1、l 2.1 2.1 图像信号的数字化图像信号的数字化l 2.2 2.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换DFTl 2.3 2.3 离散余弦变换离散余弦变换DCTl 2.6 2.6 图像的统计特性图像的统计特性 2.1 图像信号的数字化图像信号的数字化 数字图像处理的前提：连续图像离散化数字图像处理的前提：连续图像离散化数字图像。数字图像。 图像的数字化的过程：图像的数字化的过程：采样；采样；量化。量化。 所谓图象的数字化指将代表图像的连续模所谓图象的数字化指将代表图像的连续模拟信号转变为离散数字信号的变换过程。包括拟信号转变为离散数字信号的变换过程。包括图像像素图像像素空间坐标空间坐标(x,y)的
2、网格化的网格化( (即离散化即离散化采采样样) )和和光强度光强度( (即灰度即灰度) )I的的量化量化。n 采样：即取样或抽样，对连续变化的图像在空间采样：即取样或抽样，对连续变化的图像在空间坐标上作离散化的过程，选取的采样点为像素；在坐标上作离散化的过程，选取的采样点为像素；在采样点上的函数值采样点上的函数值( (或亮度值或亮度值) )为采样值或样值。为采样值或样值。采样为图像信号的定义域离散化。采样为图像信号的定义域离散化。n 量化：原图像经采样后离散化为像素阵形量化：原图像经采样后离散化为像素阵形, ,但每个但每个像素的亮度值仍为连续量，将这些连续的无穷多个像像素的亮度值仍为连续量，将
3、这些连续的无穷多个像素值离散化为有限个整数值素值离散化为有限个整数值( (常用常用2 2n n表示表示) )的近似表示的近似表示的操作称为量化。的操作称为量化。量化为图像信号的值域离散化。量化为图像信号的值域离散化。n 注意：注意： 由于由于 f (i, j) 代表该点图像的光强度，而光是能量代表该点图像的光强度，而光是能量的一种形式，故的一种形式，故 f (i, j) 必须大于零，且为有限值，必须大于零，且为有限值，即：即： 0 f (i, j) 。 数字化采样数字化采样一般是按正方形点阵取样的，一般是按正方形点阵取样的， 除此除此之外还有三角形点阵、正六角形点阵取样。之外还有三角形点阵、正
4、六角形点阵取样。正方形网格正方形网格正六边形网格正六边形网格2.1.1 图像的扫描与图像的扫描与采样采样图像在空间上的离散化称为采样。图像在空间上的离散化称为采样。图像是一种二维分布的信息，采样是在图像是一种二维分布的信息，采样是在x x轴轴( (垂直方垂直方向向) )和和y y轴（水平方向）两个方向上进行。轴（水平方向）两个方向上进行。采样过程采样过程：先沿垂直方向按一定间隔从上到下顺序：先沿垂直方向按一定间隔从上到下顺序地沿水平方向直线扫描，取出各水平线上灰度值的地沿水平方向直线扫描，取出各水平线上灰度值的一维扫描。而后再对一维扫描线信号按一定间隔采一维扫描。而后再对一维扫描线信号按一定间
5、隔采样得到离散信号，即样得到离散信号，即这两个步骤完成采样操作。这两个步骤完成采样操作。采样点间隔的选取：采样点间隔的选取：依据原图像中包含的细微浓淡变依据原图像中包含的细微浓淡变化来决定。一般化来决定。一般, 图像中细节越多图像中细节越多,采样间隔应越小。采样间隔应越小。对一幅图像采样时，若每行（即横向）像素为对一幅图像采样时，若每行（即横向）像素为M个，每列（即纵向）像素为个，每列（即纵向）像素为N个，则图像大小个，则图像大小为为MN个像素。个像素。采样间隔采样间隔2.1.2 二维取样定理二维取样定理 mmV2vU2u 什什么么情情况况？问问题题 mmV2vU2u 图像的空间采样间隔为图像
6、的空间采样间隔为 图像频谱截止频率为图像频谱截止频率为 图像的采样频率为图像的采样频率为 xxu2yv2ymUmVl 二维采样定理为二维采样定理为（Nyguist 准则） mmmmV/yU/xV2vU2u 选择适当选择适当,使使 大大于或等于原图像覆盖频率于或等于原图像覆盖频率间隔间隔 两倍时，则采样两倍时，则采样不出现重叠现象。不出现重叠现象。xyuvmUmV图像满足二维采样定理则采样不会出现重叠现象。图像满足二维采样定理则采样不会出现重叠现象。l 亚取样和混叠效应亚取样和混叠效应 亚采样：亚采样： 混叠效应：指取样图像频谱的各次谐波发生重叠混叠效应：指取样图像频谱的各次谐波发生重叠亚采样易
7、造成图像信号的频谱的混叠效应。亚采样易造成图像信号的频谱的混叠效应。 mmV2vU2u 采样间隔取得不采样间隔取得不合适除了画面出现马赛克之外，还会发生频率的混叠合适除了画面出现马赛克之外，还会发生频率的混叠现象。现象。采样间隔效果示意图 取样图像的数学表示：取样图像的数学表示：设设fi(x,y)为原图像信号，为原图像信号，fp(x,y)为采样图像信号，为采样图像信号，二维图像信号用冲激函数阵列采样二维图像信号用冲激函数阵列采样则有采样图像信号为则有采样图像信号为l构造一个理想的低通滤波器为构造一个理想的低通滤波器为otherwiseVvUuvuHmm0|1),(和低通滤波器的冲激响应为低通滤
8、波器的冲激响应为问题：如何问题：如何从取样图像恢复原图像？从取样图像恢复原图像？则则从取样图像恢复原图像从取样图像恢复原图像恢复图象应该等于取样图象和低通滤波器恢复图象应该等于取样图象和低通滤波器h(x,yh(x,y) )的卷积的卷积. .2.1.3 图像的图像的量化量化采样后所得各像素的连续灰度值的离散化称为量化。采样后所得各像素的连续灰度值的离散化称为量化。若连续浓淡（灰度）值用若连续浓淡（灰度）值用z表示，则对表示，则对于满足于满足zizzi+1的的z值都量化为整数值值都量化为整数值qi。qi称为称为像素的灰度值。而像素的灰度值。而z与与qi的差称为量化误差。的差称为量化误差。 以有限个
9、离散值近以有限个离散值近似表示无穷多个连似表示无穷多个连续量，一定会产生续量，一定会产生量化误差。由此产量化误差。由此产生量化失真。生量化失真。1.（等间隔量化）均匀量化（等间隔量化）均匀量化设原图像灰度变化范围从设原图像灰度变化范围从r r0 0到到r rk k,r,r0 0最暗最暗,r,rk k最亮。最亮。把这把这, ,每一层赋予一每一层赋予一个固定码字个固定码字: :q q0 0到到q qk-1k-1。量化过程就是把图像像素。量化过程就是把图像像素样本灰度值与各层灰度判决值相比较样本灰度值与各层灰度判决值相比较, ,凡落在相邻凡落在相邻两层之间像素赋予该层的值。两层之间像素赋予该层的值。
10、等间隔量化：采样值灰度范围等间隔分割等间隔量化：采样值灰度范围等间隔分割非等间隔量化：采样值灰度范围不等间隔分割非等间隔量化：采样值灰度范围不等间隔分割一幅图像及其直方图一幅图像及其直方图等间隔量化效果示意图2. 非等间隔量化非等间隔量化依据一幅图像具体的灰度值分布的概率密度函数，依据一幅图像具体的灰度值分布的概率密度函数，对于对于像素灰度值频繁出现的灰度值范围，量化间隔像素灰度值频繁出现的灰度值范围，量化间隔小一些小一些。而对。而对像素灰度值极少出现的灰度范围，则像素灰度值极少出现的灰度范围，则量化间隔大一些量化间隔大一些。讨论：讨论： a a对对亮度值急剧变化部分粗量化亮度值急剧变化部分粗
11、量化，对，对亮度值变亮度值变化平缓部分细量化化平缓部分细量化。 b b估计所有可能亮度值出现概率大的亮度值细估计所有可能亮度值出现概率大的亮度值细量化，概率小的量度值粗量化。量化，概率小的量度值粗量化。 c c采样点固定，自适应改变采样密度。采样点固定，自适应改变采样密度。 非等间隔量化效果示意图充分考虑到人眼的识别能力之后，目前非特殊充分考虑到人眼的识别能力之后，目前非特殊用途的图像均为用途的图像均为8bit8bit量化，即用量化，即用0 0255255描述描述“黑白黑白”。 低bit量化的伪轮廓现象示意图在在3bit以下的量化，会出现伪轮廓现象。以下的量化，会出现伪轮廓现象。l 图像信号的
12、正交变换图像信号的正交变换u 主要有主要有DFT、DCT、DWT 、 DHT等。等。u 图像信号正交变换的优点：图像信号正交变换的优点： 图像图像数据量大，如果数据量大，如果直接在空间域处理，则计算直接在空间域处理，则计算量大，量大，且随着图像样点数目增加而计算量急剧增且随着图像样点数目增加而计算量急剧增加，难以实时处理。加，难以实时处理。 采用图像信号采用图像信号正交变换正交变换，将输入图像信号，将输入图像信号从空间从空间域转换到频率域域转换到频率域，可以把，可以把空间域中卷积空间域中卷积或相关运或相关运算简化为算简化为频率域相乘频率域相乘处理，处理，大大减少计算量大大减少计算量，提，提高处
13、理速度，可改变难以实时处理局面。高处理速度，可改变难以实时处理局面。2.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换DFT n DFT的优势：的优势： 建立了离散时域（或空间域）与离散频域间关建立了离散时域（或空间域）与离散频域间关系。系。 )(),()(ffAff正变换逆变换 DFT DFT大大减少计算量，提高处理速度。提供的大大减少计算量，提高处理速度。提供的FFTFFT算法，彻底改变难以实时处理的局面。算法，彻底改变难以实时处理的局面。时域（或空间域）卷积或相关运算时域（或空间域）卷积或相关运算 频率域相乘运算频率域相乘运算l一维一维Fourier变换变换p定义定义 设设 为为x x的函数，若满足的
14、函数，若满足 ，那么，那么，下列二式成立：下列二式成立： x x为时域变量，为时域变量，u u为频率变量，以上公式称为为频率变量，以上公式称为FourierFourier变换对。变换对。)(xfdxxf)(dxexfuFuxj2)()(dueuFxfuxj2)()(Fourier变换变换p另一种形式另一种形式 令令 则则 是一个复数是一个复数u2dxexfFxj)()(deFxfxj)(21)()()()(jeFF)()(F)(xfl一维一维Fourier变换变换Fourier变换变换p二维函数二维函数 若满足绝对可积条件，那么二维若满足绝对可积条件，那么二维FourierFourier变换对
15、存在。变换对存在。),(yxf dxdye )y,x(f)v ,u(F)vyux(2j dxdye )v ,u(F)y,x(f)vyux(2j ),(),(arctan),(),(),(),(22vuRvuIvuvuIvuRvuFFourier谱：谱：相位谱：相位谱：l二维二维Fourier变换变换2.2.1 一维离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换设对设对1 1个连续信号个连续信号f(x)f(x)等间隔采样得等间隔采样得1 1个离散序列，个离散序列，设共采了设共采了N N个样，则这个离散序列可表示为个样，则这个离散序列可表示为f(n)|n=0,1,f(n)|n=0,1,N-1,N-1，令，令x
16、x为离散实变量，为离散实变量，u u为离为离散频率变量，则其离散傅立叶变换对定义散频率变量，则其离散傅立叶变换对定义 式中式中x,u=0,1,x,u=0,1,N-1,N-1 102)()()(NxNuxjexfuFxfF 1021)(1)()(NuNuxjeuFNxfuFF 通常傅立叶变换为复数形式，即通常傅立叶变换为复数形式，即)()()(ujIuRuF 式子中式子中R(u)(u)和和I(u)I(u)分别为分别为F(u)F(u)的实部和虚部。的实部和虚部。通常傅立叶变换也可为指数形式，即通常傅立叶变换也可为指数形式，即)(| )(|)(ujeuFuF 其中：其中：)()(| )(|22uIu
17、RuF )()(arctan)(uRuIu 通常称通常称|F(u)F(u)| |为为f(x)f(x)的频谱或傅立叶的频谱或傅立叶幅度谱，幅度谱， (u)(u)为为f(x)f(x)的的相位谱相位谱。2.2.2 二维离散傅立叶变换二维离散傅立叶变换定义二维离散信号定义二维离散信号f(x,y)|x=0,1,f(x,y)|x=0,1,M-1,M-1；y=0,1,y=0,1,N-1,N-1的离散傅立叶变换对为：的离散傅立叶变换对为： 1010)(2),(),(),(MxNyNvyMuxjeyxfvuFyxfF 式中式中 x,u=0,1,M-1；y,v=0,1,N-1。 x, y为时域变量，为时域变量，
18、u ,v为频域变量。为频域变量。 1010)(21),(1),(),(MuNvNvyMuxjevuFMNyxfvuFF 1. 1. 二维二维DFTDFT的定义的定义二维傅立叶变换的复数形式，即二维傅立叶变换的复数形式，即),(),(),(vujIvuRvuF 式子中式子中R(u(u,v) )和和I(uI(u,v) )分别为分别为F(uF(u,v) )的实部和虚部。的实部和虚部。二维傅立叶变换的傅立叶频谱，即二维傅立叶变换的傅立叶频谱，即)()(| )(|22uIuRuF 二维傅立叶变换的相位谱，即二维傅立叶变换的相位谱，即)()(arctan)(uRuIu 2. 2. 二维二维DFTDFT的性
19、质的性质 可分离性可分离性-二维离散傅立叶变换的实现：二维离散傅立叶变换的实现：即二维离散傅立叶变换正反变换运算可分别分解即二维离散傅立叶变换正反变换运算可分别分解成两次一维离散傅立叶变换运算：成两次一维离散傅立叶变换运算： 1010)(2),(),(),(MxNyNvyMuxjeyxfvuFyxfF 1010)(21),(1),(),(MuNvNvyMuxjevuFMNyxfvuFF 那么对于那么对于正变换正变换式子可分成下面两个式子：式子可分成下面两个式子： 102),(),(NyNvyjeyxfvxF 1M0 x2),(v)F(u,MuxjevxF 在上式中，每个式子都为一个一维离散傅立
20、叶变换，在上式中，每个式子都为一个一维离散傅立叶变换，所以所以二维离散傅立叶变换二维离散傅立叶变换F(u,v)F(u,v)可由可由f(x,y)f(x,y)先按行先按行进行一维离散傅立叶变换，再按列进行一维离散傅进行一维离散傅立叶变换，再按列进行一维离散傅立叶变换得到。立叶变换得到。用两次一维用两次一维DFT计算二维计算二维DFT图示：图示： 平移性质平移性质表明只要将表明只要将f(x,y)乘以因子乘以因子 ，再进行，再进行离散傅立叶变换，则可将图像的频谱原点离散傅立叶变换，则可将图像的频谱原点(0,0)(0,0)移动到图像中心移动到图像中心(M/2,N/2)(M/2,N/2)处。处。)(200
21、NyvMxuje )(20000)(20000),(),(),(),(NyvMxujNyvMxujevuFyyxxfvvuuFeyxf 旋转不变性旋转不变性表明如果时域中离散函数旋转表明如果时域中离散函数旋转 角度，则在变换角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样角度。域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样角度。),(),( Frf下面为傅立叶频谱旋转不变性示意图下面为傅立叶频谱旋转不变性示意图(a)(a)图表示原图像；图表示原图像；(b)(b)图表示原图像傅图表示原图像傅立叶频谱；立叶频谱；(c)(c)图表示图表示旋转旋转45度度角后图像；角后图像；(d)图表示图表示旋转后图旋转后图
22、像像傅立叶频谱傅立叶频谱 线性线性),(),(),(),(22112211yxfayxfayxfayxfaF FF FF F 共轭对称性共轭对称性),(),(vuFyxf),(),(vuFyxf),(yxf),(),(*vuFvuF是是 FourierFourier变换的变换的共轭函数，则共轭函数，则),(*vuF 缩放性缩放性),(),(vuFyxf),(1),(bvauFabbyaxf说明函数在空间比例尺度上的展宽相当在频域比例尺说明函数在空间比例尺度上的展宽相当在频域比例尺度上的压缩，且幅值减少为原来的度上的压缩，且幅值减少为原来的1/|ab|1/|ab| 卷积定理卷积定理),(),()
23、,(),(),(),(),(),(vuGvuFyxgyxfvuGvuFyxgyxfDFTDFT频谱图分析：频谱图分析：傅立叶变换后的图像傅立叶变换后的图像, ,中间部分中间部分为为低频部分频谱能量集中部分低频部分频谱能量集中部分, ,越靠外边频率越越靠外边频率越高。高。二维二维DFT频谱图频谱图3. 3. 快速快速FourierFourier变换变换(FFT)(FFT)lDFTDFT的计算量大，运算时间长，所以提出的计算量大，运算时间长，所以提出FFTFFT，不是一，不是一种新的变换，只是种新的变换，只是DFTDFT的一种算法。的一种算法。l原理：原理：W W因子的周期性，因子的周期性， DF
24、TDFT中的乘法运算中中的乘法运算中有许多重复内容。有许多重复内容。 102)()()(NxNuxjexfuFxfF N2jeW 1N,.,1 , 0uW)x( f)u(F)x( fF1N0 xuxN l将原函数分为奇、偶项，通过不断的一个奇数一将原函数分为奇、偶项，通过不断的一个奇数一个偶数的相加（减），最终得到需要的结果。个偶数的相加（减），最终得到需要的结果。)u(FW)u(F21)u(FouNe )u(FW)u(F21)Mu(FouNe l二维二维FFTFFTp由可分性知：由可分性知：2 2维维DFTDFT可看成是两次的可看成是两次的1 1维维DFTDFT变换，即：变换，即：),(),
25、(yxfffvuF列行p所以，可以分别对图像的每一列进行所以，可以分别对图像的每一列进行FFTFFT，然后再对每，然后再对每一行进行一行进行FFTFFT。p例：已知图像为例：已知图像为 8070605040302010f求求2维维FFT变换变换F(u,v)jjWWWWWWWW444441644106441064731073734516515175311404140402020202jjWWWWWWWW444442044128441284841284844628626286421404140402020202列变换列变换经过列变换后为：经过列变换后为：jjjj440440404044044020
26、0160行变换行变换08808808844440000440440jjjjjjj08808808844440000440440jjjjjjj0808084400004040jj436436436201600002001600880880808088088436436jjjjjjFlDFTDFT在图像处理中的应用在图像处理中的应用uDFTDFT在图像滤波中的应用在图像滤波中的应用DFTDFT变换变换后的图像，中间为低频部分，越靠外频后的图像，中间为低频部分，越靠外频率越高，因此，可选择所需的率越高，因此，可选择所需的高频高频或或低频低频滤波。滤波。uDFTDFT在图像压缩中的应用在图像压缩中的应
27、用变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为往往认为可将高频系数置为0 0，骗过人眼骗过人眼。uDFTDFT在卷积中的应用在卷积中的应用2.3 离散余弦变换离散余弦变换DCT 问题的提出：问题的提出： Fourier变换的一个最大的问题是：它的变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希
28、望有一种能够达到相同功两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。能但数据量又不大的变换。 在此期望下，产生了在此期望下，产生了DCT变换。变换。2.3.1 一维离散余弦变换：一维离散余弦变换：设设f(x)|x=0,1,f(x)|x=0,1,N-1,N-1为信号序列集合，其为信号序列集合，其离离散余弦的正反变换散余弦的正反变换定义为：定义为：1,.,12)2(cos)(2)()(10 NuNuaxxfNuCuFNx 1,.,12)12(cos)()(2)(10 NxNuxuFuCNxfNu 121)(uC0 u1,.,2,1 Nu其中其中2.3.2 二维离散余弦变换：二维离
29、散余弦变换： 1010) 1( 2(2cos) 12(2cos),()()(2),(MxNyvyMuxNyxfvCuCMNvuF 1010) 1( 2(2cos) 12(2cos),()()(2),(MuNvvyMuxNvuFvCuCMNyxf 121)(uC0 u1,.,2 , 1 Nu正变换正变换反变换反变换其中其中 121)(vC0 v1,.,2 , 1 NvDCT的频谱图分析的频谱图分析左上角对应低频分量左上角对应低频分量注意：二维注意：二维DCTDCT的频谱分布与的频谱分布与DFTDFT相差一倍。相差一倍。二维二维DCTDCT将能量集中与频谱的左上角。将能量集中与频谱的左上角。原图像
30、原图像原图像的原图像的DFT频谱频谱原图像的原图像的DCT频谱频谱正交变换的性质正交变换的性质l能量守恒性能量守恒性l能量集中性能量集中性。空间域亮度均匀分布，频率大部分空间域亮度均匀分布，频率大部分能量集中在低频系数上能量集中在低频系数上l去相关性。去相关性。空间域相关像素，通过正交变换在频空间域相关像素，通过正交变换在频域大大降低变换系数之间相关性。域大大降低变换系数之间相关性。l熵保持性。熵保持性。变换系数变换系数F(u,v)的熵值和原图像信号的熵值和原图像信号f(x,y)熵值相等。熵值相等。 1M0u1N0v21M0 x1N0y2)v ,u(F)y,x(f2.4 图像的统计特性图像的统
31、计特性 图像的统计特性是指图像信号图像的统计特性是指图像信号(亮度、色度或亮度、色度或其抽样值等其抽样值等) 本身，或对它们进行某种方式的处理本身，或对它们进行某种方式的处理以后的输出值的随机统计特性。以后的输出值的随机统计特性。 例如图像的同一行相邻像素之间，相邻行对应例如图像的同一行相邻像素之间，相邻行对应像素之间，以及活动图像相邻帧的对应像素之间往像素之间，以及活动图像相邻帧的对应像素之间往往存在很强相关性。往存在很强相关性。 对图像信息进行压缩编码就是通过去除对图像信息进行压缩编码就是通过去除图像信号的这种固有的统计特性的。图像信号的这种固有的统计特性的。2.4.1 图像空间域统计特性
32、图像空间域统计特性图像空间域统计特性是用来反映任意两个像素之间图像空间域统计特性是用来反映任意两个像素之间的相关性，也就是在统计平均的意义上来计算它们的相关性，也就是在统计平均的意义上来计算它们之间的相似程度。之间的相似程度。l 图像的自相关函数：图像的自相关函数： 设设( (i1,j1),(),(i2, ,j2) )为为NN图像中两点，图像中两点，21,21122221122 ( ,) ( ,)/ ( ,)( ,)/Ef ijmf ijmEf ijf ijm 式子中式子中E.表示数学期望，表示数学期望， m表示灰度平均值，表示灰度平均值， 2表示图像的方差，表示图像的方差，21( , )ijmf i jN 222 ( , ) E f i jm 结论：相邻像素之间的相关特性随两像素之结论：相邻像素之间的相关特性随两像素之 间距离增大而减小。间距离增大而减小。2.4.2 图像频域统计特性图像频域统计特性从频谱角度看出，电视从频谱角度看出，电视/ /图像信号绝大部分能量集中图像信号绝大部分能量集中于频率域中的低频部分。于频率域中的低频部分。原图像原图像原图像原图像DCT频谱频谱
