1、习题课习题课（质点运动学和牛顿定律）（质点运动学和牛顿定律）一、基本要求：一、基本要求：(1) 掌握描述质点运动状态和状态变化的物理量及其意义。)a,v ,r,r(2) 掌握运动学两类问题的计算。理解相对运动。(5)掌握牛顿定律及其应用。(4)(3) 理解切向加速度合法向加速度的概念。二、基本内容二、基本内容描述平动和转动的基本物理量。1、(1) 位置矢量r位移(2)r(3) 速度v(4) 加速度a平动平动转动转动(1) 角位置角位移(2)(3) 角速度(4) 角加速度（）2. 常用坐标系常用坐标系直角直角极坐标极坐标自然坐自然坐标标POPOO Orrrdrvrdtavrrrrervrer e
2、rraa ea e()s stttvvesettnnaa ea erxiyjvxiyjaxiyj2rarr2arrtavs22nva 注意：(2)rs与的区别。r与,rr的区别。(1) 运动方程的意义。 trrr1r2rSyxzo与(或)描写质点运动状态的物理量(3)vmpvr)(ta)(tr求导求导求导求导积分积分积分积分( ) tv质点运动学两类基本问题质点运动学两类基本问题 一一 由质点的运动方程可以求得质点在任一由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；时刻的位矢、速度和加速度； 二二 已知质点的加速度以及初始速度和初始已知质点的加速度以及初始速度和初始位置位置, 可
3、求质点速度及其运动方程可求质点速度及其运动方程 .已知运动求运动方程积分积分(2)(1) 已知运动方程求运动微分微分运动学问题类型运动学问题类型3 3、I. 运动学概念辨析运动学概念辨析II. 运动学基本计算运动学基本计算IV. 相对运动之变换相对运动之变换III. 角量和线量关系角量和线量关系0、基本模型、基本模型?r ?r 1、一质点以半径为、一质点以半径为R作匀速圆周运动，以圆作匀速圆周运动，以圆心为坐标原点，质点运动半个周期内，其位心为坐标原点，质点运动半个周期内，其位移大小移大小 其位矢大小的增量其位矢大小的增量r质点作圆周运动Rr20r答案：因此，一般情况下dtdrdtrdvBAr
4、r r质点从A运动到Brrr 一运动质点在某瞬时位于径矢一运动质点在某瞬时位于径矢 的的端点处的速度大小为端点处的速度大小为 （ ） trdd .A),(yxrtrdd .Btsdd .Ctrdd .D22dddd .EtytxC、E答案：答案：C、E3、试判断下列说法是否正确。（1）一物体具有加速度，但速度可能为零。（2）运动物体加速度越大，物体的速度也越大。（3）物体在直线上运动前进时，如果物体向前的加速度减小，物体前进的速度也就减小了。（4）物体加速度的值很大，而物体速度可以不变。（5）物体作曲线运动时必有加速度。 X X X X X X 4、下列图形中，正确反映质点在曲线运动轨迹上作减
5、速运动的图形是哪一幅。答案：(c)(a)av(c)av(b)av(d)av5 在离水面高度为在离水面高度为h的岸边，有人用绳拉一小船在水面上的岸边，有人用绳拉一小船在水面上向岸边靠近，并以匀速向岸边靠近，并以匀速v0收绳（如图）。求船与岸相距为收绳（如图）。求船与岸相距为 x 时的速度和加速度。时的速度和加速度。 解：取图示的坐标系解：取图示的坐标系Oxy，在任，在任一时刻，定滑轮距船长为一时刻，定滑轮距船长为r,根据根据几何关系，船在任一时刻满足：几何关系，船在任一时刻满足： hOxv0vl两边对两边对t求导：求导：dtdlldtdxx22（2）222lhx（1）0vdtdl而而（3）则小船
6、的速度大小为则小船的速度大小为 cos0022vvxhxdtdlxldtdxv小船的加速度为小船的加速度为 ivxhidtdlvhlldlddtvda2032022)(ivxhxivv0220)()cos(6、已知质点曲线运动方程求质点切向和法向加速度。jti tdtrdv2112 解：同前jtitr232123121即tvx12 tvy122tvvvyxjtidtvda21121xa2112tay1222tta则由定义知1dtdvat2van12122taaatn2van 另一方法：由函数式求出任一点处曲率半径再由 求得结果。求：求：( (1) ) 的位移；的位移；( (2) ) 1s末的速
7、度；末的速度；( (3) ) 1s末的加速度；末的加速度；( (4) ) 轨道方轨道方程式中程式中 的单位为的单位为m，时间单位为，时间单位为s，速度，速度单位为单位为ms-1s25. 01ts12tj ti tr2cos42sin5 Ex1已知已知r，解解 ( (1) )jijijyyixxr45)04() 50()()(1212j ti tta2cos162sin20dd22 v( (3) )1452cos42sin52222 yxtytx( (4) )( (2) )j ti ttr2sin82cos10dd vit1011 vvjaat211167、若斜抛运动中测得在轨道、若斜抛运动中测
8、得在轨道A点处速度的大小点处速度的大小为为v，其方向与水平方向夹角为，其方向与水平方向夹角为30，则物体在，则物体在A处的切向加速度以及轨道的处的切向加速度以及轨道的 曲率半径分别为曲率半径分别为多少？多少？ntddeeta2vv切向加速度切向加速度tddettavxyo0d30Agatanggat5 . 030sin大小法向加速度法向加速度nena2v22330cosvggan曲率半径曲率半径 gv322解：C、E 迫击炮弹以发射角迫击炮弹以发射角 发射，其初速度大小发射，其初速度大小为为 。若不计空气阻力，试比较炮弹在发射点。若不计空气阻力，试比较炮弹在发射点和最高点运动轨迹的曲率。和最高
9、点运动轨迹的曲率。0v0v解：小球作抛体运动，其运动方程为解：小球作抛体运动，其运动方程为例题例题3 3 在倾角为在倾角为 的斜的斜坡上，以初速度坡上，以初速度 抛出一小球抛出一小球设设 与斜坡夹角与斜坡夹角 ，如图，如图示求小球落地处离抛物点之间示求小球落地处离抛物点之间的距离的距离0300v0v060LL0v2021t gtvr（1）质点运动的基本物理量方法一方法一：取如图坐标系：取如图坐标系oxy, oxy, 坐标原点在抛物点处，则坐标原点在抛物点处，则xyoL0v此式的物理意义是：此式的物理意义是： 小球的运动是小球的运动是 x x 方向的匀速直线方向的匀速直线运动和运动和 y y 方
10、向匀变速运动的叠加方向匀变速运动的叠加2021)sin(gttvytvx)cos(0（2）（3）式式(1(1）的分量式为）的分量式为: :质点运动的基本物理量落地时有落地时有cosLx sinLy代入式（代入式（2 2），式（），式（3 3）得）得gvL22方法二方法二: : 取如图取如图 坐标系，坐标原点在坐标系，坐标原点在抛出点处，则式（抛出点处，则式（1 1）的分量式为）的分量式为yxo20sin21costgtvx20cos21sintgtvyxL0vyo质点运动的基本物理量其物理意义是什么？其物理意义是什么？落地时有 Lx 0 ygvL02代入上式可得 讨论：运动的叠加和矢量的分解和
11、合成2021t gtvLgvL202进行运算从矢量三角形图可知，这是一进行运算从矢量三角形图可知，这是一正三角形。正三角形。则则L030060tv0221t gr质点运动的基本物理量方法三: 2021t gtvr直接由矢量式其物理意义是什么？其物理意义是什么？数学与物理的关系数学与物理的关系数学是物理学的一种语言数学是物理学的一种语言例例4 在一个转动的齿轮上，一个齿轮在一个转动的齿轮上，一个齿轮P沿半径为沿半径为R的圆的圆周运动，其路程周运动，其路程S随时间的变化规律为随时间的变化规律为 ，其，其中中v0和和b都是正的常量。则都是正的常量。则t时刻齿尖时刻齿尖P的速度大小以及的速度大小以及加
12、速度的大小分别为多少？加速度的大小分别为多少？2021bttvSt时刻齿尖时刻齿尖P的速度大小的速度大小btvdtdSv0ntntaaeRvedtdva2240222222)()(RbtvbRvdtdvaaant）（加速度的大小加速度的大小距河岸（看成直线）500m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速n=1r/min转动，当光束与岸边成600角时，光束沿岸边移动的速度是v=_.(200/9) m/s = 69.8 m/s质量为m的质点放置在一固定的光滑球面顶点处，由于扰动从静止开始下滑。当它角位移为时，它的加速度大小为_.22224(1 cos )sinagg22224(1 cos )sina
13、gg6一质点作半径为一质点作半径为0.1m的圆周运动，的圆周运动，其角坐标其角坐标 ( (1) ) 求求 t = 2 s时质点的法向加速度和切时质点的法向加速度和切向加速度；向加速度；( (2) ) 当当 t 为多少时，法向加速度和切向为多少时，法向加速度和切向加速度的数值相等加速度的数值相等rad423t解解rad423t，42n144RtRatt24dd( (1) )，212ddtt( (2) ) 当当 时，即时，即RtRtaa24144 4tnRtRa24t2tsm84 .a22nsm103 . 2 s2at，当当s550613.t t，解得：解得：010/rad s角加速度25/rad
14、 s 为零，而此时边缘上点的线速度为v=。则在t=_时角位移t=4s,v=-15m/s一刚体一每分钟一刚体一每分钟60转绕转绕Z轴匀速转动（轴匀速转动（ 沿沿Z轴正方向）。设某轴正方向）。设某时刻刚体上一点时刻刚体上一点P的位置矢量为的位置矢量为 ，其单位，其单位为为“10-2m”，若以，若以“10-2m s-1”为速度单位，则该时刻为速度单位，则该时刻P点的速点的速度为多少？度为多少？kjir543mmR22221051043mRv22104 .3160602105rxzyoRvvv与与x轴夹角为轴夹角为90+，与与y轴夹角为轴夹角为 。121210)8 .181 .25(10)534 .3
15、1544 .31(cossincos)90cos(smjismjijvivjvivv54sin,53cos2121211212/ 1 ( /)sin1 ( /)cos ( /)lSttttortt牛顿定律及其应用牛顿定律及其应用4 4、牛顿第二定律是核心（1）()POPOO OFmam aa微分形式22dtrdmFdtvdmF或（2）不同的作用下，质点运动的研究。 vF,rF,tFF等00,iiPOO OFFmaFmaaaaa 非惯性系非惯性系 已知力求运动方程已知力求运动方程 已知运动方程求力已知运动方程求力FarraF 隔离物体隔离物体 受力分析受力分析 建立坐标建立坐标列方程列方程 解方
16、程解方程 结果讨论结果讨论3、已知光滑水平面上有一半圆形轨道。当、已知光滑水平面上有一半圆形轨道。当质量为质量为 初速为初速为 物体进入轨道时，物体与物体进入轨道时，物体与轨道的摩擦因数为轨道的摩擦因数为 ，求物体沿轨道从另一，求物体沿轨道从另一端滑出时速度的大小。端滑出时速度的大小。m0v解：与物体运动速度反向沿轨道切线方向。物体在轨道上滑动时受到摩擦力作用rF方向AB0vdtdvmFNRmvFN2dsdvmvdsdsdtdvmdtdvmRmv2dsRvdvRvv00RRvvln0evv0ABNFrFv（俯视图）（俯视图）4、图示一轻质绳索绕在圆柱上，绳索绕柱、图示一轻质绳索绕在圆柱上，绳索
17、绕柱上的张角为上的张角为。绳与柱间的静摩擦因数为。绳与柱间的静摩擦因数为 ，求绳索处于滑动的边缘时的张力求绳索处于滑动的边缘时的张力 与与 间间的关系。的关系。TBFTAF解：在绳索AB上取一小段讨论受力与运动情况受力分析：图示（略去绳质量）yxNF2ddooFFdFfF2dTAFTBFABo由牛顿定律得：022fFdcosFdcosdFF02sin2sinNFdFddFFd很小2212ddsin,dcosNfFFdFd略去得TATBFFdFdF0eFFTATB或 eFFTATByxNF2ddooFFdFfF2d结果讨论：若绳索在圆柱上绕5圈，即 则10000390.FFTATB5、质量为 ，
18、倾角为 的直角三角形木块，处于静止状态，今将一质量为 的物体从 顶端自由下滑，若不计摩擦，求木块与物体的加速度。mMMMMmm解：相对地面向右运动（ ）（ 相对地面运动如图） 相对 沿斜面运动（ ）1a同时又随 向右运动MMm2aMm列出方程：取oxy坐标，分别列出 和 的牛顿第二定律方程mM1a2amgNFm1aMMgRFNFoxyM1sinMaFN0cosNRFMgF(4)(3)m)cos(sin12aamFNsincos2mamgFN(2)(1)沿水平向右1a沿斜面方向2agsinmMcossinma21gsinmMsinmMa22解得：讨论：若求 相对地面的加速度 ，则ma地地MMmm
19、aaa即：21aaa例例 两只完全相同的小虫，分别粘在跨过无摩擦轻滑轮两只完全相同的小虫，分别粘在跨过无摩擦轻滑轮的绳子的两端，它们由初速度为零向上爬，经过一定的绳子的两端，它们由初速度为零向上爬，经过一定时间后，其中一虫相对绳子的速率是另一虫相对绳子时间后，其中一虫相对绳子的速率是另一虫相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是速率的两倍，则到达顶点的情况是（1）爬得快的虫先到达；（）爬得快的虫先到达；（2）爬得慢的虫先到达；）爬得慢的虫先到达；（3）两虫同时到达；）两虫同时到达； （4）谁先到达不能确定。）谁先到达不能确定。 C 例例1 若质量为若质量为m1、m2的两只小虫，分别粘在跨过无摩的
20、两只小虫，分别粘在跨过无摩擦轻滑轮的绳子的两端，质量为擦轻滑轮的绳子的两端，质量为m1的虫不动，当质量的虫不动，当质量为为m2的虫相对绳子以恒定的加速度的虫相对绳子以恒定的加速度a2沿绳向下滑动时，沿绳向下滑动时，两只小虫相对地面的加速度各为多少？质量为两只小虫相对地面的加速度各为多少？质量为m2的虫的虫与绳间的摩擦力多大？与绳间的摩擦力多大？1PTFTF2P1ay02ay011T1amFgm22T2amFgm1m2m2a设设m2相对地面的加速度为相对地面的加速度为a2，取向上为，取向上为正，正，m1相对地面的加速度为相对地面的加速度为a1（即绳子（即绳子的加速度），取向下为正。的加速度），取
21、向下为正。解解 以地面为参考系，以地面为参考系，因绳子质量不计，因绳子质量不计，所以虫受到的摩擦力在数值上等于绳子的所以虫受到的摩擦力在数值上等于绳子的张力张力 。TF212aaa2122211)(mmamgmma21212T)2(mmmmagF解得解得2121212)(mmamgmmaoxy 例例4 设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比，设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比，即即 ， 为比例系数为比例系数 . 抛体的质量为抛体的质量为 m 、初、初速为速为 、抛射角为、抛射角为 . 求抛体运动的轨迹方程求抛体运动的轨迹方程 . vkFrk0vPrF解解 取如图所示的取如图所示的 平面坐标系平
22、面坐标系oxyxxxktmmavvddyyykmgtmmavvddtmkxxddvvtmkkmgkyydd vv0vAvcos00vvxsin00vvy0tmktx/0ecosvvkmgkmgmkty/0e )sin(vvoxyAvPrF0vtmkxxddvvtmkkmgkyydd vvoxyAvPrF0v0k0k)e1)(cos/0mktkmx(vtkmgkmgkmymkt)e1)(sin(/0v)cos1ln()cos(tan0220 xmkkgmxkmgyvvtxxddvtyyddvmktx/0ecosvvkmgkmgmkty /0e )sin(vv解解mgFNcosRhRRrcossi
23、n ，6在一只半在一只半径为径为R的半球形碗的半球形碗内，有一质量为内，有一质量为m的小球，当球以角的小球，当球以角速度速度在水平面内在水平面内沿碗内壁作匀速圆沿碗内壁作匀速圆周运动时周运动时, ,它离碗它离碗底有多高？底有多高？rmFN2sinmgFNrhR2gRh解得：解得： 7光滑水平桌面光滑水平桌面上放置一半径为上放置一半径为R的固的固定圆环，一物体紧贴定圆环，一物体紧贴环内侧作圆周运动，环内侧作圆周运动，其摩擦因素为其摩擦因素为 ，开，开始时物体速率为始时物体速率为v0，求求t 时刻物体的速率时刻物体的速率 R0vtFNFRmmaF2nNv，tRtdd020vvvv解解 tmmaFddttvtRdd2vvtR011vvR0vtFNF由由，tmRmdd2vv得得)(00tRRvvv解得：解得：
