1、 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影3.1力对轴之矩力对轴之矩3.2空间力系的平衡方程式及应用空间力系的平衡方程式及应用3.3重重 心心3.4图图3.1 3.1 空间力系空间力系 本章主要讨论力在空间坐标轴上的投本章主要讨论力在空间坐标轴上的投影、力对轴之矩的概念与运算以及空间力影、力对轴之矩的概念与运算以及空间力系平衡问题的求解方法。系平衡问题的求解方法。 力在空间坐标轴上投影的概念与力在力在空间坐标轴上投影的概念与力在平面坐标轴上投影的概念基本相同，由于平面坐标轴上投影的概念基本相同，由于力所对应的参考系不同，计算方法也有所力所对应的参考系不同，计算方法也有所不同。力在空
2、间坐标轴上的投影有两种运不同。力在空间坐标轴上的投影有两种运算方法，即直接投影法和二次投影法。算方法，即直接投影法和二次投影法。 直接投影法 力在空间直角坐标轴上的投影),cos(cosiFFFFx),cos(cosjFFFFy若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角，则用直接投影法),cos(coskFFFFz 力在轴上的投影是代数量，其正负号力在轴上的投影是代数量，其正负号规定为：从力的起点到终点的连线与坐标规定为：从力的起点到终点的连线与坐标轴正向一致时，力的投影为正；反之为负。轴正向一致时，力的投影为正；反之为负。而力沿坐标轴的分量为矢量。而力沿坐标轴的分量为矢量。 3.1.2 3.1.
3、2 二次投影法二次投影法 当力与坐标轴的夹角没有全部给出时，当力与坐标轴的夹角没有全部给出时，可采用二次投影法，即先将力投影到某一可采用二次投影法，即先将力投影到某一坐标平面上得到一个矢量，然后再将这个坐标平面上得到一个矢量，然后再将这个矢量进一步投影到坐标轴上。矢量进一步投影到坐标轴上。间接（二次）投影法sinxyFFsincosxFFsinsinyFFcoszFF空间力的分解当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时，可把力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这个力投影到x 、y轴上，这叫间接投影法。kFjFiFFzyx 3.1.3 3.1.3 合力投影定理合力投影定理 设有
4、一空间汇交力系设有一空间汇交力系F F1 1、F F2 2、F Fn n，运用力的平行四边形法则，可将其逐步合运用力的平行四边形法则，可将其逐步合成为一个合力成为一个合力F FR R，故有，故有F FR R = =F F1 1 + + F F2 2 + + + + F Fn n = =F 将上式向将上式向x x、y y、z z三个坐标轴投影，可三个坐标轴投影，可得得（3.53.5） 式（式（3.53.5）又称为合力投影定理，它表）又称为合力投影定理，它表明合力在某轴上的投影等于各分力在同一明合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。 例例3.1 3.1 在边长在边长
5、a a =50mm =50mm，b b=100mm=100mm，c c=150mm=150mm的六面体上，作用有的六面体上，作用有4 4个空间力，个空间力，如图如图3.43.4所示。所示。F F1 1=100N=100N，F F2 2=100N=100N，F F3 3=200N=200N，F F4 4=200N=200N。试计算各力在三个坐标轴上的投。试计算各力在三个坐标轴上的投影。影。3.2.1 3.2.1 力对轴之矩的概念力对轴之矩的概念 在工程实际中，经常遇到刚体绕定轴在工程实际中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力使物体绕定轴转转动的情形，为了度量力使物体绕定轴转动的效应，引入力
6、对轴之矩的概念。动的效应，引入力对轴之矩的概念。 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.( )()zoxyxyM FM FF h力F对z 轴的矩定义为：()()2zOxyxyOabMMF hA FF力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量。其绝对值等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面交点的矩。xyzOFFxyhBAab符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。 力对轴之矩的单位为力对
7、轴之矩的单位为NmNm或或kNmkNm，它，它是一个代数量，正负号可用右手螺旋法则是一个代数量，正负号可用右手螺旋法则判定，如图判定，如图3.63.6所示，用右手握住转轴，四所示，用右手握住转轴，四指与力矩转动方向一致，伸开拇指，若拇指与力矩转动方向一致，伸开拇指，若拇指指向与转轴正向一致，则力对该轴之矩指指向与转轴正向一致，则力对该轴之矩为正；反之，为负。为正；反之，为负。 也可以从转轴正方向看过去，逆时针也可以从转轴正方向看过去，逆时针转向的力矩为正，顺时针转向的力矩为负。转向的力矩为正，顺时针转向的力矩为负。 当力的作用线与轴平行或相交时，力当力的作用线与轴平行或相交时，力对轴之矩等于零
8、，力不能使物体绕该轴转对轴之矩等于零，力不能使物体绕该轴转动。动。 图图3.6 3.6 力对轴之矩正负的判断力对轴之矩正负的判断 3.2.2 3.2.2 合力矩定理合力矩定理 设有一空间汇交力系设有一空间汇交力系F F1 1、F F2 2、F Fn n，其合力为其合力为F FR R，则合力对某轴之矩等于各分，则合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和，表达式为力对同一轴之矩的代数和，表达式为（3.7）式（式（3.7）称为合力矩定理。）称为合力矩定理。R12R12R12()()()()()()()()()()()()()()()xxxxnxyyyynyzzzznzMMMMMMMMMMMMMM
9、MFFFFFFFFFFFFFFF 1 1空间任意力系平衡方程空间任意力系平衡方程 与平面任意力系相同，空间任意力系与平面任意力系相同，空间任意力系向一点简化，可以得到一个主矢和一个主向一点简化，可以得到一个主矢和一个主矩。当主矢和主矩同时为零时，物体处于矩。当主矢和主矩同时为零时，物体处于平衡状态。平衡状态。因此，因此，空间力系的平衡条件空间力系的平衡条件为：为： 000( )0( )0( )0 xyzXYZMFMFMF（3.7） 式（式（3.73.7）表明了）表明了空间任意力系平衡的空间任意力系平衡的必要和充分条件必要和充分条件，即：，即：各力在三个坐标轴各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各
10、力对三个坐标轴之上投影的代数和以及各力对三个坐标轴之矩的代数和必须分别等于零矩的代数和必须分别等于零。 式中式中6 6个方程各自独立，利用该方程组个方程各自独立，利用该方程组可以求解可以求解6 6个未知量。个未知量。 2 2空间汇交力系平衡方程空间汇交力系平衡方程000XYZ（3.8） 3 3空间平行力系平衡方程空间平行力系平衡方程（设各力与（设各力与Z Z轴平行）轴平行）（3.9）0( )0( )0 xyZMFMF 4 4平面力系（设力的作用平面平面力系（设力的作用平面为为oxyoxy）00( )0ZXYM F（3.10） 5 5空间力系平衡方程的应用空间力系平衡方程的应用 求解空间力系平衡
11、问题的基本方法与步骤求解空间力系平衡问题的基本方法与步骤与平面力系相同，即：与平面力系相同，即：（1 1）选择研究对象，取分离体，画受力图。）选择研究对象，取分离体，画受力图。（2 2）建立空间直角坐标系，将受力图投影到）建立空间直角坐标系，将受力图投影到三个坐标平面上。三个坐标平面上。（3 3）列平衡方程，求解未知量。）列平衡方程，求解未知量。 正确地选择研究对象，画出分离体的正确地选择研究对象，画出分离体的受力图是解决问题的关键受力图是解决问题的关键，表，表3.13.1列出了空列出了空间常见约束的类型及约束力的表示法。间常见约束的类型及约束力的表示法。 对于空间力系的解法有两种：对于空间力
12、系的解法有两种：一是直一是直接应用空间力系的平衡方程求解；二是将接应用空间力系的平衡方程求解；二是将空间力系转化为平面力系求解，即把空间空间力系转化为平面力系求解，即把空间的受力图投影到三个坐标平面上，画出主的受力图投影到三个坐标平面上，画出主视图、俯视图、侧视图。视图、俯视图、侧视图。分别列出它们的分别列出它们的平衡方程，同样可求解出所求的未知量平衡方程，同样可求解出所求的未知量, ,本本题分别用两种方法求解。题分别用两种方法求解。 用方法二解题时，关键在于正确地将用方法二解题时，关键在于正确地将空间力系投影到三个坐标平面上，转化为空间力系投影到三个坐标平面上，转化为平面力系。对比两种方法可
13、以看出，后一平面力系。对比两种方法可以看出，后一种方法较易掌握，适用于受力较多的轴类种方法较易掌握，适用于受力较多的轴类构件。构件。 重力是地球对物体的吸引力，如果将物体由无数的质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺寸比地球小得多，因此可近似地认为重力是个平行力系，这力系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为物体的重心。3.4 3.4 重重 心心确定重心的方法确定重心的方法1 简单几何形状物体的重心 如果均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。简单形状物体的重心
14、可从工程手册上查到。表3-2 常见简单几何形状物体的重心2. 用组合法求重心如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心可由下式求出。1）分割法,iiiiiiCCCiiiPxPyPzxyzPPP2）负面积法若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物体），则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。3 用实验方法确定物体的重心（1） 悬挂法如果均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。简单形状物体的重心可从工程手册上查到。图a中左右两部分的重量是否一定相等？（2） 称重法1CP xF l1CFxlP则有2CFxlP整理后，得22211hlhPFFzc例6-11求：其重心坐标已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.则用虚线分割如图， 为三个小矩形，其面积与坐标分别为解:厚度方向重心坐标已确定， 只求重心的x,y坐标即可.mm151xmm451y21300mmAmm52xmm302y22400mmAmm153xmm53y23300mmAmm2321332211AAAxAxAxAAxAxiiCmm27321332211AAAyAyAyAAyAyiiC
