1、 若连续型随机变量若连续型随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为 则称则称 X 服从参数为服从参数为 和和 的的正态分布正态分布，正态分布是应用最广泛的一种连续型分布正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 十九世纪前叶十九世纪前叶, ,高斯加以推广得到正态高斯加以推广得到正态分布，分布， 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是一公式被认为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面.定义定义3 记为记为 XN( ( , 2 ) ). f ( (x) )所确定的曲线叫作所确定的曲线叫作正态曲线正态曲线. xexfx,21)(222)(
2、 其中其中 - - 0 为常数，为常数， 3. 正态分布正态分布所以通常称为高斯分布所以通常称为高斯分布.正态分布密度的性质正态分布密度的性质 ( (1) ) 在在 x = 处取到最大值处取到最大值 xexfx,21)(222)( 故故 f (x)以以为对称轴，为对称轴，令令 x=+ +c, x=- -c (c0), 分别代入分别代入f (x), 可得可得且且 f (+ +c)=f (- -c) f (+ +c) f (), f (- -c)f ()x = 为为 f (x) 的两个拐点的横坐标的两个拐点的横坐标. . ( (2) ) 正态分布的密度曲线位于正态分布的密度曲线位于 x 轴的上方轴
3、的上方,且关于且关于 x = 对称，对称，对密度函数求导：对密度函数求导：)(21)(222)( xexf222)(222)(2 xex222)(32)( xex= 0 ， )(21)(22222)(222)(3 xxexexf)(21222)(22 xex ( (3) ) 密度曲线密度曲线 y = f (x) 有拐点有拐点即曲线即曲线 y = f (x) 向左右伸展时向左右伸展时, ,越来越贴近越来越贴近 x 轴轴. . 当当 x 时，时，f (x) 0+, , 决定了图形中峰的陡峭程度决定了图形中峰的陡峭程度若固定若固定 ，改变，改变 的值，的值，,)( f反之亦然，反之亦然， 则密度曲线
4、左右整体平移则密度曲线左右整体平移. ( (4) ) f (x) 以以 x 轴为水平渐近线轴为水平渐近线; ; )21,( e 正态分布正态分布 N( ( , 2 ) )的密度函数图形的特点的密度函数图形的特点: ;21)( f两头低两头低, ,中间高中间高, ,左右对称的左右对称的 “峰峰” 状状 若固定若固定 ，改变，改变 的值，的值， 决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置 决定图形的中心位置决定图形的中心位置; 但每个因素但每个因素所起的作用不大所起的作用不大. 经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从或近似服从正态分布或近似服从正态分布.
5、 正常条件下各种产品的正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；射击目标的水平或垂直偏差，测量误差，射击目标的水平或垂直偏差，测量误差， 从直方图，我们可以初步从直方图，我们可以初步看出看出, 年降雨量近似服从正态分布年降雨量近似服从正态分布. 用上海用上海99年降雨量的数据画出了频年降雨量的数据画出了频率直方图率直方图. 下面是我们用某大学男大学生的身下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图高的数据画出的频率直方图.可见可见, 男大学生的身高应服从正态分布男大学生的身高应服从正态分布. 除了上面提到的年降雨量和除了上面提到的年降
6、雨量和某地区成年男某地区成年男子的身高、体重子的身高、体重外外, ,农作物的产量，小麦的穗长、株高；农作物的产量，小麦的穗长、株高； 在自然现象和社会现象中大量的随机变在自然现象和社会现象中大量的随机变量都服从或者近似服从正态分布量都服从或者近似服从正态分布.生物学中同一群体的形态指标，生物学中同一群体的形态指标， 电子元器件的信号噪声、电压、电流；电子元器件的信号噪声、电压、电流； 拟合的正态拟合的正态密度曲线密度曲线有很多分布还可以用正态分布近似有很多分布还可以用正态分布近似. 而正态分布自身还有很多良好的性质而正态分布自身还有很多良好的性质. 若影响某一数量指标的随机因素很多，若影响某一
7、数量指标的随机因素很多， 每一因素独立，每一因素独立， 服从正态分布服从正态分布,21)(222)( xexf若随机变量若随机变量 X N( ( , 2 ) )， 则则 正态分布的分布函数正态分布的分布函数X 的分布函数的分布函数 ,21)(222)(tdexFxt 下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布标准正态分布 x x = 0 , = 1 的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 (x) 和和 ( (x) )表示：表示：，tdexxt 2221)( ,21)(22xex )( x x
8、？ )( x xx x)(1x 可查表可查表得其值得其值sdexs 2221 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布可以通过线性变换转化为标准正态分布. . ts求求 P( (X 2. 5) )及及Y N( (0, 1) ) 设设 XN ( ( , 2 ) )， P(-(-1.64 X 2. 5) )= 1- ( (2. 5) ) P( (X 0. 5) )= F( (0. 5) ) 查表得查表得= 0. 6915 ; = 1 - - 0. 9938 = 0. 0062 ; P(-(-1.64 X
9、250) ) = 1- P( (X 250) ) = 1- ( (2. 32) ) )28185250(1 = 1- 0. 9898 = 0. 0102 . 再看一个应用正态分布的例子再看一个应用正态分布的例子上一讲我们已经看到，当上一讲我们已经看到，当 n 很大，很大，p 接近接近 0 或或 1 时，二项分布近时，二项分布近似泊松分布似泊松分布; 可以证明，如果可以证明，如果 n 很大，而很大，而 p 不接近于不接近于 0 或或 1 时，时， 二项分布近似于正态分布二项分布近似于正态分布. 例例8 8 公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在
10、0.01以以下来设计的下来设计的. .问门高度应如何确定问门高度应如何确定? ? 解解 设车门高度为设车门高度为 h cm, , 按设计要求应有按设计要求应有 P( (Xh) )0.01或或 P( (X 0. 99 ，,33. 26170 h h=170+13.98 184 . 设计车门高度为设计车门高度为184mm时，可使男子与车门顶碰头机会不超过时，可使男子与车门顶碰头机会不超过0.01.若若 XN( ( , 2 ) )时，时，要求满足要求满足 P( (X x0) )= p 的的 x0 ： P( (X x0) )= p px1)(0 0 x反反查查正正态态分分布布表表 0 x 已知已知19
11、87 年全国普通年全国普通高校统考物理成绩高校统考物理成绩XN(42,36)(42,36), ,这表明有这表明有16%的考生成绩超过的考生成绩超过48分，分， 如果某考生得如果某考生得4848分分, ,求有多求有多少考生名列该考生之前少考生名列该考生之前? ?例例9 ( (确定确定超前百分位数超前百分位数、排定名次、排定名次) )解解 由条件知即求由条件知即求 P( (X48) )， )64248(1)48( XP查表可知查表可知,84. 0)1( ,16. 0)48(XP即即84%的考生名列该考生之后的考生名列该考生之后.= 1-1- (1), (1), 即成绩高于甲的人数应占考生即成绩高于
12、甲的人数应占考生的的16.9%, ,对于录取考试人们最关心的是对于录取考试人们最关心的是 自己能否达到录取分数线？自己能否达到录取分数线？ 自己的名次？自己的名次？ 某公司招工某公司招工300300名名( (正式工正式工280280, ,临时临时工工2020名名),),例例10 ( (预测录取分数和考生名次预测录取分数和考生名次) ) 解解 设考生成绩为设考生成绩为X, ,最低分数线为最低分数线为 x0, ,2），（则则 NX)166360(1 166, , X N( (166, ,932 2) )，(1)(1)( (预测分数线预测分数线) ) 考后由媒体得知：考后由媒体得知：考试总平均成绩为
13、考试总平均成绩为166166分分, ,360360分以上的高分考生有分以上的高分考生有3131人人. . 考生甲得考生甲得256256分分, ,问他能否被录用？如录用能否被录为正式工？问他能否被录用？如录用能否被录为正式工？ 有有16571657人参加考试人参加考试, ,考试满分为考试满分为400400分分. .,9308. 2166360 高于此线的高于此线的考生频率为考生频率为 300 / 1657 1657300)(0 xXP 高于高于360分的考生频率为分的考生频率为165731(2)(2)( (预测甲的名次预测甲的名次) ) 当当 X=256 时时, P( (X256) )169.
14、0)93166256(1 这表明高于这表明高于256分的频率应为分的频率应为0.169, ,排在甲前应有排在甲前应有,280%9 .161657名甲大约排在甲大约排在281名名. 故甲能被录取故甲能被录取, ,但成为正式工的可能性不大但成为正式工的可能性不大.25191. 09316600 xx981. 0)166360( 019. 01657311657300)93166(10 x P( (X360) )类似计算可得，类似计算可得，= 0. 9974 )3()3( 例例11 设设 XN( ( , 2 ) )， 解解 求求 P(|(|X- - | | k ) ) k=1,2,3 . . P(|
15、(|X- - | | 3 ) ) = P( ( - - 3 X u ) ) = 的数的数 u 为为标准正态分布的标准正态分布的上侧上侧 分位数分位数；定义定义4 (P(P147.).)设设 XN(0(0 , 1 ) )， 0 u ) )= 1- P( (X u ) ) 称满足等式称满足等式 P(|(|X| |u /2 ) ) = 的数的数 u /2 为为标准正态分布的标准正态分布的双侧双侧 分位数分位数； ( (x) ) O x u ( (x) ) O x / 2 / 2-u /2u /2= ， = 1- ( (u ) ) ( (u ) )= 1- ， 可查表得值可查表得值类似可得类似可得 (
16、 (u /2 ) )= 1- /2 ， 若若 XN( ( , 2 ) )时，时，要求满足要求满足 P( (X x0 ) )= 的的 x0 ： ( (u ) )= 1- u uxux 00随机变量随机变量 X分布函数分布函数离散型离散型连续型连续型 分布列分布列 密度函数密度函数 复习复习 其图形是右连续的阶梯曲线其图形是右连续的阶梯曲线 xxkkpxF)(,)()( xtdtfxF其图形是连续曲线其图形是连续曲线 kkpxXP )( f (x) 常见的分布常见的分布 均匀分布、指数分布、正态分布均匀分布、指数分布、正态分布离散型离散型连续型连续型两点分布、二项分布、泊松分布两点分布、二项分布、
17、泊松分布超几何分布、几何分布超几何分布、几何分布x p(x)0 f (x)x0 特征特征非负非负 规范规范 至此，我们已介绍了两类重要的随机变量至此，我们已介绍了两类重要的随机变量: : 全部可能的取值全部可能的取值取值的概率分布取值的概率分布是判定一个函数是否为某随机变量是判定一个函数是否为某随机变量X的分布列或密度的充要条件的分布列或密度的充要条件.F( (X) )= P( (X x) ) P x1 X x2 = F( x2) - - F( x1) tdtfxx21)(在在 f (x)的连续点，的连续点，)()(xfxF 由于由于改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的改变被积函数在个别
18、点处的值不影响积分结果的性质性质, ,故可故可在在 没意义的点处任意规定没意义的点处任意规定 f (x) 的值的值.)(xF 0)(10 xf 1)(20dxxf是判定一个函数是判定一个函数 f (x)是否为某连续型是否为某连续型随机变量随机变量X 的概率密度的充要条件的概率密度的充要条件.P( ( X = x0 ) )= 0 P( (aX b) )= P( (a X b) )= P( (a Xb ) )= P( (aX b ) ) ,)( batdtf分布函数分布函数概率分布与分布函数的关系概率分布与分布函数的关系? ?分布函数的特征分布函数的特征 F( (x) )= P( (X x) )
19、;, 1)(0 xxFF(-(- ) )= 0， F(+(+ ) )= 1; F( (x) )是是 x 的非减函数的非减函数; P( (a a) ) = 1- F( (a) );. )()(lim00 xFxFxx 常见的离散型分布常见的离散型分布两点分布两点分布X (0(0 1)1) 二项分布二项分布X B( (n , p) ) 泊松分布泊松分布X P( ( ) ) 超几何分布超几何分布X H( (M, N, n ) )几何分布几何分布, 1 , 0)(nkqpCkXPknkkn , 2, 1, 0!)( kkekXPk X 0 1pk1- - p p只有两个互逆结果的只有两个互逆结果的 n
20、 次独立重复试验次独立重复试验 ( (n+1) )p 二项分布二项分布的逼近式的逼近式,min, 1 , 0)(nMLLkCCCkXPnNknMNkM ),10(, 2 , 1)1 ()(1 pkppkXPk无穷次伯努利无穷次伯努利实验实验中中A首次首次发生的试验次数发生的试验次数对含有两类元素的有限总体对含有两类元素的有限总体进行不放回抽样时进行不放回抽样时某类元素个数的概率分布某类元素个数的概率分布在一定时间内出现在一定时间内出现在空间给定区域的在空间给定区域的随机质点的个数随机质点的个数常见的连续型分布常见的连续型分布均匀分布均匀分布X U a, b 指数分布指数分布XE( ( ) )
21、正态分布正态分布XN( ( , 2 ) ) 描述在某区间上描述在某区间上具有等可能结果具有等可能结果的随机试验的随机试验 描述影响某一数量指标的描述影响某一数量指标的随机因素很多，每一因素随机因素很多，每一因素独立，独立，但每个因素所起但每个因素所起作用不大的随机试验作用不大的随机试验描述电子描述电子产品或动物寿命的分产品或动物寿命的分布布, , 各种随机服务系统的服务各种随机服务系统的服务时间、等待时间等时间、等待时间等 ,0;,1)(其其它它bxaabxf , 0,00)(xxexfx；， xexfx,21)(222)( X 在区间在区间 上取值上取值, 且取值且取值在在 中任意小区间内的
22、概率中任意小区间内的概率仅与小区间的长度成正比仅与小区间的长度成正比., 1, 0)(bxbxaabxaaxxFf (x)a bF(x)a b0,00,1)(xxexFx f (x)xo F (x)xo1 X 的的概率密度为概率密度为xexfx,21)(222)( 其中其中 和和 2 都是常数都是常数, , 任意任意, , 0正态分布正态分布 X N( ( , 2 ) )整个概率密度曲线都在整个概率密度曲线都在 x 轴的上方轴的上方以以为对称轴为对称轴在在 x=处达到最大值处达到最大值f ( x)以以 x 轴为渐近线轴为渐近线 x= 为为f ( x) 的两个拐点的横坐标的两个拐点的横坐标 21)(fxdtexFxt,21)(222)( 正态分布通过正态分布通过线性变换线性变换可转化为标准正态分布可转化为标准正态分布 ) 1, 0(),(2NXYNX xxtdexxt 2221)( )(1)(xx )()()( abbxaP3 准则准则最重要的正态分布最重要的正态分布标准正态分布标准正态分布X N( (0,1) )P( ( - - 3 X - - 3 ) )= 0.9974 )()( bbXPP59 2，3，4 5，6
