1、1一一. .联合分布函数与边缘分布函数联合分布函数与边缘分布函数1. 1. 定义定义3.3 3.3 对随机变量对随机变量(X,Y) 和任意的实数和任意的实数x, y, 定义二元函数定义二元函数( , ),F x yP Xx Yy称为二维随机变量的称为二维随机变量的联合分布函数联合分布函数. .xy(x,y)表示随机点落入以表示随机点落入以(x,y)为右为右上顶点的阴影部分的概率上顶点的阴影部分的概率.第二节第二节 二维连续型随机变量及其概率分布二维连续型随机变量及其概率分布2(, )0,Fy( ,)0,F x (,)0,F (,)1;F 0( , )1,F x y2. 联合分布函数的特征联合分
2、布函数的特征1). 固定固定x或或y,则则F对对y或或x是单调递增的是单调递增的;2).3). 对对x和和y分别是右连续的分别是右连续的;4).1212,xxyy22122111(,)-(,)-(,)(,)0F xyF x yF xyF x y1212x,0PXxyYy即即若函数若函数F满足以上四条满足以上四条,就可以作为二维随机变量就可以作为二维随机变量的联合分布函数的联合分布函数.3x1x2y1y2联合分布函数表示矩形域概率联合分布函数表示矩形域概率F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)1212x,=PXxyYy121222122111x,= (,)-(,)
3、-(,)(,)0PXxyYyF xyF x yF xyF x y43. 边缘分布函数边缘分布函数( ),( ,);XFxP Xx YF x( )().,YFyP XYyFy 由联合分布函数可以确定边缘分布函数由联合分布函数可以确定边缘分布函数, 反之反之, 一一般来说不可以般来说不可以. 反例请参看反例请参看3.2.5.可以证明可以证明 分别是一维的分布函数分别是一维的分布函数.( ),( )XYFx Fy5若存在若存在非负函数非负函数 f(x,y)，使得对任意实数使得对任意实数x，y，二元随机变量，二元随机变量( (X,Y) )的分布函数的分布函数F(x,y) 可表示成如下形式可表示成如下形
4、式( ,)( , )xyF x yf u v dudv 则称则称( (X,Y) )是二维连续型随机变量。是二维连续型随机变量。f(x,y) 称为称为二元随机变量二元随机变量(X,Y)的的联合联合概率密度函数概率密度函数. .二二. . 联合密度函数与边缘密度函数联合密度函数与边缘密度函数 1. 定义定义62.2.联合概率密度函数联合概率密度函数的性质的性质( ,)1.fx y dxdy( , )0;f x y 1)-2)为密度函数的特征为密度函数的特征.(,)1F 即即1). 非负性非负性2).7Dxy( , )f x y随机事件的概率随机事件的概率= =曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积; ; 点
5、和平面曲线对应的概率为点和平面曲线对应的概率为0. 0. 3. 二维连续型随机变量的分布函数与密度函数之间的二维连续型随机变量的分布函数与密度函数之间的关系关系2( , )( , ),F x yf x yx y 1). 对于对于(x,y)为为f 的连续点的连续点;( , )( , ).DPx yDf x y d2). 特别的特别的,22111212,( , ).xyxyP xyf x yxXxYydyd 84. 边缘密度函数边缘密度函数1). 定义定义( )( );xXXFxft dt( )( ).yYYFyft dt2). 边缘密度函数与联合密度函数的关系边缘密度函数与联合密度函数的关系(
6、)( ,).Yfyfx y dx( )( ,);Xfxfx y dy联合密度联合密度边缘密度边缘密度,反之不成立反之不成立.9(1). (1). 确定常数确定常数k ； (23 ), 0,0;( , ) 0, xyotherwisekexyf x y(, )X Y(2). (2). 求求的分布函数；的分布函数；04,01;PXY;P XY(4). (4). 求求设二维随机变量设二维随机变量(,)X Y的概率密度为的概率密度为例例(3). (5). 求边缘密度求边缘密度( ).Xfx1023 00 xykedxedy230011 23xykee6;k (1).(23 ) 0 0 xykedxdy
7、 116k ( , )f x y dxdy 所以所以 解解 (1). (1). 确定常数确定常数k ； 11( , )( , )xyF x yf u v dvdu (2).当当 或或 时，时，00 xy( , )0;F x y 当当 时，时，0,0 xy2300( , )6xyuvF x yedvdu 23(1)(1).xyee 所以，所以，23(1)(1), (0,0);( , ) 0, .xyeexyF x yotherwise (, )X Y(2). (2). 求求的分布函数；的分布函数；12 04, 01PXY(3). 1 4(23 ) 0 06xyedxdy 83(1)(1)0.95
8、ee4 1或解或解 04, 01PXY(4,1)(0,0)(4,0)(0,1)FFFF(4,1)F83(1)(1)0.95ee130,0 xyyx x0y( , )DP XYf x y dxdy(4).32310yyeedy35323310055yyedyedy ( , )x yf x y dxdy(23 )600 xyyedx dy22( )0,00.,xXxxfxe(5). 14例题例题1,例题例题4152 22 24 4例例 已知二维随机变量已知二维随机变量(X,Y)的分布密度为的分布密度为 1(6), 02,24,( , )8 0, xyxyf x yotherwise,求概率求概率
9、(1)1,3 ;(2)3 .P XYP XY解解(1). (1). 1,3( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8dxxy dy1 112320113(6);828yxyydx163( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8xdxxy dy1232011(6)82xyxyydx5.24(2). (2). x+y=3 17思考思考 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X,Y）的分布密度为）的分布密度为 1(6), 02,24,( , )8 0, ,xyxyf x yotherwise求概率求概率 41P XYX2 22 24 41 1解答解答 41P XYX4,
10、11P XYXP X241224121(6)81(6)8xdxxy dydxxy dy7 4873 818185.5.二维均匀分布二维均匀分布1,( , ),( , )0,.x yDf x yAotherwise1).1).定义定义 设二维随机变量设二维随机变量 (, )X Y的概率密度为的概率密度为 DA(, )X YD上服从均匀分布上服从均匀分布. .在在则称则称是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为 , ,其中其中19 例例 已知二维随机变量已知二维随机变量(X,Y)服从区域服从区域D上的上的均匀分布，均匀分布，D为为x轴，轴，y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角
11、形所围成的三角形区域。求（区域。求（1 1）分布函数；（）分布函数；（2 2） 1/ 2 .P Y 解解 (1). (1). (X,Y)的密度函数为的密度函数为 ( , ),F x yP Xx Yy（a a）当）当 时，时，12x ( , )0.F x y 分布函数为分布函数为 14, (0,021)( , )20, ,xyxf x yotherwisey=2x+1 -1/2 120y=2=2x+1 +1 -1/2 -1/2 （b b）当）当 时，时，102x0( , )0,yf x y时，( , )0F x y 所以，021yx 时，( , )4F x ydxdy梯形4221,2ySyx 梯
12、形21yx 时，( , )4F x ydxdy三角形2144.2Sx三角形21y=2x+1 -1/2 （c c）当）当 时，时，0 x 0( , )0,yf x y，( , )0F x y 所以，01y当时，( , )4F x ydxdy梯形4212ySy梯形1 ,y 当时( , )4F x ydxdy三角形41S三角形22所以，所求的分布函数为所以，所求的分布函数为 21 0, (0)21221 , (0,021)2211( , )4, (0,21)2221, (0,01)2 1, (0,1)xyyyxxyxF x yxxxyyyxyxy 或230.5y=2x+1 -1/2 12P Y4dx
13、dy梯形3.4(2). 2425练习题练习题26例题例题227练习题练习题28三三.条件密度函数条件密度函数定义定义,了解了解,不要求不要求.29四四.随机变量的独立性随机变量的独立性1. 定义定义.( , )( ).XYfx fxfyy ( , )X Y相互独立相互独立,如果如果二维连续型随机变量二维连续型随机变量( , )( ),XYFx FxFyy 容易得到容易得到此式对于一般的独立的二维随机变量也是对的此式对于一般的独立的二维随机变量也是对的.2.性质性质. 如果如果( , )X Y相互独立相互独立,则则12,BXYB(i).相互独立相互独立;(ii).11(),( )Xg XYh Y
14、也是相互独立的也是相互独立的.303132证明随机变量不是相互独立的证明随机变量不是相互独立的, 先求出边缘密度先求出边缘密度, 再验证再验证, 或者可以直接检查密度函数是否为变量分或者可以直接检查密度函数是否为变量分离的离的.33五五. .二维正态分布二维正态分布设二维随机变量设二维随机变量 (, )X Y的概率密度为的概率密度为 12222112222211221( , )21()()()()1exp22(1)f x yxxyy (,)xy 1212, 120,0, 11 其中其中均为参数均为参数 则称则称 (, )X Y服从参数为服从参数为 1212, 的的二维正态分布二维正态分布 221212(, )N 34性质性质第六目第六目,自行阅读自行阅读,考试不要求考试不要求.
