1、第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率1010. .3 3 频率与概率频率与概率第十章 概率10.3.2 随机模拟第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件随机事件A A发生的频率具有发生的频率具有随机性随机性. . 一般地，一般地，随着试验次数随着试验次数n n的的增大增大，频率偏离，频率偏离概率的幅度会概率的幅度会缩小缩小，即事件，即事件A A发生的频率发生的频率fn(A)fn(A)会逐渐会逐渐稳定于稳定于事件事件A A发发生的生的概率概率P(A)P(A). .我们称频率的这个性质
2、为我们称频率的这个性质为频率的稳定性频率的稳定性. .因此，我们因此，我们可以用频率可以用频率f fn n(A)(A)大数定律阐述了随着试验次教估计概率大数定律阐述了随着试验次教估计概率P(A).P(A).复习回顾思考思考：用频率估计概率用频率估计概率, ,需要做大量的重复试验需要做大量的重复试验. .有没有其有没有其他方法可以替代试验呢他方法可以替代试验呢? ?第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数. .实际上，实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样我们也可以根据不
3、同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了就可以快速地进行大量重复试验了. . 又如，一个袋中装有又如，一个袋中装有2 2个红球和个红球和3 3个白球个白球, ,这些球除颜色不同外这些球除颜色不同外没有其他差别没有其他差别. . 对于从袋中摸出一个球的试验对于从袋中摸出一个球的试验, ,我们可以让计算器我们可以让计算器或计算机产生取值于集合或计算机产生取值于集合11，2 2，3 3，4 4，55的随机数，用的随机数，用1 1、2 2表示表示红球，用红球，用3 3、4 4、5 5表示白球表示白球. . 这样不断产生这样不断产生1 15 5之间的整数随机数，之间的整数
4、随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验相当于不断地做从袋中摸球的试验. . 例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合或计算机产生取值于集合00，1 1 的随机数，用的随机数，用0 0表示反面朝上，用表示反面朝上，用1 1表示正面朝上表示正面朝上. .这样不断产生这样不断产生0 0、1 1两个随机数，相当于不断地做抛两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验掷硬币的试验. .第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果
5、，其中n n为试为试验次数，验次数，n nA A为摸到红球的频数，为摸到红球的频数，f fn n(A)(A)为摸到红球的频率为摸到红球的频率. .n n101020205050100100150150200200250250300300n nA A6 67 72020454566667777104104116116f fn n(A)(A)0.60.60.350.350.40.40.450.450.440.44 0.3850.385 0.4160.416 0.390.39fnn102050100150200250300 利用随机利用随机模拟解决问题模拟解决问题的方法为的方法为蒙特蒙特卡洛方法卡洛
6、方法. .第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率例1 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设 出生在一月，二月，十二月是等可能的.设事件A =“至少 有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计 事件A发生的概率. 根据假设，每个人的出生月份在根据假设，每个人的出生月份在1212个月中是等可能的，而且相互之间没个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察有影响，所以观察6 6个人的出生月份可以看成可重复试验个人的出生月份可以看成可重复试验. . 因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装
7、入编号为1 1，2 2，1212的的1212个球，这些球除编号外没有什么差别个球，这些球除编号外没有什么差别. .有放回地随机从袋中摸有放回地随机从袋中摸6 6次球，得到次球，得到6 6个数代表个数代表6 6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验. .如果这如果这6 6个数中至少有个数中至少有2 2个相同，表示事件个相同，表示事件A A发生了发生了. . 重复以上模拟试验重复以上模拟试验2020次，就可次，就可以统计出事件以统计出事件A A发生的频率发生的频率. .方法方法1 1第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率例1 从你所在班级任意选出6名同学
8、，调查他们的出生月份，假设 出生在一月，二月，十二月是等可能的.设事件A =“至少 有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计 事件A发生的概率. 利用电子表格软件模拟试验利用电子表格软件模拟试验. . 在在A1A1、B1B1、C1C1、D1D1、E1E1、F1F1单元格分别输单元格分别输人人“=RANDBETWEEN (1,12)”“=RANDBETWEEN (1,12)”，得到，得到6 6个数，代表个数，代表6 6个人的出生月份，完成一个人的出生月份，完成一次模拟试验次模拟试验. .选中选中A1A1、B1B1、C1C1、D1D1、E1E1、F1F1单元格，将鼠标指向右下角的黑
9、单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第点，按住鼠标左键拖动到第2020行，相当于做行，相当于做2020次重复试验次重复试验. . 统计其中有相同统计其中有相同数的频率，得到事件数的频率，得到事件A A的概率的估计值的概率的估计值. .方法方法2 2第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 下表是下表是2020次模拟试验的结果次模拟试验的结果. . 事件事件A A发生了发生了1414次，事件次，事件A A的概率估计的概率估计值为值为0.70.75 5，与事件，与事件A A的概率的概率( (约约0.78)0.78)相差不大相差不大. .第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率
10、例2 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决 赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4.利 用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.解解: :设事件设事件A=“A=“甲获得冠军甲获得冠军”，事件，事件B=“B=“单局比赛甲胜单局比赛甲胜”，则，则P(B)=0.6.P(B)=0.6. 用计用计算器或计算机产生算器或计算机产生1 15 5之间的随机数，当出现随机数之间的随机数，当出现随机数1 1、2 2或或3 3时时, ,表表示一局比赛甲获胜，其概率为示一局比赛甲获胜，其概率为0.6. 0.6. 由于要比赛由于要比赛3 3局局, ,所以每所以每3 3个随机数为一组
11、个随机数为一组. . 例如，产生例如，产生2020组随机数组随机数: :423 123 423 344 114 453 525 332 152 342423 123 423 344 114 453 525 332 152 342534 443 512 541 125 432 334 151 314 354534 443 512 541 125 432 334 151 314 354相当于做了相当于做了2020次重复试验次重复试验. .其中事件其中事件A A发生了发生了1313次次, ,对应的数组分别是对应的数组分别是 423423, ,123123, ,423423, ,114114, ,33
12、2332, ,152152, ,342342, ,512,125512,125, ,432432, ,334334, ,151151, ,314314用频率估计事件用频率估计事件A A的概率的近似为的概率的近似为= =0.650.65. .20201313第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率1掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组()A1B2C9D122下列不能产生随机数的是下列不能产生随机数的是()A抛掷骰子试验抛掷骰子试验B抛硬抛硬币币
13、C计算器计算器D正方体的六个面上分别写有正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该，抛掷该正方体正方体BD课堂检测第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率3已知某运动员每次投篮命中的概率都为已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生器产生0到到9之间取整数值的随机数，指定之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次
14、投篮的结果经随机模拟产生了如下的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为次命中的概率为() A0.35 B0.25 C0.20 D0.15B第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 4. 一个袋中有一个袋中有7个大小、形状相同的小球，个大小、形状相同的小球，6个白球，个白球，1个红球，个红球，现任取现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接个，若为红球就停止，若为白球就放
15、回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率 解解 用用1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6表示白球，表示白球，7 7表示红球，利用计算器或计算机产生表示红球，利用计算器或计算机产生1 1到到7 7之间之间( (包括包括1 1和和7)7)取整数值的随机数因为要求恰好第三次摸到红球的概取整数值的随机数因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组如下，产生率，所以每三个随机数作为一组如下，产生2020组随机数：组随机数：6666667437436716714644645715715615611561
16、56567567732732375375716716116116614614445445117117573573552552274274114114662662就相当于做了就相当于做了2020次试验，在这些数组中，前两个数字不是次试验，在这些数组中，前两个数字不是7 7，第三个数字恰好是第三个数字恰好是7 7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是红球，它们分别是567567和和117117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为0.1.0.1.第十章第十章 概率概率第十章第十章
17、 概率概率在设计随机模拟试验时，注意以下两点：在设计随机模拟试验时，注意以下两点：(1)要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地模拟随机事件模拟随机事件(2)注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生规律方法第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 5. 种植某种树苗，成活率为种植某种树苗，成活率为0.9，请采用随机模拟的方法估计该，请采用随机模拟的方法估计该树苗种植树苗种植5棵恰好棵恰好4棵成活的概率写出模拟试验的过程，并求棵成活的概率写出模拟试验的过程，并求出所求概率出所求概率解解：先
18、由计算机随机函数：先由计算机随机函数RANDBETWEEN(0,9)RANDBETWEEN(0,9)，或计算器的随机函数，或计算器的随机函数RANDI(0,9)RANDI(0,9)产生产生0 0到到9 9之间取整数值的随机数，指定之间取整数值的随机数，指定1 1至至9 9的数字代表成活，的数字代表成活，0 0代表不成活，再以每代表不成活，再以每5 5个个随机数为一组代表随机数为一组代表5 5次种植的结果，经随机模拟产生随机数，例如，如下次种植的结果，经随机模拟产生随机数，例如，如下3030组随机数：组随机数：6980169801660976609777124771242296122961742
19、357423531516 2974731516 29747249452494557558575586525865258741307413023224 3744523224 37445443444434433315333152712027120217822178258555 6101758555 61017452414524144134441349220192201703627036283005 9497683005 9497656173561733478334783166241662430344303440111701117这就这就相当于做了相当于做了3030次试验，在这些数组中，如果恰有一个
20、次试验，在这些数组中，如果恰有一个0 0，则表示恰有，则表示恰有4 4棵成活，共有棵成活，共有9 9组这样的数，于是我们得到种植组这样的数，于是我们得到种植5 5棵这样的树苗恰有棵这样的树苗恰有4 4棵成活的概率近似为棵成活的概率近似为0.3.0.3.第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率6甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率先利用计算器或计算机生成胜的概率先利用计算器或计算机生成0到到9之间取整数值的随
21、机之间取整数值的随机数，用数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一个随机数作为一组例如，产生组例如，产生30组随机数：组随机数：034 743 738 636 964 736 614 698 637 162332 616 804 560 111 410 959 774 246 762428 114 572 042 533 237 322 707 360 751据此估计乙获胜的概率约为据此估计乙获胜的概率约为 0. 367第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率1随机模拟试验的步骤：随机模拟试验的步骤：(1)设计概率模型；设计概率模型；(2)进行模拟试验；进行模拟试验；(3)统计试验结果统计试验结果2计算器和计算机产生随机数的方法：构建模拟试验产计算器和计算机产生随机数的方法：构建模拟试验产生随机数或计算机的随机函数生随机数或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)，可，可以产生从整数以产生从整数a到整数到整数b的取整数值的随机数的取整数值的随机数课堂小结第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率作业：
