1、期末复习专题训练24动点问题(2)一、单选题1如图在正四棱锥中，是的中点，点在侧面内及其边界上运动，并且总是保持，则动点的轨迹与组成的相关图形是ABCD2如图，定点和都在平面内，定点，是平面内异于和的动点，且，则为A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D无法确定3如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A平面平面BC三棱锥的体积为定值D的取值范围是4在正四棱锥中，点是的中点，动点在侧面内运动，且总有，则动点的轨迹是A的中点B点与中点的连线C线段D的中点与的中点的连线5在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是ABCD6如图，三棱柱中，为中点，为上
2、一点，为平面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为A1BCD27直四棱柱的所有棱长均相等，是上一动点，当取得最小值时，直线与所成角的余弦值为ABCD8在正方体中，已知，分别为，的中点，为平面内任一点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为ABCD1二、 多选题9如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是A三棱锥的体积不变B直线与平面所成角的大小不变C直线与直线所成角的大小不变D二面角的大小不变10如图，点、分别是正四面体棱、上的点，设，直线与直线所成的角为，则A当时，随着的增大而增大B当时，随着的增大而减小C当时，随着的增大而减小D当时，随着的增大而增大11如图，已知，是相互垂直的两条异面
3、直线，直线与，均相互垂直，且，动点，分别位于直线，上，若直线与所成的角，线段的中点为，下列说法正确的是A的长度为B的长度不是定值C点的轨迹是圆D三棱锥的体积为定值12如图，在正方体中，点，分别是棱，上异于端点的两个动点，且，则下列说法正确的是A三棱锥的体积为定值B对于任意位置的点，平面与平面所成的交线均为平行关系C的最小值为D对于任意位置的点，均有平面平面三、 填空题13如图，在正四棱锥中，分别是，的中点，动点的线段上运动时，下列四个结论：； ；平面； 平面恒成立的是 （把正确的序号都填上）14如图，平面，为中点，点为平面内动点，且到直线的距离为，则的最大值为15如图，已知棱长为2的正方体中，
4、点在线段上运动，给出下列结论：异面直线与所成的角范围为；平面平面；点到平面的距离为定值；存在一点，使得直线与平面所成的角为其中正确的结论是16如图，在三棱锥中，平面，为线段的中点，为侧棱上一动点若，则异面直线与所成角的余弦值为；当的面积最小时，期末复习专题训练24动点问题(2) 答案1解：取中点，又在面内的射影为且，取中点，又，面，因此点在上移动时总有故选：2解：是直角三角形，说明如下；，；又，；又，平面；又平面，；是直角三角形故选：3解：平面，平面平面，正确；由对角面，可得，因此正确；三棱锥的体积三棱锥的体积，底面积为的面积为定值，高为为定值，因此体积为定值，正确；取点为点中点时，不妨设，则
5、，可得，其取值范围是，因此不正确故选：4解：设、交于点，的中点为，的中点为，连接、，、是平面内的相交直线平面，可得是的中位线，可得，又正方形中，、分别为、的中点，、是平面内的相交直线，平面，因此不论在线段的何处总有，即动点的轨迹是的中点与的中点的连线故选：5解：因为，所以与所成的角可转化为与所成的角，因为是正三角形，可知当点与点重合时所成的角为，因为不能与重合，若重合，此时与平行而不是异面直线，所以异面直线与所成角的取值范围是故选：6解：由题意得，在上取点，使，则且，所以四边形是平行四边形，所以在上取点，使，则，所以又，所以平面平面，所以点的轨迹就是线段，在中，由余弦定理得，故选：7解：如图，
6、设直四棱柱的棱长为2，当取得最小值时，为的中点，连接，则，则为直线与所成角，此时，为等边三角形，得，则为等腰三角形，可得故选：8解：如图，若取最大值，则取最小值，为平面内任一点，由直线与平面所成角的定义可知，直线与平面所成角为直线与平面内所有直线所成角的最小角，的最小值为直线与平面所成角，如图所示，取为的中点，可知为在平面内的射影，设正方体的棱长为2，可得，则，从而得到，即的最大值为故选：9解：对于，因为平面，所以上任意一点到平面的距离相等，所以体积不变，故选项正确；对于，点在直线上运动时，直线与平面所成的角和直线与平面所成的角不相等，故选项错误；对于，因为平面,所以点在直线上运动时，直线与直
7、线所成的角的大小不变，故选项正确；对于，当点在直线上运动时，的轨迹是平面,即二面角的大小不受影响，故选项正确故选：10解：当时，如图，作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即，从图中可以看出，随着的增大，逐渐增大，所以随着的增大而增大，故选项正确，选项错误；当时，如图，作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线与所成的角，即，从图中可以看出，随着的增大，逐渐减小，所以随着的增大而减小，故选项正确，选项错误故选：11解：过点作于点，连接，如图所示：则，故，故正确；不正确；设的中点为，易得，且，则有，设的中点为，连接，易得四边形为平行四边形，故，即点到平面的距离为定值，可得点的轨迹
8、为圆，故正确；当点与点重合时，三棱锥体转换为三角形，其体积为0，而当点与点不重合时，且点与点不重合时，其体积显然不为0，故错误，故选：12解：对于，面积不定，而到平面的距离为定值，不是定值，故错误；对于，由于平面，则经过直线的平面与的所有交线均与平行，根据平行的传递性，可得所有的交线也平行，故正确；对于，设正方体棱长为1，则，则，故错误；对于，由题意得直线与平面垂直，对于任意位置的点，均有平面平面，故正确故选：13解：如图所示，连接、相交于点，连接，在中：由正四棱锥，可得底面，平面，分别是，的中点，而，平面平面，平面，故正确在中：由异面直线的定义可知：与是异面直线，不可能，因此不正确；在中：由
9、可知平面平面，平面，因此正确在中：由同理可得：平面，若平面，则，与相矛盾，因此当与不重合时，与平面不垂直即不正确恒成立的结论是：故答案为：14解：空间中到直线的距离为的点构成一个圆柱面，它和面相交得一椭圆，所以在内的轨迹为一个椭圆，为椭圆的中心，则，于是，为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，且为故答案为：15解：对于，当在点时，异面直线与所成的角最大为，当在点时，异面直线与所成的角最小为，异面直线与所成的角的范围为，故错误；对于，因为平面，所以平面平面，故正确；对于，平面，所以点到平面的距离为定值，且等于的，即，故正确；对于，直线与平面所成的角为，当时，最小，最大，最大值为，故不正确，故答案为：16解：、分别为、的中点，或其补角为异面直线与所成的角，平面，平面，在中，异面直线与所成角的余弦值为平面，在等腰中，为斜边的中点，、平面，平面，平面，要使的面积最小，则最小，此时，在中，在中，故答案为：；
