1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十 三 单元 椭圆、双曲线、抛物线 教材复习课 “ 椭圆、双曲线、抛物线 ” 相关基础知识一课过 椭圆 过双基 1 椭圆的定义 平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于常数 (大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆 这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 集合 P M|MF1| |MF2| 2a， |F1F2| 2c，其中 a0， c0，且 a， c 为常数： (1)当 2a |F1F2|时， P 点的轨迹是椭圆； (2)当 2a |F1F2|时， P 点的轨迹是线段； (3)当 2a |F1F2|时， P 点不存在 2椭圆的标准
2、方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b2 1(a b 0) x2b2y2a2 1(a b 0) 图形 性质 范围 b y b a y a a x a， b x b， 对称性 对称轴： 坐标轴 ，对称中心： (0,0) 顶点 A1( a,0)， A2(a,0)， B1(0， b)， B2(0， b) A1(0， a)， A2(0， a)， B1( b,0)， B2(b,0) 轴 长轴 A1A2的长为 2a，短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2| 2c 离心率 e ca， e (0,1) a， b， c的关系 c2 a2 b2 小题速通 1 (2017 浙江高考 )椭圆 x29y24 1
3、 的离心率是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. 133 B. 53 C.23 D.59 解析：选 B 根据题意知， a 3， b 2，则 c a2 b2 5， 椭圆的离心率 e ca 53 . 2在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 上的点 A， C 的坐标分别为 ( 4,0)， (4,0)，若点 B在椭圆 x225y29 1 上，则sin A sin CA C ( ) A.43 B.53 C.45 D.54 解析：选 D 由椭圆 x225y29 1，得椭圆的半焦距为 4， 则 A( 4,0)和 C(4,0)为椭圆 x225y29 1 的两个焦点 点 B 在椭圆 x225y29
4、 1 上， 作出示意图如图所示， sin A sin CA C sin A sin Csin B 2a2c 54. 3已知椭圆 x225y2m2 1(m 0)的焦距为 8，则 m 的值为 ( ) A 3 或 41 B 3 C. 41 D 3 或 41 解析：选 A 当 m 5 时，焦点在 x 轴上，焦距 2c 8，则 c 4， 由 25 m2 16，得 m 3； 当 m 5 时，焦点在 y 轴上，焦距 2c 8，则 c 4， 由 m2 25 16，得 m 41， 故 m 的值为 3 或 41. 4若焦点在 x 轴上的椭圆 x22y2m 1 的离心率为12，则 m _. 解析：因为焦点在 x 轴
5、上，所以 0 m 2， 所以 a2 2， b2 m， c2 a2 b2 2 m. 因为椭圆的离心率为 e 12， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 e2 14 c2a22 m2 ，解得 m32. 答案： 32 清易错 1求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为 x2a2y2b2 1(a b 0) 2注意椭圆的范围，在设椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)上点的坐标为 P(x， y)时， |x| a，|y| b，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因 1已知椭 圆 x29y24 k 1 的离心率为45，则 k 的值为 ( ) A
6、 21 B 21 C 1925或 21 D.1925或 21 解析：选 D 当 9 4 k 0，即 50， c0. (1)当 2a|F1F2|时， P 点不存在 2标准方程 (1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)； (2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 y2a2x2b2 1(a0， b0) 3双曲线的性质 标准方程 x2a2y2b2 1(a0， b0) y2a2x2b2 1(a0， b0) 图形 性质 范围 x a 或 x a， y R y a 或 y a， x R 对称性 对称轴： 坐标轴 ，对称中心： 原点 顶
7、点 A1( a,0)， A2(a,0) A1(0， a)， A2(0， a) 渐近线 y bax y abx =【 ;精品教育资源文库 】 = 离心率 e ca， e (1， ) a， b， c 的关系 c2 a2 b2 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长 |A1A2| 2a； 线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2| 2b； a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长 小题速通 1 (2017 天津高考 )已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点 为 F，点 A 在双曲线的渐近线上， OAF 是边长为 2 的等边三角形 (O 为原点 )，
8、则双曲线的方程为 ( ) A.x24y212 1 B.x212y24 1 C.x23 y2 1 D x2 y23 1 解析：选 D 由 OAF 是边长为 2 的等边三角形可知， c 2， ba tan 60 3.又 c2a2 b2，联立可得 a 1， b 3， 双曲线的方程为 x2 y23 1. 2已知双曲线过点 (2,3)，其中一条渐近线方程为 y 3x，则双曲线的标准方程是 ( ) A.7x216y212 1 B.y23x22 1 C x2 y23 1 D.3y223x223 1 解析：选 C 由双曲线的一条渐近线方程为 y 3x， 可设其方程为 y23 x2 ( 0) 又双曲线过点 (2
9、,3), 则 323 22 ， 解得 1， 所以双曲线的方程为 y23 x2 1，即 x2 y23 1. 3 (2018 张掖一诊 )如图， F1， F2 分别是双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点 B， A.若 ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为 ( ) A. 7 B 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.2 33 D. 3 解析：选 A 依题意得 |AB| |AF2| |BF2|，结合双曲线的定义可得 |BF1| 2a， |BF2|4a， |F1F2| 2c，因为 ABF2为等边三角形，所以 F1BF2
10、120 ，由余弦定理，可得 4a2 16a2 22 a4 a 12 4c2，整理得 ca 7，故选 A. 4已知 F 为双曲线 C： x29y216 1 的左焦点， P， Q 为 C 上的点若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则 PQF 的周长为 _ 解析：由题意得， |FP| |PA| 6， |FQ| |QA| 6，两式相加，利用双曲线的定义得 |FP| |FQ| 28，所以 PQF 的周长为 |FP| |FQ| |PQ| 44. 答案： 44 清易错 1注意区分双曲线中的 a， b， c 大小关系与椭圆中的 a， b， c 关系，在椭圆中 a2 b2 c2
11、，而在双曲线中 c2 a2 b2. 2易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在 x 轴上，渐近线斜率为 ba，当焦点在 y 轴上，渐近线斜率为 ab. 1双曲线 x236 m2y2m2 1(0 m 3)的焦距为 ( ) A 6 B 12 C 36 D 2 36 2m2 解析：选 B c2 36 m2 m2 36， c 6， 双曲线的焦距为 12. 2已知直线 l： 4x 3y 20 0 经过双曲线 C： x2a2y2b2 1 的一个焦点，且与双曲线 C 的一条渐近线平行，则双曲线 C 的实轴长为 ( ) A 3 B 4 C 6 D 8 解析：选 C 双曲线 C： x2a2y2b2 1
12、的焦点在 x 轴上，直线 l： 4x 3y 20 0 与 x 轴的交点为 (5,0) a2 b2 c2 25. 直线 l： 4x 3y 20 0 与双曲线 C： x2a2y2b2 1 的一条渐近线平行， ba43. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 解得 a 3， 双曲线 C 的实轴长为 2a 6. 抛物线 过双基 1 抛物线的定义 平面 内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的 焦点 ，直线 l 叫做抛物线的 准线 2抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2 2px(p 0) y2 2px(p0) x2 2py(p0)
13、 x2 2py(p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y 0 x 0 焦点 F? ?p2， 0 F? ? p2， 0 F? ?0， p2 F? ?0， p2 离心率 e 1 准线方程 x p2 x p2 y p2 y p2 范围 x0 ， y R x0 ， y R y0 ， x R y0 ， x R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P(x0， y0) |PF| x0 p2 |PF| x0 p2 |PF| y0 p2 |PF| y0 p2 小题速通 1已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线 x213y212 1 的右焦点，则此抛物线的
14、方程为( ) A y2 2x B y2 4x C y2 10x D y2 20x 解析：选 D 双曲线 x213y212 1 的右焦点为 (5,0) ， 由题意，设抛物线方程为 y2 2px(p 0) ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 抛物线的焦点为双曲线 x213y212 1 的右焦点， p2 5， p 10， 抛物线方程为 y2 20x. 2若抛物线 y 4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 ( ) A.1716 B.1516 C.78 D 0 解析：选 B 点 M 到准线的距离 等于点 M 到焦点的距离，又准线方程为 y 116，设 M(x，y)，则 y 11
15、6 1， 故 y 1516. 3若点 P 为抛物线 y 2x2上的动点， F 为抛物线的焦点，则 |PF|的最小值为 ( ) A 2 B.12 C.14 D.18 解析：选 D 设点 P 到准线的距离为 d，则有 |PF| d， 又抛物线的方程为 y 2x2，即 x2 12y, 则其准线方程为 y 18， 所以当点 P 在抛物线的顶点时， d 有最小值 18， 即 |PF|的最小值为 18. 4已知抛物线 y2 6x 上的一点到焦点的距离是到 y 轴距离的 2 倍，则该点的横坐标为_ 解析：可知抛物线 y2 6x 的焦点 F? ?32， 0 ，设 P(x， y)， x 0. 由抛物线的定义，得点 P 到焦点的距离 d1 x p2 x 32， 点 P 到 y 轴的距离 d2 x. 由 x 32 2x，解得 x 32， 该点的横坐标为 32. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 32 清易错 1抛物线的定义中易忽视 “ 定点不在定直线上 ” 这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线 2抛物线标准方程中的参数 p，易忽视只有 p 0 才能证明其几何意义是
