1、 3.3典型周期信号的频谱一.周期矩形脉冲信号的频谱分析)(tfE02211nTtnT2) 1(211TntnT22T1.1.求求f(t)f(t)的复数振幅和展开成傅立叶级数的复数振幅和展开成傅立叶级数P90 (3-5)P90 (3-5) )cos()(110tncctfnndteETdtetfTctjnTTtjnTTn1122222)(222sin211nnTE上式中上式中n=0n=0，则为不定式利用罗必塔法则，则为不定式利用罗必塔法则TEnnTEcn22sin2lim211100cos22sin21 )(11111tnnnTEtfnT21ntjnennTEtf122sin)(112. 2.
2、画频谱图画频谱图由复振幅由复振幅nc的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所构成的包络是构成的包络是xxsin的形式的形式-称为抽样函数。称为抽样函数。1. 1. 找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）包络线方程为包络线方程为22sin2TEcn与横轴的交点由下式决定：与横轴的交点由下式决定：022sin即：3 ,2 ,2m264203,2,120fff若这些频率恰好基波频率恰好是基波频率的若这些频率恰好基波频率恰好是基波频率的整数倍，则相应的谐波为零。整数倍，则相应的谐波为零。TTTTfff3,2,010所以，包络线与
3、横轴的交点应满足两个条件：所以，包络线与横轴的交点应满足两个条件：一是谐波条件。一是谐波条件。二是谐波为零的条件。二是谐波为零的条件。2.粗略求出各次谐波的振幅值粗略求出各次谐波的振幅值由由的表达式可知：的表达式可知：nC当当31T时，最大值为时，最大值为ETE322即当即当31T时，第一个零时，第一个零点内含有二条点内含有二条谱线，依次类推，就大致画出了振幅频谱图。谱线，依次类推，就大致画出了振幅频谱图。nCE322413f16 f123.相位的确定相位的确定T21代入代入nC可知可知)104103(sin21pTnnECn1TnnC1Tn当角度当角度在第一、二象限时在第一、二象限时为正实数
4、为正实数即相位为零。即相位为零。nC当角度当角度在第三、四象限时在第三、四象限时为负实数为负实数即相位为即相位为二二.结论结论1.离散性离散性 2.谐波性谐波性 3.收敛性收敛性1.频谱是离散的频谱是离散的,两谱线间的距离为两谱线间的距离为T212.由由TEC0知知,当当E变大时变大时,变大变大. 则各次谐波的幅度愈大则各次谐波的幅度愈大.T变大变大,则谐波幅度愈小则谐波幅度愈小.3.当当mn21或或21mn时，谱线的时，谱线的包络经过零值。包络经过零值。4.频带问题频带问题(p164. 3-17)a.对于单调衰减的信号，把零频率到谐对于单调衰减的信号，把零频率到谐波幅度降到最大值十分之一的那
5、个频率波幅度降到最大值十分之一的那个频率间频带，称为信号的带宽间频带，称为信号的带宽 1011fb.对于周期过零的信号常认为包络线第对于周期过零的信号常认为包络线第 一个零点以上的谐波可以忽略不计一个零点以上的谐波可以忽略不计.1f三三.1T的比值改变时，对频谱结构的影响。的比值改变时，对频谱结构的影响。P105.图图(3-11)和和p106.图（图（312）1.T不变，不变，变变即即谱谱线线的的疏疏密密不不变变不不变变，不不变变，11.Ta的的收收敛敛速速度度变变慢慢则则ncb,.包包线线的的零零值值位位置置不不变变不不变变，不不变变，谱谱线线密密集集变变时时不不变变，2.,.21bTaT构
6、构会会发发生生什什么么变变化化呢呢？时时，时时域域波波形形和和频频谱谱结结Tc. 3.4非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析 -傅立叶变换傅立叶变换一一.问题的提出问题的提出1.从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。分布的规律就存在。2.从数学角度来看：从数学角度来看：221)(2limTTtjnTndtetfTCntjnneCtf121)(无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。结论：结论：信号的频谱分布是不会随着信号的周期信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。的无限增大而消失
7、的。T时，信号的频谱分布仍然存在。时，信号的频谱分布仍然存在。二二.频谱密度函数频谱密度函数1.定义：令定义：令)2(lim2lim)(110TCTCjFnnTdtetfCTaTTtjnTnT221)(lim2lim.b.这样定义能确切的反映信号的频谱分布特性。这样定义能确切的反映信号的频谱分布特性。各个频率分量振幅之间的相对比例关系是固定不各个频率分量振幅之间的相对比例关系是固定不变的。变的。2.几点说明几点说明)(.jFa代表了信号中各频率分量振幅的相对代表了信号中各频率分量振幅的相对大小。大小。b.各频率分量的实际振幅为各频率分量的实际振幅为dF| )(|是无穷是无穷小量。小量。C.具有
8、单位角频率振幅的量纲。具有单位角频率振幅的量纲。)()(| )(|)(.)(jbaejFjFdj)()(| )(|22bajF)()()(abarctg为为为为的相位。的相位。的振幅。的振幅。)(jF)(jF)(jF且且| )(|jF和和)(a为为的偶函数。的偶函数。)(和和)(jb为为的奇函数。的奇函数。补充：补充：复数谱（又称为幅相频谱）复数谱（又称为幅相频谱） 复数谱的图形通常用横轴表示实部，纵轴表示复数谱的图形通常用横轴表示实部，纵轴表示虚部。频率作为参变数，给定一个频率值，便虚部。频率作为参变数，给定一个频率值，便可得到曲线上一点。可得到曲线上一点。设设tTeTktf1)(dteeT
9、kjFtjtT1)()1(22)1(1TarctgeTTkTjk)(b0)(aK21)()(111)(2222jbaTTKjTKTjKjF1)()()()()(2abKaTab0)()()(22Kaba222)2()(21)(KbKa三三.非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析-傅立叶变换傅立叶变换1.由傅立叶级数到傅立叶积分由傅立叶级数到傅立叶积分2211)(221)(TTtjnnntjnndtetfTCeCtf当当时时T111, 0,nnddtetfdtetfTCjFtjTTtjnTnT)()(lim2lim)(221122221lim)(1TTeTCtftjnnnT当T时1,2ndTd
10、tetfjFdeFtftjtj)()()(21)(反变换反变换正变换正变换2.几点说明：几点说明：a.正变换给出了非周期信号的频谱的数学表达式。正变换给出了非周期信号的频谱的数学表达式。时间函数时间函数f(t)可以表示为频率在区间可以表示为频率在区间 )(内的指数函数的连续和。内的指数函数的连续和。傅立叶变换提供了信号的频率描述和时间描述之傅立叶变换提供了信号的频率描述和时间描述之间相互变换的工具。正变换通常叫做分析运算，间相互变换的工具。正变换通常叫做分析运算，反变换通常叫做综合运算。反变换通常叫做综合运算。B.关于连续谱的说明关于连续谱的说明具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分具有离
11、散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。量中。具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。3.傅立叶积分的三角形式傅立叶积分的三角形式dtFjdtFdeeFdejFtftjjtj)(sin| )(|21)(cos| )(|21| )(|21)(21)()(非周期信号：非周期信号：周期信号：周期信号：0)(cos(| )(|1)(dtFtf)cos()(10nnntnCCtf周期信号与非周期信号都可以分解为许多不同周期信号与非周期信号都可以分解为许多不同频率的正弦分量。频率的
12、正弦分量。对周期信号，是用实际振幅对周期信号，是用实际振幅对非周期信号，是用密度函数对非周期信号，是用密度函数nC)(jF作出的。作出的。作出的。作出的。四四.傅立叶积分的其他形式傅立叶积分的其他形式dejFatfdtetfajFtjtj)()()()(21只要只要2121aa1,212121, 1212121aaaaaadfefFtfdtetffFftjftj22)()()()(在最近的科技书中比较通用的形式有：在最近的科技书中比较通用的形式有：五五.傅立叶变换的存在傅立叶变换的存在)(jF存在的充分条件：存在的充分条件：dttfdttf)(|)(|dtetfdtetfjFtjtj|)(|)
13、(| )(|1|tje由由知知而而dttfF| )(| )(|傅立叶变换存在的充分条件是：傅立叶变换存在的充分条件是：dttf| )(|存在。存在。六六.周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比1.它们都具有抽样函数它们都具有抽样函数的形式。的形式。xxsin2.22sin2111nnTECn和和22sin)(EjFA.值较值较)(jF值多乘了值多乘了T2这是由于两者的定义规定的。这是由于两者的定义规定的。B.nCnC中的不连续变量中的不连续变量1n在在)(jF中变成中变成了连续变量了连续变量C.由非周期脉冲按一定的周期由非周期脉冲按一定的周期T重复后构成的重复后构
14、成的周期信号周期信号.)(jF和和nC之间可以互求。之间可以互求。3.非周期信号的频谱也具有收敛性。脉宽的定义非周期信号的频谱也具有收敛性。脉宽的定义方法与周期信号相同。方法与周期信号相同。3.5 3.6 3.9作业作业:p163.3-15,3-19预习预习证明：当全波和半波两个对称条件都满证明：当全波和半波两个对称条件都满足时，求傅立叶级数的系数只要对四分足时，求傅立叶级数的系数只要对四分之一波形积分即可。之一波形积分即可。 （半波对称）（全波对称）)2()()()(Ttftftftf40cos)(8TntdtntfTa证：)(cos)(2cos)(2cos)(2cos)(202200222
15、TTTTTnttdntfTtdtntfTtdtntfTtdtntfTaTtdtntfT20cos)(2)()(tftf)2()()()(Ttftftftf20cos)(4TtdtntfT2440cos)(4cos)(4TTTtdtntfTtdtntfT)2()2cos()2(4cos)(40440TtdTtTtfTtdtntfTTT0440sinsincos)cos(4cos)(4TTdtntnntntfTtdtntfT取偶数）ntdtntfTtdtntfTTT(cos)(4cos)(404400440)()(cos)(4cos)(4TTtdtntfTtdtntfT404040cos)(8cos)(4cos)(4TTTtdtntfTtdtntfTtdttfT
