1、第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分一一 偏导数偏导数二二 全微分全微分第1页一一 偏导数偏导数函数对函数对x偏增量偏增量定义定义),(yxfz 在点在点),(),(lim000yfyfx 存在存在,xyxyxfz对对在点在点),(),(00 偏导数偏导数，记为，记为;),(00yxxz ),(00yx某邻域内某邻域内;),(00yxxf xx 00 x则称此极限为函数则称此极限为函数假如极限假如极限设函数设函数x;),(00yxfx;),(00yxxz100(,).fxy1 偏导数及其计算偏导数及其计算xyxfyxxfx ),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx ),(
2、00yxfx注意注意:有定义，有定义，第2页函数对函数对 y 偏增量偏增量0),(dd0yyyxfy 一样可定义对一样可定义对 lim0 y),(00yxfy,xzxfxz 则该偏导数称为则该偏导数称为偏导函数偏导函数,也简称为也简称为偏导数偏导数 ,1(,),(,)xfx yfx y2(,),(,)yfx yfx y),(0 xf),(0 xf y记为记为yy 00y,yzyfyz y偏导数偏导数或或若函数若函数),(yxfz 在区域在区域D 内每一点内每一点),(yx处对处对 xy偏导数存在，偏导数存在，第3页),(zyxfx比如比如,三元函数三元函数 u=f(x,y,z)在点在点(x,y
3、,z)处对处对 x 偏导数概念能够推广到二元以上函数偏导数概念能够推广到二元以上函数.lim0 x),(zyf),(zyf x xx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为偏导数定义为(请自己写出请自己写出)第4页解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 第5页证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立第6页解解 xz 22211yxx|22yyx .|22yxy|)|(2yy xyxx223222)(yxy 第7页 yz22211yxx|22y
4、yx yyxx1sgn22 )0(y00 yxyz不存在不存在 yyxx22322)()(yxxy 22arcsinyxxz 第8页例例4 4 设设(1)yzxy求求,zzxy解解zx ln(1)yxyze zy (1)yxy(ln(1)yyxy ln(1)1xyxyxy 21(1)yyxy xxy)1(1(1)yyxyy 1(1)yyxy ln(1)yxye 第9页例例5 5 求求222zyxr 偏导数偏导数 .解解:xr yr2222zyx x2rx zr,ry 2222zyx y22222zyx z2rz 第10页,(,),(0,0),(0,0).xyzf x yxyff例如 设求例如
5、设求相关偏导数几点说明：相关偏导数几点说明：、求分界点、不连续点处偏导数要用定求分界点、不连续点处偏导数要用定义求；义求；解解xxfxx0|0|lim)0,0(0 0).0,0(yf 第11页2 2 偏导数存在与连续关系偏导数存在与连续关系所以函所以函数在该点处并不连续数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，因为因为2200limyxxyyx 不存在不存在第12页3 3 偏导数几何意义偏导数几何意义00000(,(,)(,),Mxyf xyzf x y 设为曲面上
6、一点设为曲面上一点00),(dd00 xxyxfxxfxxyy 0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy 是曲线是曲线 0),(xxyxfzyTM0在点在点 M0 处切线处切线对对 x 轴斜率轴斜率.在点在点M0 处切线处切线斜率斜率.是曲线是曲线对对 y 轴轴yxz0 xyTo0y0MxT第13页4 4 高阶偏导数高阶偏导数设设 z=f(x,y)在域在域 D 内存在连续偏导数内存在连续偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx 若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz )(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy 则称它们
7、是则称它们是z=f(x,y)二阶偏导数二阶偏导数.按求导次序不一样按求导次序不一样,有以下四个二阶偏有以下四个二阶偏导导22xz );,(yxfxx yxz 2),(yxfyx);,(2yxfxyzxy x 数数:二阶混和偏导数二阶混和偏导数第14页二阶及二阶以上偏导数统称为二阶及二阶以上偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.类似能够定义更高阶偏导数类似能够定义更高阶偏导数.比如，比如，z=f(x,y)关于关于 x 三阶偏导数为三阶偏导数为3322)(xzxzx z=f(x,y)关于关于 x n 1 阶偏导数阶偏导数,再关于再关于 y 一阶一阶)(y yxznn 1偏导数为偏导数为11 nnxz第
8、15页解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyx第16页解解xu yu 22xu 22yu yxu 2xyu 2,cosbyaeax;sinbybeax ,cos2byeaax,cos2byebax ,sinbyabeax .sinbyabeax 第17页例例8 8设设sinzxxy 求求222,zzx yx 解解zx 22zx 2coscossinyxyyxyxyxy22sinycoxyxyxy2zx y 2coscossinxxyxxyx yx
9、y22 cossinxxyx yxysincosxyxyxy第18页解解),ln(21ln2222yxyx xu yu 22xu 22yu 2222yuxu.0.02222 yuxu)(222yx x2,22yxx ,22yxy 222)(yx ,)(22222yxxy xx 2 )(22yx .)(22222yxyx 22222)(2)(yxyyyx 22222)(yxxy 22222)(yxyx 第19页例例10 10 设设2,xyuexyz求求22.uux yx z 解解ux 2xyyeyz 2ux y xyxyexye2z 2ux z 0 2yz 2yz 第20页问题：问题：混合偏导数
10、都相等吗？具备怎样条件才相等？混合偏导数都相等吗？具备怎样条件才相等？,),()()(00连续连续都在点都在点和和若若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx 则则定理定理.比如比如,对三元函数对三元函数 u=f(x,y,z),),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx 说明说明:本定理对本定理对 n 元函数高阶混合导数也成立元函数高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续函数在其定义区域内是连续,故求初等函数高阶导故求初等函数高阶导数能够选择方便求导次序数能够选择方便求导次序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx 因为初
11、等函数偏导数仍为初等函数因为初等函数偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点(x,y,z)连续时连续时,有有而初等而初等(证实略证实略)第21页1 1 全微分定义全微分定义二二 全微分全微分,z),(yxfz ),(yxP函数函数在点在点某邻域内有定义，某邻域内有定义，z),(),(yxfyyxxf 即即 =),(yyxxP 为这邻域内任意一点，为这邻域内任意一点，并设并设记为记为),(),(yxfyyxxf yx ,为函数在点为函数在点P P 对应于自变量增量对应于自变量增量全增量全增量，称这两点函数值之差称这两点函数值之差 则则),(),(yxfyxxf ),(),(y
12、xfyyxf x二元函数对二元函数对偏增量偏增量y二元函数对二元函数对偏增量偏增量第22页,)(oyBxAz 其中其中 A,B 不依赖于不依赖于 x,y,仅与仅与 x,y 相关，相关，若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,22)()(yx 则称函数则称函数 f(x,y)在点在点(x,y)可微可微，假如函数假如函数 z=f (x,y)在定义域在定义域 D 内点内点(x,y),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成处全增量处全增量则称此函数则称此函数在在D 内可微内可微.称为函数称为函数),(yxf在点在点(x,y)全微分全微分,yBxA 定义定义yBxAfz dd记作记作第2
13、3页实际上实际上),(oyBxAz ,0lim0 z),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf),(yxfz ),(yx 假如函数假如函数在点在点可微分可微分,则则函数在该点连续函数在该点连续.),(yxfz ),(yx故函数故函数在点在点处连续处连续.第24页2 可微条件可微条件定理定理1 1（必要条件）（必要条件）),(yxfz ),(yx在点在点可微分，可微分，假如函数假如函数),(yx、xz yz 偏导数偏导数必存在，必存在，则该函数在点则该函数在点),(yxfz ),(yxyyzxxzdz 在点在点全微分为全微分为 且函数且函数),(),(yxfyxxfzx
14、 xz 一样可证一样可证,Byz yyzxxzz d证证:由全增量公式由全增量公式,)(oyBxAz ,0 y令令)(xoxA 得到对得到对 x 偏增量偏增量所以有所以有 xzxx 0limA 第25页一元函数在某点导数存在一元函数在某点导数存在 微分存在微分存在多元函数各偏导数存在多元函数各偏导数存在 全微分存在全微分存在比如，比如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf)0,0(xfxffxx )0,0()0,(lim)0,0(0在点在点处有处有000lim0 xx0)0,0(yf一样可得一样可得第26页)0,0()0,0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 则则 22)(
15、)(yxyx 22)()(xxxx ,21 0 当当 时，时，),()0,0()0,0(oyfxfzyx 第27页 说明说明：多元函数各偏导数存在并不能确保全微分：多元函数各偏导数存在并不能确保全微分存在，存在，证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1)10(1 第28页（依偏导数连续性）（依偏导数连续性）xxyxfx 1),(xxyxfx 1),(yyyxfy 2),(z 2121 yx,00 同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 第29页习惯上，习惯上，当当
16、.dyyzdxxzdz 全微分定义可推广到三元及三元以上函数全微分定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数全微分等于它两个偏微分之通常我们把二元函数全微分等于它两个偏微分之和这件事称为二元函数微分符合和这件事称为二元函数微分符合叠加原理也适合用于二元以上函数情况叠加原理也适合用于二元以上函数情况全微分全微分写写为为,x y自变量时，自变量时，记记,dxx dyy 比如比如),(zyxuu 第30页解解 xzyz )1,2(xz )1,2(yz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分,xyye,xyxe,2e,22e 第31页解解xz yz dyy
17、zdxxzdz),4(),4(),4().74(82 ),2sin(yxy ),2sin(2)2cos(yxyyx 第32页解解xu yu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz ,1 2cos21y,yzze 第33页例例14 14 说明函数说明函数第34页证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0),0,0(f )0,0(xfxfxfx )0,0()0,(lim0,000lim0 xx同理同理.0)0,0(yf第35页),(yxfx,1cos)(1sin223222
18、22yxyxyxyxy ),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.第36页)0,0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo .0)0,0(df第37页多元函数连续、可导、可微关系多元函数连续、可导、可微关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导第38页全微分在近似计算中应用全微分在近似计算中应用(,)(,)(,),(,),xyzf x yP x yfx yfx yxy 当二元函数在点的两个偏导数当二元函数在点的两个偏导数连续，且都较小时，有近似等连续，且都较小时，有近似等式式.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 第39页解解(,).yf x yx 设函数设函数.02.0,04.0,2,1 yxyx取取,1)2,1(f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy,2)2,1(xf,0)2,1(yf由公式得由公式得02.0004.021)04.1(02.2 .08.1 第40页第41页
