1、1第五章（下）：期权定价的二叉树模型第一节股票价格模型第二节用二叉树模型进行看涨期权定价第三节美式期权定价第四节敲出期权定价第五节回望期权定价第六节实证数据下二叉树模型分析第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险假设股票的价格在单位时间内只能够沿着两个方向变动。图4-1和图4-2采用二叉树的形式列出了可能变动的两个方向，将来的价格等于现值与相应收益率的乘积。2022-6-12第一节股票价格模型1,1, 01udp2022-6-13第一节股票价格模型2022-6-14第一节股票价格模型1000ESpuSqdSpudqS股票价格没有漂移股票价格向下漂移股票价格向上漂移 , 1 , 1 , 1qdpuq
2、dpuqdpu一、二叉树的重新安排2022-6-12022-6-16第一节股票价格模型3223303033 ESpuqdpuqdpuqdSpuqdS1kkESpuqdES10kkESpuqdS（4-1）2022-6-17第一节股票价格模型二、连锁法和期望值连锁法（后向推导） 2022-6-18第一节股票价格模型2022-6-19第一节股票价格模型2022-6-110第一节股票价格模型xpaqb若x是股票未来价格a和b的期望值，则连锁法：2022-6-111第一节股票价格模型2022-6-113第一节股票价格模型puqd剩 余 列 数节 点 输 入 值 = 节 点 股 票 价 格0kkESSpu
3、qd如何证明？如何证明？将节点输入值中的股票价格因子分离出来，则第一节股票价格模型简要提示：归纳法路径依赖2022-6-114若期权到期时间为，试对期权进行定价。2022-6-115第二节用二叉树模型进行看涨期权定价0100,105,1.1,0.9,0.05SXudr3t首先构造一个三期的股票价格二叉树模型，如图4-8所示。2022-6-116第二节用二叉树模型进行看涨期权定价三期的期权价格二叉树模型2022-6-117第二节用二叉树模型进行看涨期权定价0.7564q 2022-6-118第二节用二叉树模型进行看涨期权定价dudeqrdudrSSSSeq0由无套利定价原则得 （4-2）2022
4、-6-119第二节用二叉树模型进行看涨期权定价美式看跌期权，若：期权到期时间为。2022-6-121第三节美式期权定价0100,100,1.1,0.9,0.05SXudr3t2022-6-122第三节美式期权定价2022-6-123第三节美式期权定价如图4-14所示的分枝图，在节点处有两个选择：（1）立即执行（在 ）；（2）继续持有到下一期 再执行。策略：计算每一种方案的价值，再选择最大的。2022-6-124第三节美式期权定价2t3t2022-6-125第三节美式期权定价12.142436.01.277564.09.1005.0e2022-6-126第三节美式期权定价2022-6-127第三
5、节美式期权定价 向 上 敲 出向 上 敲 入敲 出 期 权敲 入 期 权向 下 敲 出向 下 敲 入2022-6-129第四节敲出期权的定价障碍期权障碍期权(barrier option)一般分为两类，即敲出期权和敲入期权。一般分为两类，即敲出期权和敲入期权。敲出期权：敲出期权：当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废。当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废。敲入期权：敲入期权：当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权才有效。当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权才有效。欧式看涨期权：期权到期时间为。根据题意：考察的期权是一个欧式看涨期权，在3年后到期、执行价是10
6、5美元。若是敲出期权，在价格为95美元处设置了一个障碍，即一旦股票价格低于95美元，无论其到期的价格是多少，该期权都不再有任何价值。2022-6-130第四节敲出期权的定价0100,105,1.1,0.9,0.05SXudr3t画出股票、期权二叉树图标明障碍线2022-6-131第四节敲出期权的定价如何为敲出期权定价？第一步第一步2022-6-132第四节敲出期权的定价2022-6-133第四节敲出期权的定价第二步：第二步：连锁法计算期权价值连锁法计算期权价值障碍法则障碍法则 同样的操作：运用连锁法则和贴现的方法计算出期权的价格。不同的操作：对于障碍(虚线)下方的节点输入值为0。2022-6-
7、134第四节敲出期权的定价作为验证：2022-6-136第四节敲出期权的定价0.0530.15320.756428.120.75640.24363.911.4eEe所 有 路 径注意：u对K期期权定价而言，有2K条路径，当K较小时，路径计算法在期数和路径较少的情况下是简单易行的，但当K较大时，计算却十分困难，因为将生效的期权从失效的期权中分离出来是很困难的。u敲出障碍期权比标准欧式期权要便宜，当障碍的设置越接近于正常价格时，障碍期权越不可能克服日常价格波动，障碍期权较之普通期权的价格越便宜。2022-6-137第四节敲出期权的定价回望期权：2022-6-138第五节回望期权定价回望期权(loo
8、kback options)的收益依附于期权有效期内标的资产达到的最大或最小价格。欧式回望看涨期权的收益等于最后标的资产价格超过期权有效期内标的资产达到的最低价格的那个量。欧式回望看跌期权的收益等于期权有效期内标的资产价格达到的最高价格超过最后标的资产价格的那个量。若有一个三个月到期的回望期权，在三个月后，期权的买方有权得到以过去三个月中最高股价来计算的偿付。所谓回望的含义就体现在这里。应注意，为了确定期权的到期价格，需要知道的不仅仅是股票的最终价格，还需要知道股票过去每个时间点的价格(除了一些极端的情况)。 2022-6-139第五节回望期权定价例： 以一个月为一个时间段，得三个月的股价树，
9、见图4-21。2022-6-140第五节回望期权定价0100,0.9,1.2,0.05Sdur2022-6-141第五节回望期权定价2022-6-142uuu3quud)1(2qqudu)1(2qqduu)1(2qqdud2)1(qqddu2)1(qqudd2)1(qqddd3)1(q表表3-1路径、概率及最高价路径、概率及最高价路径概率最高价172.8144129.6129.61081001201002022-6-143第五节回望期权定价3115.314E V0.053 /1203 =113.88VE Ve金融（或其他领域）中用的数学模型是为了帮助在分析现在的基础上预测未来。如果模型是成功的
10、，那么模型就应该与实际相符。如何确定、 和？希望通过股价行为中的重要因素来估计上面这些参数漂移率、波动率2022-6-144第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 pud2022-6-145第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 漂移率：单位时间内股价的平均变化幅度。波动率：相对回报率的不确定性。2022-6-146第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 01SEtS2201SEttS1t2022-6-147第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 001SSESSEt2021tSSEt平均相对回报率：平均股价比率：如果随机变量服从
11、伯努利分布，则 2022-6-148第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 X21)1(bappXDbppaXE将此应用于图4-22的股价二叉树，得2022-6-149第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 dupptSSEtdppuSSEt1111200Hull-White算法：令：则：2022-6-150第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 21ptdutdu212ttdttu112022-6-151第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 用样本估计值来代替用样本均值、样本方差分别代替总体均值和方差。若： 对于独立的股价伯努
12、利分布的随机变量 2022-6-152第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 011SXSkkkSXS1121/11dSSPuSSPkkkk2022-6-153第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 2022-6-154第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 111111/1nnkkkkkUXSSnnnkkkUnSSns122121/112022-6-155第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 tUts于是得到2022-6-156第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 算例：1.计算相关参数2.画出二叉树图3.计
13、算期权价格第六节实证数据下二叉树模型分析实证数据下二叉树模型分析 习题：以下为包钢股份2006年4月4日至4月14日股价，试计算相关参数。4月4日4月5日4月11日4月14日2.062.072.072.012.082.082.062.082.082.12.072.082.072.092.052.12.072.092.052.12.072.082.062.122.062.082.062.12.062.082.052.022022-6-157以N期股价二叉树为基础的期权价格，可以由期权在期末的价值完全决定。如果期权的价格与由二叉树算法得到的价格不一样，则将存在无风险套利机会。即，二叉树算法得出的结
14、果是符合无套利原则的惟一价格，从这个角度来说，二叉树算法的价格反映了市场的真实状况。 2022-6-158第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲风险 验证单期二叉树德尔塔对冲效果： 卖出一个看涨期权，或衍生产品，同时买入 股股票，且 则最初投资为 ， 为看涨期权的价格2022-6-159第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲风险 aduSSDUa0aSCCrueaSUaSC0r为进行投资或借入的无风险利率。股价上升：股价下跌：由于 2022-6-160第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲风险 0000rurruuaSUaSCe
15、aSUaSaSUaSee资 产 组 合 损 益0rdaSDaSCe资 产 组 合 损 益UaSDaSud00rdaSDaSCe资 产 组 合 损 益2022-6-161第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲风险 由此可见，风险已完全对冲了。在这种情况下，交易商的无风险收益是收取少量的佣金。 为确定对冲组合，应采取的步骤： 画出股价二叉树。 用连锁法则计算衍生品价格树。 从时刻起，确定对冲的股票，对冲股票数量的计算公式化。 在时刻以及接下来的各期，应当用步骤重新计算所需的对冲股票数量。2022-6-162第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲风险 0t
16、 duSSDUa1t 说明： 可以对冲N期二叉树模型并不意味着可以对冲任意的衍生产品（比如说连续情形下）。即使二叉树模型通过选取足够大的n值，以对股价进行合理的拟合，但股价运行中固有的属性，决定了不可能做出无误差的对冲调整。 2022-6-163第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲风险 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲风险 例：股价及衍生产品价格二叉树见图4-25 r=0.04879,即er=1.05。2022-6-164第一步：采用连锁法则，完成衍生产品的价格树2022-6-165第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲
17、风险 2022-6-166第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲风险 2022-6-167第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲风险 第二步： 对冲1110.3322754VS2022-6-168第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲风险 在t=0时刻在t=0时刻，卖掉单位衍生品，买入0.3322754股票策略：2022-6-169第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲风险 在t=0时刻，全部资产状况： 拥有股票 欠银行负债 0.3322754 23.21998第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模
18、型的定价和对冲风险 在t=1时刻，若股价为120美元2220.266666VS2022-6-170策略：卖掉股票：0.3322756-0.266666=0.06561减少债务：0.06561120=7.8732 在t=1时刻，全部资产状况：拥有股票 欠银行负债0.266666 23.219981.05-7.8732 (16.507779)2022-6-171第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲风险 在t=2时刻，若股价为110，则：资产负债拥有股票衍生产品12欠银行负债0.266666110 16.5077791.05在t=2时刻 资产负债29.332022-6-172第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险期二叉树模型的定价和对冲风险 请借助T形帐户，阐述当股价为其他状态时的风险对冲过程。2022-6-173课后习题深入理解实证数据下，参数估计过程。
