1、1.函数与映射的概念2.函数的相关概念3.分段函数教教材材研研读读考点一 函数的概念考点二 函数的定义域考考点点突突破破考点三 求函数的值域考点四 求函数的解析式考点五 分段函数1.函数与映射的概念函数与映射的概念NoImageNoImage教材研读 函数映射两个集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系f:AB按照某种确定的对应关系f,对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f,对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应名称称f:AB为从集合A到集合B的一个函数称f:AB为从集合A到集合B的一
2、个映射记法y=f(x),xA对应f:AB是一个映射2.函数的相关概念函数的相关概念函数的本质从一个非空数集到另一个非空数集的映射函数的三要素定义域、对应法则、值域定义域所有输入值x组成的集合值域所有输出值y组成的集合函数的表示方法列表法、解析法、图象法相等函数三要素完全相同的函数3.分段函数分段函数在定义域内的不同部分上有着不同的解析式 ,像这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数,其定义域是各段自变量取值集合的并集 ,值域是各段函数值集合的并集 .NoImageNoImageNoImage1.(教材习题改编)下列图象中,表示函数关系y=f(x)的有 .(只填
3、序号)答案答案(1)(4)2.函数f(x)=的定义域为 .2log1x 答案答案2,+)3.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为 .答案答案 g(x)=3x2-2x解析解析设g(x)=ax2+bx+c(a0),g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,解得 1,5,0,abcabcc3,2,0.abc g(x)=3x2-2x.4.(教材习题改编)若函数y=x2的值域为1,4,则这样的函数有 个.答案答案无数解析解析如y=x2,x1,2;y=x2,x1,2等,函数的定义域有无数个,故这样的函数有无数个.32,2考点一考点一 函数的概念函数的概念
4、典例典例1下列各组函数中,表示同一函数的序号是 .f(x)=|x|,g(x)=;f(x)=,g(x)=()2;f(x)=,g(x)=x+1;f(x)=,g(x)=.NoImage考点突破NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage答案答案解析解析中,g(x)=|x|,f(x)=g(x).中,f(x)=|x|(xR),g(x)=x(x0).中,f(x)=x+1(x1),g(x)=x+1(xR).中,f(x)=的定义域为x|x1,g(x)=的定义域为x|x1或x-1,两函数的定义域不同.表示同一函数的序号是.方法技巧方法技巧函数的值域由定义域和
5、对应法则唯一确定,只有定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数.1-1给出以下判断:f(x)=与g(x)=表示同一个函数;函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个;f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;若f(x)=|x-1|-|x|,则f=0.其中正确判断的序号是 .NoImage答案答案解析解析 对于,函数f(x)=的定义域为x|xR且x0,而函数g(x)=的定义域是R,故错误.对于,若x=1不是函数y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与函数y=f(x)的图象没有交点;若x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有
6、一个交点,即函数y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点,正确.|xx1,0,1,0 xx对于,f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同,故正确.对于,f=-=0,f=f(0)=1,故错误.121121212f考点二考点二 函数的定义域函数的定义域角度一已知函数解析式角度一已知函数解析式,求定义域求定义域典例典例2(1)(2018江苏扬州高三调研)函数f(x)=的定义域为 .(2)(2019苏北四市高三模拟)函数y=的定义域为 .142x12log x答案答案(1)(-,-2(2)(0,1解析解析(1)要使函数f(x)有意义,则-40,则,x-2,故函数f(x)的定义域为(-,-2
7、.(2)由题意得解得0 x1,故函数的定义域为(0,1.12x12x212120,log0,xx解析解析(1)要使函数f(x)有意义,则-40,则,x-2,故函数f(x)的定义域为(-,-2.(2)由题意得解得00,解得-4x1,故函数的定义域为(-4,1).2-2若函数f(x2+1)的定义域是-1,1,则函数f(lg x)的定义域为 .答案答案10,100解析解析 x-1,1x2+11,2,则lg x1,2,则x10,100,故函数f(lg x)的定义域为10,100.2-3若函数y=的定义域为R,则实数m的取值范围是 .213mxmxmx答案答案0,12)解析解析由题意可得mx2+mx+3
8、0,xR恒成立,则mx2+mx+3=0在R上无解.当m=0时,无解;当m0时,=m2-12m0,解得0m1).32x 211xx2451xxx解析解析(1)令=t,t0,则x=,则y=t2-t+,t0,作出二次函数的图象可得值域为.(2)f(x)=2-在x3,5上单调递增,则f(x)的值域为.(3)令x-1=t,t0,则y=t+-22-2,当且仅当t=时取等号,则函数的值域是2-2,+).NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage规律总结规律总结求函数的值
9、域的主要方法求函数的值域的主要方法(1)函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域,对于一些比较简单的函数可直接通过观察法求得值域.(2)二次函数可转化为二次方程的形式,常用配方法求值域.(3)分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离常数法求值域;分子、分母中含有二次项的有理函数,常用判别式法求值域(主要适用于定义域为R的函数).(4)单调函数常根据函数的单调性求值域.(5)很多函数可拆配成基本不等式的形式,利用基本不等式求值域.(6)有些函数具有明显的几何意义,可根据几何意义求值域.(7)只要是能求导数的函数常采用导数的方法求值域.同类练同类练 (2018江苏盐城中学高三检测)函数
10、y=的值域为 .答案答案 解析解析因为x2+22,所以y=,故函数的值域为.变式练变式练 (2019南京、盐城高三模拟)设函数y=ex+-a的值域为A,若A0,+),则实数a的取值范围是 .答案答案(-,2解析解析因为ex+-a2-a,当且仅当ex=1,x=0时取等号,所以A=2-a,+)0,+),所以2-a0,故a2.深化练深化练若函数f(x)在m,n(mn)上的值域恰好是m,n,则称m,n为函数f(x)的一个“等值映射区间”.下列函数:y=x2-1,y=2+log2x,y=2x-1,y=,其中存在唯一一个“等值映射区间”的函数有 个.答案答案2解析解析函数y=x2-1存在-1,0和两个“等
11、值映射区间”,排除;函数y=2+log2x在定义域上递增,若存在“等值映射区间”m,n,则2+log2m=m,2+log2n=n,即m,n是方程2+log2x=x的两个不同的根,由于函数y=2+log2x与y=x的图象有两个不同的交点,所以函数y=2+log2x存在唯一一个“等值映射区间”m,n,正确;与同理,可得函数y=2x-1存在唯一一个“等值映射区间”0,1,正确;函数y=在(-,1)和(1,+)上都是减函数,所以若存在“等值映射区间”m,n,则=n,=m,解得m=n,与m1)(2)+解析解析(1)令+1=t,由题意知x0,t1,则x=,f(t)=lg,f(x)=lg(x1).(2)在f
12、(x)=2 f-1中,用代替x,得f=2 f(x)-1,将f=-1代入f(x)=2 f-1中,可求得f(x)=+.探究探究1若将本例(1)中的条件变为“f=x2+”,则 f(x)=.NoImageNoImage答案答案 x2+2解析解析令x-=t,则x2+=+2=t2+2,则f(t)=t2+2,即f(x)=x2+2.NoImageNoImageNoImage探究探究2若将本例(2)中的条件变为“3 f(x+1)-2 f(1-x)=2x+17”,则f(x)=.答案答案 2835x解析解析令x+1=t,则x=t-1,则3 f(t)-2 f(2-t)=2(t-1)+17=2t+15.将t换成2-t可
13、得3 f(2-t)-2 f(t)=2(2-t)+15=19-2t.联立解得f(t)=,则f(x)=.2835t 2835x方法技巧方法技巧求函数解析式的常用方法求函数解析式的常用方法(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定系数法求解.(2)配凑法:根据已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的式子,然后用x替代g(x),即可得f(x)的解析式.(3)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,求f(x)的解析式时可用换元法,即令g(x)=t,从中解出x,代入已知的解析式进行换元,此时要注意新元的取值范围.(4)解方程组法:已知关于f(x)与f或
14、f(-x)的等式,可根据已知条件再构造出一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).1x4-1函数f(x)满足2f(x)-f=x,x0,求f(x)的解析式.1x解析解析由2f(x)-f=x,得2f-f(x)=,由可得f(x)=x+(xR,x0).1x1x1x2313x4-2 (2017江苏兴化中学第一学期高三检测)(1)已知二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点坐标为(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.(2)已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(-1,2),且经过原点,求f(x)的解析式.解析解析(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),二次函数f(x)
15、的图象与x轴的两个交点坐标为(2,0),(5,0),且f(0)=10,f(x)=x2-7x+10.(2)二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(-1,2),可设f(x)=a(x+1)2+2(a0),又f(x)的图象过原点,a(0+1)2+2=0,a=-2,f(x)=-2(x+1)2+2=-2x2-4x.420,2550,10,abcabcc1,7,10,abc 考点五考点五 分段函数分段函数角度一求分段函数的函数值角度一求分段函数的函数值典例典例7(1)设f(x)=则f(f(-2)=.(2)T为常数,定义fT(x)=若f(x)=x-ln x,则f3(f2(e)的值为 .lg,0,10,0,xx x
16、x(),(),(),f xf xTT f xT答案答案(1)-2(2)3解析解析(1)f(f(-2)=f(10-2)=lg 10-2=-2.(2)因为f(e)=e-12,所以f2(e)=2,而f(2)=2-ln 20且a1)的值域是2,+),则实数a的取值范围是 .211,0,2(1),0 xxxx31,2,2log,2xaxx x答案答案(1)(-,1(2)(1,2解析解析(1)当x0时,f(x)=x+11;当x0时,f(x)=-(x-1)20,则f(x)的值域为(-,1.(2)因为函数f(x)=(a0且a1)的值域是2,+),且当x2时,f(x)=2,所以解得1a,即实数a的取值范围是(1
17、,.1231,2,2log,2xaxx x312x1,log 22,aa 22典例典例9(1)已知f(x)=若f(1)+f(a+1)=5,则a的值为 .(2)设函数f(x)=则关于x的方程f(x)=的解为 .(3)已知实数a0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为 .(4)(0),(4)(0),x xxx xx22(0),|log|(0),xxxx122,1,2,1.xaxxa x 角度三分段函数与方程的综合角度三分段函数与方程的综合答案答案(1)-1(2)x=-1或或(3)-22234解析解析(1)易得f(1)=1(1+4)=5,f(1)+f(a+1)=5,f(a+1)=0
18、.当a+10,即a-1时,有(a+1)(a+5)=0,解得a=-1或a=-5(舍去);当a+10,即a0时,解|log2x|=得x=或x=.所以方程f(x)=的解为x=-1或或.(3)分类讨论:当a0时,1-a1.121222212222这时f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.由f(1-a)=f(1+a)得2-a=-1-3a,解得a=-,不符合题意,舍去;当a1,1+a1.这时f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a.由f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得a=-.综合,知a的值为-.3
19、23434方法技巧方法技巧已知分段函数的函数值求自变量的取值时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验解得的自变量的值是否在相应段的自变量的取值范围内.典例典例10(1)已知f(x)=则使f(x)-1成立的x的取值范围是 .(2)(2019徐州高三模拟)设函数f(x)=则满足f(f(a)(f(a)2的a的取值范围是 .211,0,2(1),0,xxxx2,1,21,1,xxxx角度四分段函数与不等式的综合角度四分段函数与不等式的综合答案答案(1)-4,2(2)(-,1)解析解析(1)由题意知或解得-4x0或0 x2,故x的取值范围是-4,2.(2)令f(a)=t,则不等式可化为f(t)t2
20、,则或解得t1,即f(a)1,则有或,解得a0且a1)的值域为6,+),则实数a的取值范围是 .8,2,log5,2axxxx 答案答案(1,2解析解析当x2时,f(x)=-x+86,所以当x2时,f(x)=logax+56恒成立即可,所以a1,loga21=logaa,所以a2,故1a2.5-3已知函数f(x)=且f(x)=-,则x的值为 .2sin,10,2log(1),01,xxxx 12解析解析由f(x)=-得或解得x=-.1210,1sin22xx 201,1log(1),2xx 13答案答案-135-4已知函数f(x)=则不等式f(x)5的解集为 .223log,0,23,0,x xxx x答案答案-1,4解析解析由f(x)5得或解得0 x4或-1x0,则不等式f(x)5的解集为-1,4.20,3log5xx20,235,xxx
