1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 三十 数列的概念与简单表示法 一、选择题 (每小题 5分 ,共 35分 ) 1.已知数列的前 4项为 2,0,2,0,则归纳该数列的通项不可能是 ( ) A.an=(-1)n-1+1 B.an= C.an=2sin D.an=cos(n-1) +1 【解析】 选 C.对于 C,当 n=3时 ,sin =-1,则 a3=-2,与题意不符 . 2.已知数列 , ,2 , ,? ,则 2 是这个数列的 ( ) A.第 6项 B.第 7项 C.第 19 项 D.第 11 项 【解析】 选 B.数列即 : , , , ,? ,据此可得数列的通项公式为 :a
2、n= ,由=2 ,解得 :n=7,即 2 是这个数列的第 7项 . 3.设数列 an满足 a1=1,a2=3,且 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则 a20的值是 ( ) A.4 B.4 C.4 D.4 【解析】 选 D.由题知 :an+1= , =【 ;精品教育资源文库 】 = a3= = ,a4= =4,a5= = ,a6= = ,故 an= ,所以 a20= = =4 . 【 变式备选】 数列 an满足 :a1=1,且当 n 2时 ,an= an-1,则 a5= ( ) A. B. C.5 D.6 【解析】 选 A.因为 a1=1,且当 n 2时 ,an= an-1,则
3、 = ,所以a5= a1= 1= . 4.(2018西安模拟 )设数列 an的前 n 项和 Sn=n2,则 a8的值为 ( ) A.15 B.16 C.49 D.64 【解析】 选 A.a8=S8-S7=82-72=15. 5.(2018银川模拟 )已知数列 an的通项公式是 an=n2+kn+2,若对所有的 n N*,都有 an+1an成立 ,则实数 k的取值范围是 ( ) A.(0,+) B.(-1,+) C.(-2,+) D.(-3,+) 【解析】 选 D.an+1an,即 (n+1)2+k(n+1)+2n2+kn+2,则 k-(2n+1)对所有的 n N*都成立 , 而当 n=1时 ,
4、-(2n+1)取得最大值 -3,所以 k-3. 6.(2018北京模拟 )数列 an满足 an+1(an-1-an)=an-1(an-an+1),若 a1=2,a2=1,则 a20= ( ) A. B. C. D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解题指南】 数列 an满足 an+1(an-1-an)=an-1(an-an+1),展开化为 + = ,利用等差数列的通项公式得出 . 【解析】 选 C.数列 an满足 an+1(an-1-an) =an-1(an-an+1), 展开化为 + = . 所以数列 是等差数列 ,公差为 - = ,首项为 . 所以 = + 19=10,解得 a20=
5、. 7.(2018黄冈模拟 )已知数列 an的前 n项和 Sn=n2-2n+2,则数列 an的通项公式为 ( ) A.an=2n-3 B.an=2n+3 C.an= D.an= 【解析】 选 C.当 n=1时 ,a1=S1=1;当 n 2时 ,an=Sn-Sn-1=2n-3,由于 n=1时 a1的值不适合 n 2的解析式 ,故通项公式为 an= 【巧思妙解】 选 C.当 n=1时 ,a1=S1=1,A、 B选项不合题意 .又 a2=S2-a1=1,所以 D选项不合题意 . 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 8.(2018长沙模拟 )在数列 an中 ,a1=1,an+1=(-1)n(
6、an+1),记 Sn为 an的前 n项和 ,则 S2 018=_ _. 【解析】 因为数列 an满足 a1=1,an+1=(-1)n(an+1), 所以 a2=-(1+1)=-2, a3=-2+1=-1,a4=-(-1+1)=0,a5=0+1=1,a6=-(1+1)=-2,a7=-2+1=-1,? ,所以 an是以 4为周期的周期数列 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 2 018=504 4+2,所以 S2 018=504 (1-2-1+0)+1-2=-1 009. 答案 :-1 009 9.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数 .他们研究过如图所示的三
7、角形数 : 将三角形数 1,3,6,10,?记为数列 an,则数列 an的通项公式为 _. 【解析】 由题干图可 知 ,an+1-an=n+1,a1=1,由累加法可得 an= . 答案 :an= 10.(2018合肥模拟 )已知数列 an的前 n项和 Sn=3-32 n,n N*,则 an=_. 【解析】 (1)当 n=1时 ,a1=S1=3-3 21=-3. (2)当 n 2时 ,an=Sn-Sn-1=(3-3 2n)-(3-3 2n-1)=-3 2n-1. 当 n=1时也符合上式 , 综合 (1)(2),得 an=-3 2n-1. 答案 :-3 2n-1 1.(5分 )(2018衡水模拟
8、)数列 an满足 a1=2,an+1= (an0),则 an= ( ) A. B.2n-1 C.4n-1 D.2n 【解析】 选 A.因为数列 an满足 a1=2,an+1= (an0),所以 log2an+1=2log2an? =2,所以 log2an是公比为 2的等比数列 ,所以 log2an=log2a1 2n-1?an= . 2.(5分 )若数列 an是正项数列 ,且 + +? + =n2+n,则 a1+ +? + 等于 =【 ;精品教育资源文库 】 = ( ) A.2n2+2n B.n2+2n C.2n2+n D.2(n2+2n) 【解析】 选 A.因为 + +? + =n2+n,
9、所以 n=1时 , =2,解得 a1=4, n 2时 , + +? + =(n-1)2+n-1, 相减可得 =2n,所以 an=4n2,n=1时也成立 , 所以 =4n. 则 a1+ +? + =4(1+2+? +n)=4 =2n2+2n. 3.(5分 )(2018郑州模拟 )意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例 ,引入“兔子数列” : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,? ,即 F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+ F(n-2)(n 3,n N*),此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用 ,若此数列被 3整除后的余数构成
10、一个新数列 bn,则 b2 018=_. 【解析】 由题意得 ,引入“兔子数列” :1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,? .此数列被 3整除后的余数构成一个新数列为 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2, 2,1,0,?构成以 8为周期的周期数列 ,所以 b2 018=b2=1. 答案 :1 4.(12分 )(2018泰安模拟 )设数列 an的 前 n项和为 Sn,数列 Sn的前 n项和为 Tn,Tn满足 Tn=2Sn-n2,n N*. (1)求 a1的值 . (2)求数列 an的通项公式 . 【解析】 (1)当 n=1时 ,T1=2S1-1,
11、 因为 T1=S1=a1,所以 a1=2a1-1,所以 a1=1. (2)当 n 2时 ,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2, 则 Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-2Sn-1-(n-1)2 =2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1, 因为当 n=1时 ,a1=S1=1 也满足上式 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 Sn=2an-2n+1(n 1), 当 n 2时 ,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1, 两式相减得 an=2an-2an-1-2, 所以 an=2an-1+2(n 2), 所以 an+2=2(an-1+2), 因为 a1+2=3 0, 所以数列 an+2
12、是以 3为首项 ,2 为公比的等比数列 . 所以 an+2=3 2n-1, 所以 an=3 2n-1-2, 当 n=1时也成立 , 所以 an=3 2n-1-2(n N*). 5.(13分 )(2018 银川模拟 )已知函数 f(x)=2x-2-x,数列 an满足 f(log2an)=-2n. (1)求数列 an的通项 公式 . (2)证明 :数列 an是递减数列 . 【解析】 (1)因为 f(x)=2x- ,f(log2an)=-2n, 所以 an- =-2n, 所以 +2nan-1=0,解得 an=-n , 因为 an0,所以 an= -n,n N*. (2) = = 0,所以 an+1an,所以数列 an是递减数列 .