1、随机事件与概率随机事件与概率 一 自然界的现象分两类自然界的现象分两类 必然现象必然现象 （确定性现象）（确定性现象） 特点：结果事先可预知。特点：结果事先可预知。 随机现象随机现象 （不确定性现象）（不确定性现象） 特点：结果事先不可预知。特点：结果事先不可预知。 随机现象是否有规律可循呢？随机现象是否有规律可循呢？ 是是 随机现象在相同的条件下，大量重复试验中随机现象在相同的条件下，大量重复试验中呈现的规律性称为统计规律性。呈现的规律性称为统计规律性。二概率论就是研究随机现象统计规律的一门数二概率论就是研究随机现象统计规律的一门数 学学科。学学科。三随机试验（简称试验，用三随机试验（简称试
2、验，用E表示）表示）1. 试验可以在相同的条件下重复进行；试验可以在相同的条件下重复进行；2. 试验的所有可能结果不止一个，而且是事先试验的所有可能结果不止一个，而且是事先 已知的；已知的；3. 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个，究竟出现哪一个，试验前不能确切一个，究竟出现哪一个，试验前不能确切 预言。预言。五样本空间：基本事件或样本点的全体构成的五样本空间：基本事件或样本点的全体构成的 集合，用集合，用S表示。表示。. S样本空间与基本事件的关系样本空间与基本事件的关系样本点样本点e特点：每次试验只有一个样本点出现，特点：每次试验只有一个样本点出
3、现，任两个样本点不能同时出现。任两个样本点不能同时出现。四基本事件（样本点）：随机试验的每一个可四基本事件（样本点）：随机试验的每一个可 能结果，用能结果，用e表示。表示。例例1.写出下列随机试验结果的样本空间。写出下列随机试验结果的样本空间。 1.将一枚均匀对称的硬币连续抛两次，将一枚均匀对称的硬币连续抛两次， 记录两次抛掷的结果；记录两次抛掷的结果；解：解： =（正，正），（正，正）， =（正，反），（正，反）， =（反，正），（反，正）， =（反，反）；（反，反）；S= ， ， ， =（正，正），（正，（正，正），（正，反），反）， （反，正），（反，正）， （反，反）（反，反）。 1e
4、2e3e4e1e2e3e4e2.对目标进行射击，直到击中为止，记录结果；对目标进行射击，直到击中为止，记录结果； 解：解： S=1，01，001，0001，00001， 。 0表示未中，表示未中，1表示击中。表示击中。 3.在区间在区间0，1上随意取一点，记录结果；上随意取一点，记录结果；S=0，1。 4.从一批灯泡中随机地抽一只灯泡，测试它的从一批灯泡中随机地抽一只灯泡，测试它的 使用寿命，设使用寿命，设t表示寿命。表示寿命。 S=t: t0.六六.随机事件（简称事件）随机事件（简称事件）:在试验中可能发生，在试验中可能发生， 也可能不发生的事件；也可能不发生的事件；解：解： 解：解： 用数
5、学语言描述为用数学语言描述为随机试验随机试验E的样本空间的样本空间S的某的某个子集，用个子集，用A，B，C，表示，不用表示，不用X，Y，Z，表示。表示。 例例2 .掷一质地均匀的骰子两次，样本空间掷一质地均匀的骰子两次，样本空间 S=(a ，b)|1a， b6，a ， bN,用集用集 合表示事件合表示事件A=“两次点数之和为两次点数之和为8”，B=“两次两次 点数均大于点数均大于4”，C=“两次点数均为奇数两次点数均为奇数”。A=（2 ，6），（6 ，2），（3 ，5）， （5 ，3），（4 ，4）； B=（5 ，5），（5 ，6），（6 ，5）， （6 ，6） C=（1 ，1），（1 ，3）
6、，（3 ，1）， （1 ，5），（5 ，1），（3 ，3）， （3 ，5），（5 ，3），（5 ，5）。解：解： 样本空间样本空间S和空集和空集 作为作为S的子集也看作事件。由的子集也看作事件。由于于S包含所有的基本事件，故在每次试验中都发包含所有的基本事件，故在每次试验中都发生，因此称为：生，因此称为：事事 然然 必必 件件 不包含任何基本事件，故在每次试验中都不发不包含任何基本事件，故在每次试验中都不发 生，因此称为：生，因此称为： 可可 能能 事事 件件 不不 必然事件必然事件S和不可能事件和不可能事件 均不是随机事件，为均不是随机事件，为研究方便，可看作随机事件的极端情况处理。研究方便
7、，可看作随机事件的极端情况处理。总结：总结： 1. 理解随机试验、基本事件、样本空间、理解随机试验、基本事件、样本空间、 随机事件的概念。随机事件的概念。 2会求随机试验的样本点、样本空间。会求随机试验的样本点、样本空间。 试验试验E的样本空间为的样本空间为S，Ai，Bi （i=1,2）都是都是S的子集（事件）。的子集（事件）。 一事件的包含与相等一事件的包含与相等 事件的包含：若事件事件的包含：若事件A发生必导致事件发生必导致事件B发生，则发生，则 称称B包含包含A或或A含于含于B中，记为中，记为 BA 任意事件任意事件A均有均有 SA BAS事件的相等：事件的相等：则称事件则称事件A与与B
8、相等，相等，A=B。 BA AB且且 ABS若若二事件的的积（交）二事件的的积（交） 事件事件A与与B同事发生所构成的事件称为同事发生所构成的事件称为A与与B的的积或交，记为积或交，记为 AB或AB。 ABS（1）n个事件同时发生所构成个事件同时发生所构成 的事件，称为的积或交，的事件，称为的积或交， 记为记为 n21A,A,An21n1iin21AAAAAAA（2）可列无限多个事件）可列无限多个事件A1， A2，同事同事 发生所构成的事件称为发生所构成的事件称为A1， A2， 的积或交，记为的积或交，记为 1iiA推广：推广：n21A,A,A三互不相容事件（互斥事件）三互不相容事件（互斥事件
9、）若若A与与B不能同时发生，即则称不能同时发生，即则称A与与B互不相容（或互斥）。互不相容（或互斥）。S与互斥。与互斥。 ABn个事件个事件 互斥互斥= 中任两个互斥，即，中任两个互斥，即，ij, i, j=1,2,3 ,n.n21A,A,An21A,A,A推广：推广：BAS四事件的和（并）四事件的和（并） 事件事件A与与B至少有一个发生所构成的事件，至少有一个发生所构成的事件，称为称为A与与B的和（并）记为的和（并）记为AB。当。当A与与B互斥时，互斥时，AB =A+B。 BAS推广：推广：（1）n个事件至少有一个发生个事件至少有一个发生所构成的事件，称为所构成的事件，称为 的和或并，的和或
10、并，记为记为 n21A,A,An21A,A,An1iin21AAAAn1iin1iiAA当当 互斥时互斥时n21A,A,A（2）可列无限多个事件）可列无限多个事件 至少有一个至少有一个 发生所构成的事件，称为发生所构成的事件，称为 的和的和 （并），记为（并），记为 ,A,A21,A,A211ii21AAA当当 互斥时互斥时,A,A211ii1iiAAA发生而发生而B不发生所构成的事件，称为不发生所构成的事件，称为A与与B的差，记为的差，记为 BABA五五. 事件的差事件的差对任意事件对任意事件A， .AA,SA,AAABSB六六. 对立事件（逆事件）对立事件（逆事件） 由由A不发生所构成的事
11、件，称为不发生所构成的事件，称为A的对立事件的对立事件（逆事件）。记为（逆事件）。记为 A.AA, SAA,AAAA例例1掷一质地均匀的骰子，掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点出现奇数点”=1，3，5，B=“出现偶数点出现偶数点”= 2，4，6，C=“出现出现4或或6”=4，6， D=“出现出现3或或5”=3，5，E=“出现的点出现的点 数大于数大于2”=3，4，5，6， 求求 .E,AE,DC,BA解：解： AB=S，A，B为对立事件，为对立事件， C B，B，D互斥，互斥，CD=E，记记C+D=E AE=3，5， =1，2。E符号符号概率论概率论集合论集合论样本空间样本空间，必然事件，必
12、然事件空间（全集）空间（全集）不可能事件不可能事件空集空集基本事件（样本点）基本事件（样本点）元素元素事件事件子集子集A A的对立事件的对立事件A A的余集的余集事件发生必然导事件发生必然导致事件致事件发发生生A A是是B B的子集的子集事件与事件相等事件与事件相等A A与与B B相等相等事件与事件至少有一个发事件与事件至少有一个发生生A A与与B B的并的并集集事件与事件同时发事件与事件同时发生生A A与与B B的交集的交集事件发生而事件不发事件发生而事件不发生生A A与与B B的差集的差集事件与事件互不相容事件与事件互不相容A A与与B B没没有公共元素有公共元素eSABA BA ABAA
13、BBABA事件表示的概率论与集合论对照表事件表示的概率论与集合论对照表事件的运算性质：事件的运算性质：1.交换率：交换率： AB=BA， AB=BA 2.结合率：（结合率：（AB）C=A（BC），）， （AB）C=A（BC）；）；3.分配率：（分配率：（AB）C=（AC）（BC），）， （AB）C=（AC）（）（BC）；）；4.对偶原则（德对偶原则（德摩根律）摩根律）： BABABAABn1iin1iiAAn1iin1iiAA例例2. A、B、C是随机试验是随机试验E的三个事件，试用的三个事件，试用 A、B、C表示下列事件：表示下列事件：1A与与B发生，发生，C不发生；不发生；2A、B、C中至
14、少有两个发生；中至少有两个发生；3A、B、C中恰好发生两个；中恰好发生两个；解：解： CAB1CABCBABCA23.ABCCABCBABCABCACAB或,BCACABCBACBACBACBA4（4）的对立事件是（）的对立事件是（2） 5等价于至少有一个发生，等价于至少有一个发生， CBA 、CABCBABCACBACBACBACBA.CBAABC4A、B、C中有不多于一个事件发生；中有不多于一个事件发生；5A、B、C中有不多于两个事件发生。中有不多于两个事件发生。例例3某射手向一目标进行三次射击，某射手向一目标进行三次射击，令令Ai=“第第i次射击命中目标次射击命中目标”，i=1,2,3.
15、 Bj =“在三次射击中，命中在三次射击中，命中j次次”， j=0,1,2,3. 则：则： 3213210AAAAAAB3213213211AAAAAAAAAB3213213212AAAAAAAAAB3213AAAB 仅第一枪击中目标仅第一枪击中目标= 至少有一枪击中目标至少有一枪击中目标= 恰有一枪击中目标恰有一枪击中目标= 至少有一枪未击中目标至少有一枪未击中目标= 31AA 321AAA321321AAAAAA第一、三枪至少有一枪击中目标第一、三枪至少有一枪击中目标= 倒着看：倒着看： =恰好有两枪击中目标恰好有两枪击中目标 323121AAAAAA=至少有两枪击中目标至少有两枪击中目标 321AAA321321321AAAAAAAAA321321321AAAAAAAAA总结：总结： 理解事件的关系与运算理解事件的关系与运算熟练掌握用字母表示事件熟练掌握用字母表示事件
