点的对应点（平行、方向和距离，作出其它拐点的对应点（平行、相等、同向）。相等、同向）。4.平移作图法不唯一，在格纸上也可平移作图法不唯一，在格纸上也可象例象例2那那样利用格纸找平移的规律然后
48、作图。（多次样利用格纸找平移的规律然后作图。（多次平移动）平移动）坐标法坐标法。5.点平移点平移线段平移线段平移图形平移的关系。图形平移的关系。一一旋转的概念旋转的概念1.定义：平面内，将一个图形绕一个定点按某定义：平面内，将一个图形绕一个定点按某一方向旋转一个角度，这样的图形运动称为一方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；运动的角称旋转。这个定点称为旋转中心；运动的角称为旋转角。为旋转角。2.确定旋转的要素：一心；一角；一方向。确定旋转的要素：一心；一角；一方向。3.旋转中心的位置：图内、图上、图外都可。旋转中心的位置：图内、图上、图外都可。4.对应元素：对应点、对
49、应线段、对应角。对应元素：对应点、对应线段、对应角。5.旋转角：任意一对对应点与旋转中心连续所旋转角：任意一对对应点与旋转中心连续所成的角是旋转脚（都相等）。成的角是旋转脚（都相等）。6.本质：图上每个点都同时按照相同的方向绕本质：图上每个点都同时按照相同的方向绕旋转中心旋转了相同的角度。旋转中心旋转了相同的角度。二二旋转的基本特征旋转的基本特征1.旋转不改变图形的形状和大小，只改变其位旋转不改变图形的形状和大小，只改变其位置。旋转前后两图形全等。置。旋转前后两图形全等。2.基本特征：基本特征：经旋转，图上每一等都绕旋转中心沿相同的方向经旋转，图上每一等都绕旋转中心沿相同的方向旋转了相同的角度
50、。对应点的排列次序相同。旋转了相同的角度。对应点的排列次序相同。对应点到旋转中心的距离相等；任一对对应点与对应点到旋转中心的距离相等；任一对对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。对应线段相等，对应角相等。对应线段相等，对应角相等。全等。全等。3.注意：旋转的范围是在同一平面内。否则可注意：旋转的范围是在同一平面内。否则可能旋转为立体图形。能旋转为立体图形。三三旋转作图旋转作图1.理论依据：旋转的特征。理论依据：旋转的特征。2.步骤：步骤：一定：定心、定方向、定旋转角。一定：定心、定方向、定旋转角。二找：找拐点，二找：找拐点，三转：每个拐点与旋转中心相连
