1、第八章第八章 非线性系统分析非线性系统分析8 8-1 -1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述8 8-2 -2 常见非线性及其对系统性能影响常见非线性及其对系统性能影响8 8-3 -3 相平面法相平面法8 8-4 -4 描述函数法描述函数法一、研究非线性控制理论的意义一、研究非线性控制理论的意义在前面各章中，我们讨论了线性系统的分析与设计在前面各章中，我们讨论了线性系统的分析与设计问题。但是，理想的线性系统是不存在的。实际的问题。但是，理想的线性系统是不存在的。实际的物理系统，由于其组成元件在不同程度上具有非线物理系统，由于其组成元件在不同程度上具有非线性特性，严格地讲，都是非线性系统。当系
2、统的非性特性，严格地讲，都是非线性系统。当系统的非线性程度不严重时，采用线性方法进行研究是有实线性程度不严重时，采用线性方法进行研究是有实际意义的。但是，如果系统的非线性程度比较严重，际意义的。但是，如果系统的非线性程度比较严重，采用线性方法往往会导致错误的结论。因此，必须采用线性方法往往会导致错误的结论。因此，必须对非线性系统进行专门的探讨。对非线性系统进行专门的探讨。8 8-1 -1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述二、非线性系统的特点二、非线性系统的特点 1 1、稳定性分析复杂、稳定性分析复杂 线性系统只有一个平衡状态，其稳定性只决定于系统线性系统只有一个平衡状态，其稳定性只决定于系
3、统本身的结构和参数，而和系统的初始条件无关。然而非本身的结构和参数，而和系统的初始条件无关。然而非线性系统可能存在多个平衡状态，其稳定性不仅与系统线性系统可能存在多个平衡状态，其稳定性不仅与系统本身的结构和参数，而且与系统的初始条件有关。本身的结构和参数，而且与系统的初始条件有关。 如非线性方程上述系统方程中x项的系数是(1x)，它与变量x有关。若设t0时，系统的初始状态为xx0，由上式得两边积分得0)1 (xxx txxxxxtxd)(d)(dd11txxtxxxtxxxxxxxtxxtxx00001111100)ln(lnddd)(dttxxxtxtxxxxee)(ln00000111令可
4、解得该系统有两个平衡状态x0和x1。0 x 具体分析：具体分析：(1)对于平衡状态对于平衡状态x=0，只，只要要x01，系统有能力恢复，系统有能力恢复到平衡状态到平衡状态x=0，平衡状，平衡状态态x=0是小范围稳定。是小范围稳定。(2)对于平衡状态对于平衡状态x=1，若，若x01，t时，时，x(t) ，平衡状态平衡状态x=1不稳定。不稳定。2 2、可能存在自激振荡、可能存在自激振荡 对于线性系统而言，只有当系统处于稳定的临界状态时，才会对于线性系统而言，只有当系统处于稳定的临界状态时，才会出现等幅振荡，但这一运动形式是不能持久的。系统参数稍有出现等幅振荡，但这一运动形式是不能持久的。系统参数稍
5、有细微的变化，这一临界状态就不能继续，而会转化为发散或收细微的变化，这一临界状态就不能继续，而会转化为发散或收敛，然而在非线性系统，即使无外界作用，往往也会产生具有敛，然而在非线性系统，即使无外界作用，往往也会产生具有固定振幅和频率的振荡，称为固定振幅和频率的振荡，称为自激振荡自激振荡。自激振荡是非线性系自激振荡是非线性系统特有的现象。统特有的现象。2 2、可能存在自激振荡、可能存在自激振荡 在多数情况下，正常工作时不希望有振荡存在，必须设法消除在多数情况下，正常工作时不希望有振荡存在，必须设法消除它；但在有些情况下，特意引入自激振荡，使系统具有良好的它；但在有些情况下，特意引入自激振荡，使系
6、统具有良好的静态、动态特性。静态、动态特性。3 3、频率特性发生畸变、频率特性发生畸变在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号通常是出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数包含高次谐波的非正弦周期函数，使输，使输出波形发生出波形发生非线性畸变非线性畸变。四、分析与设
7、计方法四、分析与设计方法而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线叠加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。性问题。1 1、相平面法、相平面法（一、二阶系统）（一、二阶系统）2 2、描述函数法、描述函数法（高阶系统）（高阶系统）8 8-2 -2 常见非线性及其对系统运动的影响常见非线性及其对系统运动的影响一、一、死区特性死区特性特点：特点：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性当输入信号大于某一
8、数值时才有输出，且与输入呈线性关系。关系。 影响：影响：控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳态误差，而测量元件死区的影响尤为显著。但有时人为态误差，而测量元件死区的影响尤为显著。但有时人为地引入死区，可消除高频的小幅度振荡，从而减少系统地引入死区，可消除高频的小幅度振荡，从而减少系统中器件的磨损。中器件的磨损。 cxcxkcxcxkcxy)()(0实际工程中很多测量机构和元件都存在死区，即实际工程中很多测量机构和元件都存在死区，即该元件的输入信号未超过某一特征数值时，无相该元件的输入信号未超过某一特征数值时，无相应的输出；只有当输入信号的幅值超过
9、这一特征应的输出；只有当输入信号的幅值超过这一特征值时，才有相应的输出。例如，作为执行元件的值时，才有相应的输出。例如，作为执行元件的电动机，由于轴上存在静摩擦，电枢电压必须超电动机，由于轴上存在静摩擦，电枢电压必须超过某一数值电机才可能转动；测量放大元件，输过某一数值电机才可能转动；测量放大元件，输入信号在零值附近的某一小范围内时，其输出等入信号在零值附近的某一小范围内时，其输出等于零，只有当输入信号大于此信号范围时才有输于零，只有当输入信号大于此信号范围时才有输出。此外，电气触点的预压力，弹簧的预张力，出。此外，电气触点的预压力，弹簧的预张力，各种电路的阈值等都构成了死区。各种电路的阈值等
10、都构成了死区。二、饱和特性二、饱和特性特点：特点：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。入信号变化而保持恒定。影响：影响：饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数减小，因而降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性减小，因而降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性做信号限幅。做信号限幅。cxkccxkccxkxy,三、间隙特性三、间隙特性 特点：特点：当输入当输入x x在不断增大时，输出在不断增大时，输出y y与输入与输入x x的关系的关系由图由图7 7中箭头向右的线段确定，当输入
11、中箭头向右的线段确定，当输入x x在不断减小在不断减小时，输出时，输出y y与输入与输入x x的关系由箭头向左的线段确定。的关系由箭头向左的线段确定。 影响：影响：一般说来，间隙特性会使系统稳态误差增大，一般说来，间隙特性会使系统稳态误差增大，相角滞后增大，从而使动态性能变坏，所以应尽量相角滞后增大，从而使动态性能变坏，所以应尽量避免或减小。避免或减小。齿轮传动中的齿隙齿轮传动中的齿隙液压传动中的油隙液压传动中的油隙四、继电器特性四、继电器特性 继电器是继电特性的典型元件。继电器是继电特性的典型元件。 继电特性常常使系统产生振荡现象，但在控制系统中，继电特性常常使系统产生振荡现象，但在控制系统
12、中，有时利用继电器的切换特性来改善系统的性能，也可有时利用继电器的切换特性来改善系统的性能，也可以构成正弦信号发生器。以构成正弦信号发生器。 8-3 8-3 相平面法相平面法相平面法是一种图解法，适用于非线性和一阶或二阶相平面法是一种图解法，适用于非线性和一阶或二阶线性环节组成的非线性系统。线性环节组成的非线性系统。一、相平面法基本概念一、相平面法基本概念 2 2、相轨迹、相轨迹相变量随相变量随t变化而形成的曲线称为相轨迹，曲线上箭头方向变化而形成的曲线称为相轨迹，曲线上箭头方向为为t增加方向。增加方向。1 1、相平面、相平面设二阶系统常微分方程为设二阶系统常微分方程为,xf x x()该方程
13、的解可以用该方程的解可以用x( (t) )曲线表示曲线表示, ,也可以用也可以用x( (t) )和和 的关的关系曲线表示，系曲线表示， x( (t) )和和 称作相变量（状态变量）。以称作相变量（状态变量）。以x(t)为横坐标为横坐标， 为纵坐标构成的平面，称为相平面为纵坐标构成的平面，称为相平面( )x t( )x t( )x t02468二、相轨迹的绘制二、相轨迹的绘制（1 1）解析法）解析法对于可以对微分方程实行分段积分的非线性系统，可以采对于可以对微分方程实行分段积分的非线性系统，可以采用解析法，即用解析法，即用求解微分方程的办法找出用求解微分方程的办法找出x和和 的关系，的关系，从而
14、可在相平面上绘制相轨迹。从而可在相平面上绘制相轨迹。x 00,( )( )( )=( )xxxxxf x xdxdx dxdxxxdtdx dtdxdxxf x xdxg x dxh x dxg x dxh x dx()代入上式得：()若上式可以分解为：两边积分得：0 kxxm 0 xx xxxxdd解解 描述系统的微分方程式为0)0(xx例题例题 某弹簧质量运动系统如图所示，图中m为物体的质量，k为弹簧的弹性系数。若初始条件为x(0)x0，试确定系统自由运动的相轨迹。xxxxxxxx00dd)(21)21202202xxxx （xxxxdd202022xxxx该系统自由运动的相轨迹为以原点为
15、圆心、为半径的圆，2020 xx二、相轨迹的绘制二、相轨迹的绘制（2 2）等倾线法）等倾线法对于可以对微分方程实行分段积分的非线性系统，应用解对于可以对微分方程实行分段积分的非线性系统，应用解析法是方便的，但这究竟是属于少数的情况。就一的般非析法是方便的，但这究竟是属于少数的情况。就一的般非线性系统而言，常需要用图解法来绘制相轨迹。图解法常线性系统而言，常需要用图解法来绘制相轨迹。图解法常用的方法有两种：即等倾线法和用的方法有两种：即等倾线法和法。我们只介绍法。我们只介绍等倾线法。等倾线法。等倾线法的基本思路是先确定相轨迹的等倾线，进而绘制等倾线法的基本思路是先确定相轨迹的等倾线，进而绘制出相
16、轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。逐步绘制相轨迹。,f x xdxdxxf x xxf x xdxdxx()()()其中，是相轨迹的斜率，令为一常数，则有xxdd,ddxxxxxf),(相轨迹方程相轨迹方程等倾线方程等倾线方程根据等倾线方程可在相平面上作一曲线，称为等倾线。根据等倾线方程可在相平面上作一曲线，称为等倾线。当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为等，均为。取。取为若干不同的常数，即可在相平面上绘为若干不同的常数，即可在相平面上绘制出若干条等
17、倾线，由此即可构成相轨迹的切线方向场。制出若干条等倾线，由此即可构成相轨迹的切线方向场。所以，根据给定的初始条件，从初始点出发，便可沿各所以，根据给定的初始条件，从初始点出发，便可沿各条等倾线所决定的相轨迹的切线方向依次画出系统的相条等倾线所决定的相轨迹的切线方向依次画出系统的相轨迹。轨迹。xxxdxxdxxdxxdxxxx xxxdxxd，则等倾线方程为令xx11 x是相轨迹斜率是相轨迹斜率是等倾线斜率是等倾线斜率的相轨迹绘制0 xxx 例题：例题：xx11x11-1585211353135 120 104231 xx 0-15852353135 120 104231 xxxx 0-1585
18、2353135 120 104231 xx注意事项注意事项(P395)比例尺要相同和）坐标轴xx1走向自左向右）上半平面,x02 走向自右向左下半平面,x0 轴相轨迹垂直经过）除平衡点外x,3相轨迹越准确）等倾线越密,4三、线性系统的相轨迹三、线性系统的相轨迹 线性系统是非线性系统的特例，对于许多非线性一阶和线性系统是非线性系统的特例，对于许多非线性一阶和二阶系统二阶系统( (系统所含非线性环节可用分段折线表示系统所含非线性环节可用分段折线表示) )，常，常可以分成多个区间进行研究。而在每个区间内，非线性可以分成多个区间进行研究。而在每个区间内，非线性系统的运动特性可用线性微分方程描述。因此，
19、研究线系统的运动特性可用线性微分方程描述。因此，研究线性一阶、二阶系统的相轨迹及其特点是十分必要的。性一阶、二阶系统的相轨迹及其特点是十分必要的。1 1、一阶系统的相轨迹、一阶系统的相轨迹1xxT xx T0，相轨迹沿直线，相轨迹沿直线收敛于原点收敛于原点2 2、二阶系统的相轨迹、二阶系统的相轨迹描述线性二阶系统自由运动的微分方程为描述线性二阶系统自由运动的微分方程为022xxxnn xxxxxxxxxxxxxnnnnnn 222222dddd由第由第3 3章的分析可知，线性二阶系统运动的性质取决于特征根章的分析可知，线性二阶系统运动的性质取决于特征根的分布，主要有以下几种情况。的分布，主要有
20、以下几种情况。1)无阻尼运动无阻尼运动(0)此时特征方程的根为一对共轭虚根，方程此时特征方程的根为一对共轭虚根，方程变为变为xxxxxnn22dd1202202220220220222022222220000 xxxxxxxxxxxxxdxxdxxdxxdxxxdxxdnnnnxxnxxxxnxxnn)(j02)欠阻尼运动欠阻尼运动(01)此时特征方程的根为一对具有负实部的共此时特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根，其相轨迹在前面已经用等倾线绘轭复根，其相轨迹在前面已经用等倾线绘制制 =0.5xx 0j j0 0由图可以看出，由图可以看出，无论初始条件无论初始条件如何，经过衰如何，经过衰减振
21、荡，系统减振荡，系统最终趋于平衡最终趋于平衡点即坐标原点。点即坐标原点。0 xxx 3)过阻尼运动过阻尼运动(1)此时特征方程的根为两个负实数根此时特征方程的根为两个负实数根xxxxxnn22dd 1j0 2过阻尼系统在各种初过阻尼系统在各种初始条件下的响应均单始条件下的响应均单调地衰减到零，其对调地衰减到零，其对应的相轨迹单调地趋应的相轨迹单调地趋于平衡点于平衡点原点。原点。可以证明，此种情况可以证明，此种情况下的相轨迹是一簇通下的相轨迹是一簇通过原点的抛物线，系过原点的抛物线，系统的暂态分量为非振统的暂态分量为非振荡衰减形式，存在两荡衰减形式，存在两条特殊的等倾线，其条特殊的等倾线，其斜率
22、分别为斜率分别为01211knn12221kknn4)4)负阻尼运动负阻尼运动此种情况下系统处于不稳定状态，按照特征根的不同分布，可分为两种情况予以讨论。(1)10时，系统的特征根为一对具有正实部的共轭复数根，系统的自由运动为发散振荡形式，此时的相轨迹是一簇从原点向外卷的离心螺旋线，如图所示。j j0 0(2)1时，时，系统的特征根为两个正实数根，系统的自由系统的特征根为两个正实数根，系统的自由运动呈非振荡发散形式，此时的相轨迹存在两条特殊的等运动呈非振荡发散形式，此时的相轨迹存在两条特殊的等倾线，其斜率分别为倾线，其斜率分别为k1 1和和k2 2。相轨迹的形式与。相轨迹的形式与1的情况相同，
23、只是运动方向相反，是一簇从原点出发向外的情况相同，只是运动方向相反，是一簇从原点出发向外单调发散的抛物线，如图所示。单调发散的抛物线，如图所示。j0215)5)正反馈二阶系统的运动正反馈二阶系统的运动正反馈二阶系统的特征方程为正反馈二阶系统的特征方程为022xxxnn 此时的特征根为此时的特征根为1221nn,其中，一个为正实数根，一个为负实数根，系统的响应依然其中，一个为正实数根，一个为负实数根，系统的响应依然单调发散，相轨迹为一簇双曲线，如图所示。单调发散，相轨迹为一簇双曲线，如图所示。j j0 01 12 2022xxxnn 四、奇点和奇线四、奇点和奇线在奇点处，在奇点处，0,0 ,00
24、,0 xf x xxf x xxxx()()速度和加速度都为速度和加速度都为0 0，系统处于平衡状态，故奇点又称为，系统处于平衡状态，故奇点又称为平平衡点，奇点一定位于相平面的横轴上衡点，奇点一定位于相平面的横轴上。线性二阶系统惟一的。线性二阶系统惟一的奇点即为原点奇点即为原点(0(0，0)0)。0 xx对于二阶系统在奇点处，对于二阶系统在奇点处，00dxdx 1 1、奇点：、奇点：以微分方程 表示的二阶系统，其相轨迹上每一点切线的斜率为 若在某点处 和同时为零，即有 不定形式，则称该点为相平面的奇点奇点。),(xxfx xxxfxx),(dd),(xxf x 相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表
25、明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点。因此在奇点处，多条相轨迹相交；而在相轨迹的非奇点(称为普通点)处，不同时满足和,相轨迹的切线斜率是一个确定的值，故经过普通点的相轨迹只有一条。0 x 0),(xxf022xxxnn 奇点的类型奇点的类型线性二阶系统为非线性二阶系统的特殊情况。按照前面的分线性二阶系统为非线性二阶系统的特殊情况。按照前面的分析，特征根在析，特征根在s s平面上的分布，决定了系统自由运动的形式，平面上的分布，决定了系统自由运动的形式，因而可由此划分线性二阶系统奇点因而可由此划分线性二阶系统奇点(0(0，0)0)的类型。的类型。线性二阶系统相轨迹的奇点类型线性二阶系统相轨迹
26、的奇点类型j0j0j0稳定节点稳定节点稳定焦点稳定焦点中心点中心点不稳定节点不稳定节点不稳定焦点不稳定焦点鞍点鞍点 1j0 2j021j0120000,x xx xx xx xf x xf x xxxxxx ()()0000=,x f x xf x xx xf x xx xx对于常微分非线性方程，若解析，设是其奇点，则可将在其奇点处展开成泰勒级数，在奇点的小邻域内，略去高次项，得到奇点附近关于 的线性二次微分方程()()()()()解：解：0000202501122222 .00 xxxxxxxxxxxx 和有两个奇点得：代入方程，在奇点处：0000,x xx xx xx xf x xf x
27、xxxxxx ()()000000001,20 0,222,0.50.520.50.5200.251.390 0 xxxxxxxxf x xxxf x xxxxxxxxsj 奇点（ ，）处：()()特征根为，故奇点（ ，）为稳定焦点。例题：例题：已知非线性系统的微分方程为已知非线性系统的微分方程为求系统的奇点，并判断奇点的类型。求系统的奇点，并判断奇点的类型。02502xxxx .2,0.52f x xxxxx ()2020202012-2 0,222,0.50.520.50.5201.191.692 0 xxxxxxxxf x xxxf x xxxxxxxxss 奇点（ ，）处：()()特征
28、根为，故奇点（，）为鞍点。2 2、奇线、奇线奇线是奇线是特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域，最常见的形式是动特点的多个区域，最常见的形式是极限环极限环。极限极限环是相平面图上一个环是相平面图上一个孤立孤立的封闭相轨迹。的封闭相轨迹。极限环是极限环是非线性系统中的特有现象，它只发生在非守恒系统非线性系统中的特有现象，它只发生在非守恒系统中，产生的原因是由于系统中非线性特性的作用，中，产生的原因是由于系统中非线性特性的作用，使得系统能从非周期性的能源中获取能量，从而维使得系统能从非周期性的能源中获取能量，从而维持周期运动形式。根据极限环邻近
29、相轨迹的运动特持周期运动形式。根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将极限环分为三种类型：点，可将极限环分为三种类型：（1 1）稳定的极限环：）稳定的极限环：环内的相轨迹和环外的相轨迹环内的相轨迹和环外的相轨迹都向极限环逼近，都向极限环逼近，系统的运动表现为自激振荡系统的运动表现为自激振荡。（2 2）不稳定的极限环：）不稳定的极限环：环内的相轨迹和环外的相轨环内的相轨迹和环外的相轨迹都逐渐远离极限环，系统的运动或者收敛于奇点迹都逐渐远离极限环，系统的运动或者收敛于奇点或者发散至无穷或者发散至无穷。（3 3）半稳定的极限环：）半稳定的极限环：图图(c)(c)中中环环内的相轨迹向极限环逼近，内的相轨迹
30、向极限环逼近，环外的远离而去，系统的运动最终发散至无穷；环外的远离而去，系统的运动最终发散至无穷；图图(d)(d) 环外的环外的相轨迹向极限环逼近，环内的远离而去，系统的运动最终收敛相轨迹向极限环逼近，环内的远离而去，系统的运动最终收敛于奇点于奇点。三、非线性系统的相平面分析三、非线性系统的相平面分析 1 1、步骤、步骤（1 1）用开关线将相平面分成若干个线性区域，建立每个区域用开关线将相平面分成若干个线性区域，建立每个区域的线性微分方程；的线性微分方程； （2 2）在相平面上选择合适的坐标，一般常用误差及其导数分）在相平面上选择合适的坐标，一般常用误差及其导数分别为横纵坐标；别为横纵坐标；（
31、3 3）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。（4 4）求解每个区域的线性微分方程，绘制相轨迹。求解每个区域的线性微分方程，绘制相轨迹。（5 5）平滑地将各区域的相轨迹连起来，得到整个系统的相轨平滑地将各区域的相轨迹连起来，得到整个系统的相轨迹，据此分析非线性系统的运动特性。迹，据此分析非线性系统的运动特性。 例题：例题：设具有死区特性的非线性系统方框图如图所示，设设具有死区特性的非线性系统方框图如图所示，设c(t) 的初始状态为的初始状态为0，试绘制当输入信号为，试绘制当输入信号为r(t)=R1(t)时的相轨迹。时的相轨迹。解：建立系统微分方程
32、解：建立系统微分方程meeKmeeTececcreKmccTsKMssCsCTssMTssKsCKT 1121,)()()()()()(代入上式得： | | eeeeemeekeeekmk001eem | eeeeem0eeeeeeeeeee :III| : II : I 区域区域区域0相轨迹为向心螺旋线。为稳定焦点，奇点则：进行坐标变换，令，奇点区域) 0(,.,) 0( : I5010 xxxexeeeen 0000II :0 | |1135eeeeeeededeeededededededee ee e 区域相轨迹斜率为的直线eeeeeeeeeee :III| : II : I 区域区域区
33、域0相轨迹为向心螺旋线。为稳定焦点，奇点则：进行坐标变换，令，奇点区域) 0(,.,) 0( :III5010 xxxexeeeen 相轨迹为向心螺旋线。为稳定焦点，奇点区域) 0( : Ieeee II :0 | |135eee 区域相轨迹为斜率为的直线相轨迹为向心螺旋线。为稳定焦点，奇点区域) 0( :IIIeeee 1) 0()(,)()(,)( 令，即相轨迹起始点初始条件ReRecccre0000000e e-2.86R=10e e-0.3R=2ess()=-0.9ess()=0.7IIIIII8-4 8-4 描述函数法描述函数法一、描述函数的基本概念一、描述函数的基本概念1. 定义定
34、义忽略高次谐波，近似认为非线性环节的输出为一次谐波分量忽略高次谐波，近似认为非线性环节的输出为一次谐波分量( )sinx tAt输入：0011( )(cossin)sin()nnnnnny tAAn tBn tAYn t稳态输出：非正弦周期信号，可展开成傅立叶级数。P630222( )cosTTnAy tn tdtT222( )sinTTnBy tn tdtT1111( )cossinsin()y tAtBtYt22111YAB111arctanAB2211111111( )arctanABYABjAN AAABA正弦输入下，稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比描述函数=2022( )co
35、sTTAy tn tdtTy(t)奇函数（或奇对称）奇函数（或奇对称）00A 直流分量：B1jA1Y112 应用条件应用条件非线性系统应可简化为如下一个非线性环节和一个线性部分闭环连非线性系统应可简化为如下一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式。接的典型结构形式。非线性环节的输入输出特性非线性环节的输入输出特性y(x)是是x的奇函数，或正弦输入下的输的奇函数，或正弦输入下的输出为出为t的奇对称函数，即的奇对称函数，即y(t+ / )=- -y(t)，以保证，以保证A00。系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。当非线性环节输入正当非线性环节输
36、入正弦信号时，输出必定含有高次谐波，若线性部分具有低通特性，则弦信号时，输出必定含有高次谐波，若线性部分具有低通特性，则高次谐波将被削弱，因此闭环通道近似认为只有一次谐波通过，以高次谐波将被削弱，因此闭环通道近似认为只有一次谐波通过，以便于用描述函数法进行分析。线性部分所有极点应在复平面左半平便于用描述函数法进行分析。线性部分所有极点应在复平面左半平面，且阶次越高，低通滤波特性越好。面，且阶次越高，低通滤波特性越好。3. 描述函数的物理意义描述函数的物理意义 非线性环节的描述函数反映了非线性系统正弦非线性环节的描述函数反映了非线性系统正弦响应中一次谐波分量的幅值和相位相对于输入响应中一次谐波分
37、量的幅值和相位相对于输入信号的变化。信号的变化。 描述函数表示的非线性环节的近似频率特性是描述函数表示的非线性环节的近似频率特性是输入正弦信号幅值输入正弦信号幅值A的函数，表现为关于输入的函数，表现为关于输入正弦信号幅值正弦信号幅值A的复变增益放大器。的复变增益放大器。11( )BjAN AA=二、典型非线性特性的描述函数二、典型非线性特性的描述函数1.1.理想继电器特性理想继电器特性( )sinx tAt(0)( )(2 )Mty tMt傅氏展开傅氏展开1011( )cossiny tAAtBty(ty(t) )是奇函数是奇函数A A0 0=A=A1 1=0=011( )siny tBt21
38、220202( )sindt4sindt44coscoscos084TTTTBy ttTMtTMMtTTMMT 14( )0YMN AAA( (偶次对称性偶次对称性) )222( )cos,0,1TTnAy tn tdt nT2. 饱和特性饱和特性3. 死区特性死区特性4. 死区饱和特性死区饱和特性122( )sin1 () ()kaaaN AAaAAA122( )sin1() ()2kaaaN AAaAAA11222( )sinsin1 ()1 () ()ksassaaN AAAAAAAAs一般情况下，一般情况下， 当非线性环节不包含储能元件时，描述函当非线性环节不包含储能元件时，描述函数数
39、 N(A)是是A的函数的函数, 与频率与频率 无关；无关；三、非线性系统的简化三、非线性系统的简化非线性系统的描述函数分析是建立在图示的典型结构基础上的。当系统由多个非线性环节和多个线性环节组合而成时，在一些情况下，可通过等效变换，使系统简化为典型结构形式。等效变换的原则是在r(t)0的条件下，根据非线性特性的串、并联，简化非线性部分为一个等效非线性环节，再保持等效非线性环节的输入输出关系不变，简化线性部分为一个等效线性环节。（1）非线性特性的并联）非线性特性的并联(P415)N1(A)N2(A)tsinA)t (x y(t)(t)y1N1(A)+N2(A)tAtx sin)()t (y并联非
40、线性特性的并联非线性特性的等效描述函数为等效描述函数为各非线性描述函各非线性描述函数的代数和数的代数和(t)y2x1xy1x1x1 1k2 2k2a00yx y0210 x)x(k212 212ax )a(k222 12xa)x(kx111 11221100kxxk)(1121122112kaxkaxk)(xkaxka112112)(01 x10 x（2）非线性）非线性特性的串联特性的串联 y0210 x)x(k212 212ax )a(k222 12xa)x(kx111 11221100kxxk)(1121122112kaxkaxk)(xkaxka112112)(01 x10 x1120kx
41、112112kaxkxka112 y0)(222ak)(12112kxkkxyxy01120kx112112kaxkxka112 y0)(222ak)(12112kxkk)(t tx x)(t ty yG1G2G3 N0)( tr)(tc特征方程特征方程：1+G1G2+G2G3N=0) t (x) t (yN2132GG1GG )(tc两边相除0112132NGGGG（3）线性部）线性部分的等效变换分的等效变换四、非线性系统稳定性分析的描述函数法四、非线性系统稳定性分析的描述函数法1. 应用描述函数分析非线性系统稳定性应用描述函数分析非线性系统稳定性 在满足一定假设时，有在满足一定假设时，有(
42、)( ) ()()1( ) ()C jN A G jR jN A G j1( ) ()0N A G jNyquist判据：判据：若开环稳定，则闭若开环稳定，则闭环稳定的充要条件环稳定的充要条件是是G(j ) 轨迹不包围轨迹不包围 (-1,j0)点。点。负倒描述函数（描述函数负倒特性负倒描述函数（描述函数负倒特性) )线性系统线性系统( )1N A 1()0G j()1G j 1()( )G jN A 1( )N A(-1,j0)j-1 G(j ) 与负倒描述函数相交与负倒描述函数相交 闭环系统存在周期运动闭环系统存在周期运动 注意：注意：稳定的周期运动（受稳定的周期运动（受扰动后偏离原来的运动
43、状态，但扰动后偏离原来的运动状态，但扰动消失后仍能恢复到原来的周扰动消失后仍能恢复到原来的周期运动）才是自激振荡。期运动）才是自激振荡。设系统开环的线性部分设系统开环的线性部分G(j )稳定稳定 G(j )不包围负倒描不包围负倒描述函数述函数 闭环系统稳定闭环系统稳定 G(j )包围负倒描包围负倒描述函数述函数 闭环系统闭环系统不稳定不稳定2. 周期运动的稳定性分析周期运动的稳定性分析(a)当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A减小到减小到c点时，点时， c点被点被G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统不稳定；系统不稳定；振幅振幅A增大；增大；返回到返回到b。当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A增大到增
44、大到d点，点，d点未被点未被G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统稳定；系统稳定；振幅振幅A减小；减小；返回到返回到b。b点对应稳定周期运动点对应稳定周期运动。 微小扰动微小扰动bcda (b)当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A增大到增大到c点时，点时， c点被点被G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统不稳定；系统不稳定；振幅振幅A继续增大；继续增大；不返回到不返回到b。当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A减小到减小到d点，点，d点未被点未被G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统稳定；系统稳定；振幅振幅A继续减小；继续减小；不返回到不返回到b。b点对应不稳定周期运动点对应不稳定周期运动。 微小扰动微小扰动b
45、cdb (c)当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A增大到增大到c点时，点时， c点被点被G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统不稳定；系统不稳定；振幅振幅A继续增大；继续增大；不返回到不返回到a。当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A减小到减小到d点，点，d点未被点未被G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统稳定；系统稳定；振幅振幅A继续减小；继续减小；不返回到不返回到a。a点为不稳定周期运动点为不稳定周期运动。 微小扰动微小扰动(d)当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A增大到增大到e点时，点时， e点未被点未被G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统稳定；系统稳定；振幅振幅A减小；减小；返回到返回到b。当微小扰动使
46、振幅当微小扰动使振幅A减小到减小到f点，点， f点被点被G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统不稳定；系统不稳定；振幅振幅A增大；增大；返回到返回到b。 b点为稳定周期运动。点为稳定周期运动。综合上述分析过程，可以归结出周期运动稳定性判据：在复平面上，将被G(j)曲线所包围的区域视为不稳定区域，而不被G(j)曲线所包围的区域视为稳定区域。当交点处的1/N(A)曲线沿着振幅A增大的方向由不稳定区进入稳定区时，则该交点为稳定的周期运动。反之，若1/N(A)曲线沿着振幅A增大的方向在交点处由稳定区进入不稳定区时，则该交点为不稳定的周期运动。稳定的周期运动对应自激振荡，可确定其振幅和频率。3 3、自激振荡
47、分析、自激振荡分析自激振荡时交点处的自激振荡时交点处的A， ，分别为自激振荡的振幅和频率，下分别为自激振荡的振幅和频率，下面将如何求面将如何求A和和 。 例题：例题：用描述函数法分析下面非线性系统是否存用描述函数法分析下面非线性系统是否存在自激振荡？若存在，求振荡频率和振幅。在自激振荡？若存在，求振荡频率和振幅。0)(1,0变化范围为从ANA4)(1,44)(AANAAMAN1-1)(2110sss-1(0)N解：解：1( )N0-1/N(A)j 因此，系统存在频率为因此，系统存在频率为1.414 ，振幅为，振幅为2.122的自激振荡。的自激振荡。-1/N(A)G(j)jjjjjG)2(310
48、)2)(1(10)(22 ( 0)90G j= -()0270G j= -令虚部为令虚部为0 0，得穿越频率，得穿越频率 2xw=与实轴交点为与实轴交点为5(,0)3j 15202.122( )433AAN A 41AAN )()()(2110ssssGG(j)曲线与曲线与1/N(A)曲线相交且曲线相交且1/N(A)曲曲线沿线沿A增加方向由不稳定区域进入稳定区域，增加方向由不稳定区域进入稳定区域，故产生自激振荡。故产生自激振荡。例题例题 具有饱和非线性特性的控制系统如图所示。(1)当K15时，判断自激振荡的性质，求自激振荡振幅及频率；(2)欲使系统不出现自激振荡，确定K的范围)(1arcsin
49、2)(2cAAcAcAckAN)(arcsin)(,cAAAANkc21111421当当A1时，时，N(A)2，即，即1/N(A)曲线起点在曲线起点在 0.5点；点；)(arcsin)(,cAAAANkc21111421当当A，N(A)0， 1/N(A)曲线终点在曲线终点在；j-0.51/N(A) 自激振荡频率为自激振荡频率为7.07rad/s，振幅为，振幅为2.5。).)(.()(120110jjjKjG( 0)90Gj= -()0270Gj= -令虚部为令虚部为0 0，得穿越频率，得穿越频率 1 215 27.07/xrad sTTw=与实轴交点为与实轴交点为1 21215 0.1 0.2
50、10.10.2KTTTT 11( )1( )N AN A ).)(.()(120110sssKsGj-0.51/N(A)G(j )1/N(A)与与G(j )有交点，且有交点，且1/N(A) 随随A增加由增加由不稳定区域进入稳定区域，故产生自激振荡不稳定区域进入稳定区域，故产生自激振荡521111142.arcsin)(AAAAN).)(.()(120110jjjKjG( 0)90Gj= -()0270Gj= -令虚部为令虚部为0 0，得穿越频率，得穿越频率 1 215 27.07/xrad sTTw=与实轴交点为与实轴交点为1 21215 0.1 0.210.10.2KTTTT ).)(.()
