1、1.全等三角形的性质 : 对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。2.全等三角形的判定 : 知识点知识点 一般三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS 直角三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS、HL 知识点知识点 3.三角形全等的证题思路：三角形全等的证题思路： ? 已知一边一角?ASA找夹边已知两角?SAS找夹角已知两边SSS?找另一边HL?找直角?SAS找夹角的另一边边为角的邻边AAS?找任一角ASA?找夹角的另一角AAS?找边的对角AAS?找任一边 ?边为角的对边到角的两边的距离相等的点在角的平到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 QDOA，QEOB，
2、QDQE（已知） 点Q在AOB的平分线上（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 (已知） QDQE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 二.角的平分线： 1. 角平分线的性质： 2.角平分线的判定： 2.如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 BM是ABC的角平分线,点P在BM上, PDAB于D，PEBC于E A B C P M N D E F PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. PDPE=PF. 即点P到三边AB
3、、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F 3.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 证明： 过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M G H M 点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC FGFM（角平分线上的点到这个角的 两边距离相等）. 又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC FMFH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. FGFH（等量代换） 点F在DAE的平分线上 例题选析例题选析 ? 例1：如图，D在AB上，E在AC上，且B =C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定AB
4、EACD的是( ) AAD=AE B AEB=ADC CBE=CD DAB=AC B ? 例2：已知：如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中全等的三角形共有( ) A1对 B2对 C3对 D4对 D 已知： ACBC，BDAD，AC=BD. 求证：BC=AD. 例3. A B C D ? 例例4:下面条件中, 不能证出RtABCRtA BC的是 (A.)AC=AC , BC=BC (B.)AB=AB , AC=AC (C.) AB=BC , AC=AC (D.)B=B , AB=AB C ? 例例5：如图，在ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分别为
5、D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使AEHCEB。 BE=EH ? 例6：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。 已知：如图，AD是ABC 的中线，求证： )(21ACABAD?A B C D E 证明： 延长AD到E，使DEAD，连结BE EDBADC? AD是ABC 的中线 BDCD 又 DEAD ADC EDB AC = EB 在ABE中，AE AB+BEAB+AC 即 2AD AB+AC )(21ACABAD?课堂练习课堂练习 1.已知BDCD，ABDACD，DE、DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F，求证：DEDF 证明：ABDACD（ ） EBD
6、FCD（ ） 又DEAE，DFAF（已知） EF900（ ） 在DEB和DFC中 DEBDFC（ ） DEDF（ ） ?（已知）（已证）已证CDBDFCDEBDFE)(全等三角形的对应边相等 AAS 垂直的定义 等角的补角相等 已知 2.点A、F、E、C在同一直线上，AFCE，BE = DF，BEDF，求证：ABCD。 证明： AEB? CFD?CEAF ?CFAE ?BE?又 DF21?DFBE ?又CA?AB? CD3、如图：在、如图：在ABC中，C C =900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。 12 c A B D E 4.已知，ABC
7、和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD E D C A B 变式：以上条件不变，将ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？ 证明： ABC和ECD都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ ACE 即BCE=DCA 在ACD和BCE中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACDBCE ( SAS) BE=AD 5：如图，已知E在AB上，1= 2， 3=4，那么AC等于AD吗？为什么？ 4 3 2 1 E D C B A 解：AC=AD 理由：在EBC和EBD中 1= 2 3=4 EB=EB
8、 EBCEBD (AAS) BC=BD 在ABC和ABD中 AB=AB 1= 2 BC=BD ABCABD ( SAS) AC=AD 6：如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。 F E D C B A 答： ABCDEF 证明： ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF 在ABC和DEF中 AC=DF A=D AB=DE ABCDEF （SAS） 7.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。 A C E B D 要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的
9、两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割） 2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补） P27 P27 P27 练习 7：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知： EGAF 求证： G F E D C B A 高 拓展题拓展题 8.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BCEF B C A F E D 10.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连
10、接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果那么）（1） ；（2） ； 4321FE（第18题）DCBA11.如图，在RABC中，ACB=450，BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE. 12.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。 ?求证： ADG 为等腰直角三角形。 GHFEDCBA13.已知：如图21，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC， 求证：EB=FC 总结提高 学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
