1、6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例一、教学目标 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力二、教学重点 能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题教学难点 能将实际问题转化为解三角形问题三、教学过程1、情境引入探究1：如图所示， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离探究2：1671年，两个法国天文学家测出了地球与月球之间的距离大约为385 400 km，他们是怎样测出两者之间距离的呢？由此提出本节课解决的问题应用余弦定理、正弦定理解决实际问题
2、2、探索新知1）基线的概念在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线选择原则在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越高探究1分析：为了测定河对岸两点A，B间的距离，在岸边选定a公里长的基线CD，并测得 BCA=、ACD=、CDB=、BDA=， 求A，B两点的距离在ADC和BDC中，应用正弦定理得于是，在ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离探究2分析：如图，早在1671年，两位法国天文学家为了测 量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林（点A）与好望角（点B）为基点，测量出，的大小，并计算出两地之间的距离AB，
3、进而算出了地球与月球之间的距离约为385 400 km我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴【例1】如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，求A、B两个中继站的距离解：由题意可得，在中，由正弦定理得 在中，由正弦定理得在中，由余弦定理得所以方法规律：解决三角形中与距离有关问题的求解策略：解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解 2）测量中的有关角的概念 仰角和俯角：如下图所示，与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰
4、角，目标视线在水平视线下方时叫俯角方向角：如下图所示，从指定方向线到目标方向线所成的水平角如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60探究3：如何测量（底部不可到达）高度的问题？【例2】如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度解：选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上，在G,H两点用测角仪测得A的仰角分别为，测角仪的高度为h，那么在中由正弦定理得所以，这座建筑物的高度为方法规律：解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形(3)求解：运用正、
5、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用探究4：如何测量角度的问题？【例3】位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30，且与甲船相距7 n mile 的C处的乙船那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？解：根据题意，画出示意图由余弦定理，得于是 由正弦定理，得，于是 由于，所以因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东
6、，大约需要航行24 n mile方法规律：解决有关测量角度的实际问题时应注意的问题：(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题四、课堂练习P51 练习1、A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA7 km，CB5 km，C60，则A，B两点之间的距离为 km2、如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高
7、是(D)A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m3、甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解：如图所示.设经过t小时两船在C点相遇则在ABC中，BCat海里，ACat海里B9030120由正弦定理得 即sinCAB0CAB60，CAB30DAC603030甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇五、课堂小结正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解六、课后作业习题6.4 8、9七、课后反思
