1、计算方法最佳一致计算方法最佳一致逼近多项式逼近多项式-切比切比雪夫多项式雪夫多项式内容函数逼近的基本概念切比雪夫多项式最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式在函数逼近中的应用利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子1 函数逼近的基本概念第3章 函数逼近与曲线拟合一、函数逼近与函数空间.种度量意义下达到最小的误差在某使p(x)与f(x),中找一个函数p(x)AB 数类便于计算的函要求在另一类较简单的f(x),函数对于函数类A中给定的 函数逼近问题：实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。BAb成立x对于一切a ,|p(x)f(x)| 使得多项式p(x),0,则 b,Ca,f(x) ass)若
2、1(Weierstr 定理出。该证明于1912年给 立。在0,1上一致成f(x)x)(f,Blim 使得,x)(1xkn(x)其中P(1.3) (x)Pnkfx)(f,B 项式Bernstein多 性证明：证明：伯恩斯坦的构造nnknkkn0kkn 定理1具有重要的理论意义； Bernstan多项式收敛到f(x)较慢，不常用。xyy=L (x) 的数值的数值一致逼近的几何意义由三角表达式定义的多项式 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。切比雪夫(Chebyshev)多项式 切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳一致逼近性质的插值多项式。切比雪夫多项式的(简单)定义：称为切比雪夫多项式。(
3、2.10)0,1,2,n sx),cos(narcco(x)T 1x1表达式：对n12xsx)cos(2arcco(x)T221cos(0)(x)T0课堂练习：推出T4(x)xx)cos(arccos(x)T13x4xsx)cos(3arcco(x)T33切比雪夫多项式的前几项：.0 cos(n),(x)T cos，则若令xn切比雪夫多项式的表达式(2.11) (x).T(x)2xT(x)T x,(x)T 1,(x)T1nn1n10. .1)(n,的系数为2(x)的最高次幂xT1nnn 则arccosx,证明：记 切比雪夫多项式的性质sin(n)sincos(n)cos1)cos(n1)cos
4、(ns2cos(n)co(x)T 1n(x)T-(x)2xT 1n nsin(n)sincos(n)cos )cos(n1)cos(n(x)T 1n（1）基本递推关系(2.12) 0.nm ,0,nm /2, n,m 0,(x)dx(x)TTx11nm112cos，则证：令x （2）正交性cos(n)dcos(m)0dcoscos1(n)cos(m)cos(x)dx(x)TTx1102nm112(n)dcos(m)cos00n)dcos(mn)cos(m210当当mn:21dcos(2n)21(n)dcos(m)cos00当当m=n0(n)dcos(m)cos0当当m=n=0n)cos(mn)
5、cos(m21(n)cos(m)cos根据积化和差公式：，且只含x的偶次幂.当n为偶数时为偶函数 次幂;奇函数，且只含x的奇(x)当n为奇数时为Tnx，结论成立。(x)T,1x(x)1时，T0和n1）当n100利用数学归纳法证明：)次方，(x)只含x的奇(偶2为奇(偶)数时，T2）假设当nn（3）奇偶性(x)只含x的奇次方左端T只含x的奇次方，从而(x)，T(x)只含x的奇次方，则2xT情况b）如果n为偶数；(x)只含x的偶次方方，从而左端T(x)只含x的偶数次T，(x)只含n的偶次方为奇数，则2xT得知：情况a）如果n(x)T(x)2xT(x)T 1的情况，由递推公式3）则对n1n1nn1n
6、1nn1nn1n（4）切比雪夫多项式的零点 n),1,2,(k ,2n1)(2kcosx的零点1,1上有n个不同(x)在Tkn n),1,2,(k 021)(2kcos )2n1)(2ks(coscosnarcco(x)T(x)的表达式，得到代入T n),1,2,(k ,2n1)(2kcos将x 证：nnk1 1x x2 2x x3 3x x4 4x x5 5x x6 6x x7 7x x8 8x x9 9x x1 10 0 x x1 11 1x x接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆弧的等距的点的集合。2 22 2 c co os
7、s2 22 25 5 c co os s2 22 27 7 c co os s2 22 2 c co os s3 3229cos2cos2213cos2215coscos图为T11(x)的零点，一共有11个 ,11)1,2,(k ,221)(2kcosxk。称为交错点组x 1，小值轮流取得最大值1和最 n),0,1,2,(k ,nkcosx 1个不同的极值点1,1上有n(x)在Tkknknnk1)(cosk )nks(coscosnarcco(x)T(x)的表达式，得到代入T n),1,2,(k ,nkcos将x 证：（5）切比雪夫多项式的极值点1 1x x0 01 1x x3 3x x4 4
8、x x1 1- -0 0 x x2 2T1(x)T2(x)T3(x)T4(x)T3(x)有3个0值点，4个极值点1-11-1总结： Tn(x)具有很好的性质。Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有界-1, 1； T1(x), T3(x),只含x的奇次项，是奇函数，T2(x), T4(x),只含x的偶次项，是偶函数。xy3 最佳一致逼近多项式一、基本概念及其理论 |(x)pf(x)|min|(x)pf(x)| 使得误差,H(x)求多项式p b,Ca,本节讨论f(x)nHp*nn*nnn。或切比雪夫逼近问题此即所谓最佳一致逼近目的：求一个能够按照绝对值逼近f(x)的最佳 n次多项
9、式不超过n次的实系数多项式的全体HnCa, bb上的偏差。(x)在a,是f(x)与p(3.1) |(x)pf(x)|max|pf|)p(f,称,H(x)p b,Ca,设f(x) 定义7nnbxannnn。b上的最小偏差称为f(x)在a,(3.2) |(x)pf(x)|maxinf )p(f,infEnbxaHpnHpnnnnn偏差的定义确定的Pn(x)对所有的Pn(x)?Hn近多项式。近多项式，简称最佳逼逼b上的n次最佳一致a,(x)是f(x)在则称p(3.3) (最小偏差)， E)p(f, 使得,H(x)若存在p b,Ca,设f(x) 定义8*nn*nn*n使得,H(x)则必存在p b,Ca
10、,若f(x)4 定理n*n E|pf|n*n最佳一致逼近多项式的存在性定理p(x)的系数annn2210 xaxaxaap(x) 证明：设n次多项式. .|p(x)f(x)|maxmin)a,a,(a 使得),a,a,a可以证明存在唯一的(bxaHp*n*1*0*n*1*0n|p(x)f(x)|max)a,a,(a 并记bxan10三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用. .1)(n,的系数为2(x)的最高次幂x已知T1nnn希望构造最高次幂xn 系数为1 的多项式：.211,1上的极值依次达到它在 n),0,1,2,(k nkcosx (x)在T 2),系数为1的n次多项式(x)是最高次幂项x
11、T 1)则 (x),T21(x)T 设1nknnnn1nn(x).Hp(x) |,0p(x)|max|0(x)T|max21 即,21且其偏差为与零的偏差最小,(x)T21(x)T (x)中,的一切n次多项式H 1 1,1上首项系数为在 定理6n1x1n1x11n1nn1nnn三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用证明比较复杂，省略。这个定理的结论非常重要多项式的插值余项为上的拉格朗日插值x,x,1个互异节点xn1,1上的函数f(x)在 1,1,C问题：设f(x)n101n怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近？n0jj1)(nnn)x(x1)!(n()f(x)Lf(x)(x)R偏差估计则
12、|,(x)f|max若M1)(n1x11n|)x(x)x)(xx(x|1)!(nM|(x)R|n101nn 1,1只需令：取极小值,|)x(x)x)(xx(x|max要使n101x1最佳一致逼近0的多项式而上式成立的充分必要条件是x0, x1,xn是切比雪夫多项式的0点。(x),T21)x(x)x)(xx(x1nnn101nn,1,k ,1)2(n1)-(2kcos x :的0点(x)(x)的节点取为T值多项式L将Lagrange插k1nn致逼近的性质。(x)具有近似最佳一L此时,n多项式，且1上的最佳一致逼近 -1,(x)是f(x)在的0点，则L取为切比雪夫多项式Tx,.,x,其插值节点x(
13、x)为插值多项式，L1,1,C设f(x) 定理7n1nn10n1n|(x)f|1)!(n21|(x)Lf(x)|max1)(nnn1x1-证明：|(x)T21|(x)f|1)!(n11nn1)(n|(x)f|1)!(n211)(nn |)x(x)x)(xx(x|(x)f|1)!(n1|(x)Lf(x)|maxn101)(nn1x1-已知|Tn(x)|=1的0点即可。切比雪夫多项式T取为x,.,x,(x)的插值节点x只需将L(x)，逼近多项式L1,1上的最佳一致欲求f(x)在1,1,C设f(x) 总结：1nn10nn1n g(t)t)2ab2baf(f(x) 化为1t1 t,2ab2ba x则函
14、数通过变换 b,a,C设f(x)1n对任意区间a, b，不能直接使用定理7。例如：为将0, 1 -1, 1，可以令：1)(t21t201210 x1.t1 , g(t)1)(t21f(f(x)则针对g(t)使用定理7最佳逼近拉格朗日插值多项式的构造步骤(x)的插值节点。作为插值多项式Lx,.,x,0点x 的T则计算切比雪夫多项式1,1,C若f(x) 1)nn101n1n的插值节点。即为L n0,1,.,k,t2ab2ba x则;t,.,t,t 的0点，7。计算T针对g(t)应用定理 1.t1 , g(t)t)2ab2baf(f(x) t2ab2ba则令x b,a,C2)若f(x)nkkn101
15、n1n(x)的插值节点为：(t)的0点可得L利用T450.02447x0.20611,x0.5,x0.79390,x0.97553,x经计算，得54321-1,1t1),(t21x解：利用定理7，构造所求的L4(x)；令：tk1,2,3,4,5k,101-2kcos121xk(t)的0点T5例4. 求f(x)=ex 在0, 1上的4次最佳一致逼近 多项式L4(x),并且估计误差。01234x0.97553 0.793900.50.206110.02447ex2.65257 2.21201 1.648721.228891.024770.02447)0.20611)(x0.5)(x0.7939)(
16、x15.82028(x0.02447).975530.20611)(0530.5)(0.975975530.7939)(0.(0.975530.02447)0.20611)(x0.5)(x0.7939)(x(x(x)l0 0.02447)0.20611)(x0.5)(x0.97553)(x-x-41.42502(0.02447).79390.20611)(090.5)(0.793.79390.97553)(0-(0.79390.02447)0.20611)(x0.5)(x0.97553)(x-(x(x)l1 0.02447)0.20611)(x0.7939)(x-0.97553)(x-(x51
17、.19880.02447).50.20611)(050.7939)(0.-.50.97553)(0-(0.50.02447)0.20611)(x0.7939)(x-0.97553)(x-(x(x)l2 0.02447)0.5)(x0.7939)(x-0.97553)(x-41.42502(x 0.02447)110.5)(0.206206110.7939)(0.-.206110.97553)(0-(0.206110.02447)0.5)(x0.7939)(x-0.97553)(x-(x(x)l30.20611)0.5)(x0.7939)(x-0.97553)(x-15.75051(x0.206
18、11)470.5)(0.024024470.7939)(0.-.024470.97553)(0-(0.024470.20611)0.5)(x0.7939)(x-0.97553)(x-(x(x)l4 Lagrange插值多项式为 (x)1.02447l(x)1.22889l (x)1.64872l(x)2.21201l(x)2.65257l(x)L4321044324x0.06849435x0.14184105 x0.50902251x0.998862331.00002274(x)L经过比较复杂的计算，得：误差估计：注意到变换 x = (t+1)595454321054321043210(5)x
19、4x1x0104.43215!e|(t)T21|215!e|)t)(tt)(tt)(tt)(tt(t|215!e|)t(t21)t(t21)t(t21)t(t21)t(t21|5!e|)x)(xx)(xx)(xx)(xx(x|1)!(4|)(e|(x)Le|max这说明，在区间0, 1上使用多项式L4(x)逼近ex 的绝对值误差非常小，避免了龙格现象。T5 (t)最高次幂系数为2401234x0.97553 0.793900.50.206110.02447ex2.65257 2.21201 1.648721.228891.02477)x)(xx)(xx)(xx(xa )x)(xx)(xx(xa
20、 )x)(xx(xa )x(xaa)x)(xx)(xx)(xx(xx,x,x,x,fx )x)(xx)(xx(xx,x,x,fx )x)(xx(xx,x,fx )x(xx,fx)f(x(x)N32104210310201032104321021032101021001004 现在试图用Newton插值多项式逼近xifxifxi, xi+1fxi, xi+1, xi+2 fxi, xi+1, xi+2, xi+3 fxi, xi+1, xi+2, xi+3 ，xi+4 x0f(x0)x1f(x1) fx0, x1x2f(x2) fx1, x2fx0, x1, x2 x3f(x3) fx2, x3
21、fx1, x2, x3 fx0, x1, x2, x3 x4f(x4) fx3, x4fx2, x3, x4 fx1, x2, x3, x4 fx0, x1, x2, x3, x4xif(xi)fxi, xi+1fxi, xi+1, xi+2 fxi, xi+1, xi+2, xi+3 fxi, xi+1, xi+2, xi+3 ，xi+4 0.97552.65260.79392.2122.42620.51.64871.91661.07170.20611.22891.42840.83060.31340.02451.02481.12390.64040.24720.0696432432444334
22、3224321443210433323130202110421032232132031021042021103102132104210310201032104210310201040.0696x0.1411x0.5085x0.99914x0.999970.0696x0.06962.4755-0.3134x0.06962.12680.31342.2694-1.0717x0.06960.7292-0.31341.65911.07171.7694-x2.42620.99997xa2.4755a-ax2.1268a2.2694a-ax0.7292a-1.6591a1.7694a-xa0.06960.0
23、7980.31340.3872-1.07170.77442.42620.9755-2.6526xa)xxx(xaax)xxxxxxxxxxx(xa)xx(xaax)xxxxxxxxxxx(xa-)xxxxx(xa)x(xa-xaxxxxaxxxa-xxaxa-a)x)(xx)(xx)(xx(xa )x)(xx)(xx(xa )x)(xx(xa )x(xaa(x)N43240.0696x0.1411x0.5085x0.99914x0.99997(x)N 这个结果和使用拉格朗日插值法所得到的结果稍有误差，由具体计算的小数点后位数引起。(x).到插值多项式L内的插值节点，由此得得到在区间-5,50,
24、1,.10，k,5t 作变换x10kk1,2,.,11k, 221)(2kcostk例5. 求f(x)=1/(1+x2) 在-5, 5上的10次最佳 一致逼近多项式L10(x),并且估计误差。解：在-1, 1上的切比雪夫多项式T11(x)的0点 为做变换 x=5t, 当t?-1, 1的时候，x ?-5, 5xy2 2x x1 11 1y yy=L 10 (x)。逼近。未出现龙格现象x11(x)对f(x)L的0点，v多项式T取为Chebyshex,.,x,插值节点x21011n101 1x x2 2x x3 3x x4 4x x5 5x x0 0 x x6 67 7x x8 8x x9 9x x
25、1 10 0 x x1 11 1x x2 22 2 5 5c co os s2 22 23 3 5 5c co os s2 22 25 5 5 5c co os s2 22 27 7 5 5c co os s2 22 29 9 5 5c co os s2 2 5 5c co os s2 22 22 21 1 5 5c co os s2 22 21 13 3 5 5c co os s2 22 21 15 5 5 5c co os s-55总结 最佳逼近：设有函数类A，若 存在函数类BA。对函数f(x)?A，若存在函数*(x)?B，使得在某种范数下 |f-*|= |f-|, ?B成立。HnCa, b 特别地，取A=Ca, b，B= Hn，为不超过n次的实系数多项式的集合。对某函数f(x)? Ca, b ，若存在P*(x) ? Hn ，使得|f-P*| = |f-P|, P(x) ? Hn，则称P*(x)一致地最佳逼近f(x). BA多项式。(x)为最佳一致逼近的0点，则L多项式T 取Chebyshefx,.,x,(x)的插值节点xL 值多项式若Lagrange插1,1,C设f(x)n1nn10n1n结论：f(x)要充分光滑，插值节点选取也很特别。总结(续)作业 P94 11
