1、2020-2021学年湖南省湘西州高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1复数1i的虚部为（）AiB1CD2设D为ABC所在平面内一点，则（）A+BC+D3“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0，10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高现随机抽取20位某地的村民，他们的幸福感指数为（）5.5，6.5，6.6，7.5，7.7，7.9，8.2，8.5，8.6，8.7，8.7，8.8，9.0，9.1，9.4，9.6，9.7，9.8，9.8，9.9，则这组数据的上四分位数是（）A7.8B9.5C7.7D9.44某学
2、校为加强学生新冠肺炎防控意识，组织防控知识问卷测试，共50道题已知甲，乙，丙，丁，戊五位同学在这次测试中答对的题数分别是48，50，50，48，49，则这五位同学答对题数的标准差是（）A1BCD5已知，则与的夹角为（）ABCD6已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则与该圆锥同底等高的圆柱的侧面积为（）AB8CD47某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示加里一张石凳的体积是0.35m3，那么原正方体石料的体积是（）A0.25m3B0.216m3C0.36m3D0.42m38从1，2，3，4中取随机选出一个数字，记事件A1“取出的数字是
3、1或2”，A2“取出的数字是1或3”，A3“取出的数字是1或4”，命题“A1与A2相互独立；A2与A3相互独立；A1与A3相互独立中真命题”的个数是（）A1B2C3D0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9下列说法中正确的是（）A若，则B两个非零向量，若，则与共线且反向C若，则存在唯一实数使得D若P是三角形ABC的重心，则10为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（）Ac与Bc与bCb，c与D
4、b，与11口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件M“取出的两球同色”，N“取出的2球中至少有一个黄球”，S“取出的2球至少有一个白球”，T“取出的两球不同色”，H“取出的2球中至多有一个白球”则（）AM与T互为对立BN与S互斥CS与H互斥DN与H不互斥12在直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BB1中点AA16，AC8，BC4，ACB60则下列结论正确的是（）A点A到平面BCC1B1的距离是B异面直线DC1与AB的角的余弦值是C若P为侧面AA1C1C（含边界）上一点，满足BP平面ADC1，则线段BP长的最小值是5D过A，D，C1的截面是钝角三角形三、填空题：本题共4小
5、题，每小题5分，共20分.13已知z2i（i是虚数单位），在复平面上，对应的点在第 象限14已知ABC的外接圆圆心为O，半径为1，且向量2+，|，则向量在向量方向上的投影长度是 15在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为此，用计算机产生15之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组例如，产生了20组随机数：423 231 423 344 114 453 525 323 152 34
6、2345 443 512 541 125 342 334 252 324 254相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为 16正方形ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，现将ADE，EBF，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于一点A若四面体AEFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17平面向量，（）若且，求的坐标；（）若满足（）且的横坐标为正，试求使成立的实数k的值18若ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c、，且a2，（）若b4，求sin
7、A的值；（）若ABC的面积S6，求b、c的值19在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）若PA2，AD4，求直线CE与平面ABCD所成的角正切值20矮寨大桥飞越在湘西德夯峡谷之巅，是世界跨峡谷跨径最大的钢桁梁悬牵索桥，是连接湘渝的重要交通设施、更是湘西的标志性景点大桥跨径1176米，桥面距离谷底355米，2012年3月建成通车为了解矮寨大桥所在地的实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在35，50内，按通行时间分为35，38），38，41），41，44），44，47），47，50
8、五组，其中通行时间在38，47）的车辆有315台，频率分布直方图如图所示（）求实数m、n的值，并估计样本数据的平均数；（）为了进一步了解车辆的通行状况，按第一组和第五组进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5辆汽车，再从这5辆汽车中随机抽取2辆汽车（司机）进行问卷调查，求抽取的这2辆汽车（司机）恰好来自同一组的概率21已知m，是实数，i是虚数单位（）若z1cos2+isin2，z2cos+isin，求zz1z22的模（）若z1m+（4m2）i，z22cos+（+3sin）i且z1z2，试求的取值范围22如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点（）证明：OABC；
9、（）若OCD是边长为3的等边三角形，点E在棱AD上，且三棱锥ABCD的体积是，试求二面角EBCD的大小参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1复数1i的虚部为（）AiB1CD解：复数1i的虚部为故选：D2设D为ABC所在平面内一点，则（）A+BC+D解：，D为线段BC靠近C点的三等分点，+故选：C3“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0，10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高现随机抽取20位某地的村民，他们的幸福感指数为（）5.5，6.5，6.6，7.5，7.7，7.9，8.2，8.5，8.6，8.7，8.7，8.8，
10、9.0，9.1，9.4，9.6，9.7，9.8，9.8，9.9，则这组数据的上四分位数是（）A7.8B9.5C7.7D9.4解：200.7515，上四分位数是9.5故选：B4某学校为加强学生新冠肺炎防控意识，组织防控知识问卷测试，共50道题已知甲，乙，丙，丁，戊五位同学在这次测试中答对的题数分别是48，50，50，48，49，则这五位同学答对题数的标准差是（）A1BCD解：由题意可知，甲，乙，丙，丁，戊五位同学在这次测试中答对的题数分别是48，50，50，48，49，所以该组数据的平均数为（48+50+50+48+49）49，则该组数据的方差为（1+1+1+1+0），所以这五位同学答对题数的标
11、准差是故选：B5已知，则与的夹角为（）ABCD解：由已知，故，即，解得，所以，又，所以故选：D6已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则与该圆锥同底等高的圆柱的侧面积为（）AB8CD4解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则有2r，所以，故圆锥的高为h，所以与该圆锥同底等高的圆柱的底面半径为，高为，故圆柱的侧面积为故选：B7某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示加里一张石凳的体积是0.35m3，那么原正方体石料的体积是（）A0.25m3B0.216m3C0.36m3D0.42m3解：设原正方体石料的棱长为am，则原正方体石料的
12、体积为a3m3，截去的八个四面体的体积为8m3，则a3a30.35，得a30.42m3，即原正方体石料的体积为0.42m3，故选：D8从1，2，3，4中取随机选出一个数字，记事件A1“取出的数字是1或2”，A2“取出的数字是1或3”，A3“取出的数字是1或4”，命题“A1与A2相互独立；A2与A3相互独立；A1与A3相互独立中真命题”的个数是（）A1B2C3D0解：从1，2，3，4中取随机选出一个数字，记事件A1“取出的数字是1或2”，A2“取出的数字是1或3”，A3“取出的数字是1或4”，P（A1），P（A2），P（A3），P（A1A2），P（A2A3），P（A1A3），对于命题，P（A1A
13、2）P（A1）P（A2），A1与A2相互独立，故是真命题；对于命题，P（A2A3）P（A2）P（A3），A2与A3相互独立，故是真命题；对于，P（A1A3）P（A1）P（A3），A1与A3相互独立，故是真命题故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9下列说法中正确的是（）A若，则B两个非零向量，若，则与共线且反向C若，则存在唯一实数使得D若P是三角形ABC的重心，则【解答】若可满足“，”，但不一定成立，A错；根据向量减法几何意义可知B对；若可满足，但不满足存在唯一实数使得，C错；如
14、图所示：+（+）（+），D对故选：BD10为了测量B，C之间的距离，在河的南岸A，C处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（）Ac与Bc与bCb，c与Db，与解：根据正余弦定理可知，要想解三角形，需已知三角形中三边、三角六个量中的其中三个（除去已知三角解三角形之类型），才能解三角形，故A，B选项显然不合理，对于C，D两项，根据现有测量工具，是可以测出b，与的，可先利用内角和定理求出，再用正弦定理求出BC长度，而C选项中的c边是测不出来的（从A处无法到达B处），故不合理选项为A，B，C故选：ABC11口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小
15、球，从中取出2球，事件M“取出的两球同色”，N“取出的2球中至少有一个黄球”，S“取出的2球至少有一个白球”，T“取出的两球不同色”，H“取出的2球中至多有一个白球”则（）AM与T互为对立BN与S互斥CS与H互斥DN与H不互斥解：对于选项A，事件M“取出的两球同色”，T“取出的两球不同色”，显然不可能同时发生，且也不可能都不发生，所以M和T是对立事件，故选项A正确；对于选项B，如果“取出的2个球为1个白球和一个黄球”，则N和S同时发生，所以N和S不是互斥事件，故B选项错误；对于选项C，如果“取出的2个球为1个白球和一个黄球”，则S和H同时发生，所以S和H不是互斥事件，故C选项错误；对于选项D，
16、如果“取出的2个球为1个白球和一个黄球”，则N和H同时发生，所以N和H不是互斥事件，故D选项正确故选：AD12在直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BB1中点AA16，AC8，BC4，ACB60则下列结论正确的是（）A点A到平面BCC1B1的距离是B异面直线DC1与AB的角的余弦值是C若P为侧面AA1C1C（含边界）上一点，满足BP平面ADC1，则线段BP长的最小值是5D过A，D，C1的截面是钝角三角形解：在ACB中，因为AC4，BC8，ACB60，由余弦定理可得AB，所以ABC90即ABBC，又因为平面ACB平面BCC1B1，所以AB平面BCC1B1，故AB为点A到平面BCC1B1的距离，A选
17、项说法正确因为AB平面BCC1B1，所以ABDC1，所以异面直线DC1与AB所成角为90，故余弦值为0，B选项错误如图，取CC1中点E，AC中点F，连接BE，EF，BF因为BEC1D，EFAC1，所以平面BEF平面AC1D，所以P点在线段EF上在BEF中，BF4，EF5，BEDC15，所以BP的最大值为5，C选项错误在AC1D中，AC110，DC15，AD，因为C1A2+AD2C1A257+251000，所以ADC1为钝角，D选项正确故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知z2i（i是虚数单位），在复平面上，对应的点在第 一象限解：（2i）（2+2i）6+2i，其对应
18、点坐标为（6，2），在第一象限故答案为：一14已知ABC的外接圆圆心为O，半径为1，且向量2+，|，则向量在向量方向上的投影长度是 解：由知，O为BC的中点，如图所示又为ABC外接圆的圆心，半径为1，BC为直径，且BC2，OAAB1，向量在向量方向上的投影为|故答案为：15在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为此，用计算机产生15之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组例如，产生
19、了20组随机数：423 231 423 344 114 453 525 323 152 342345 443 512 541 125 342 334 252 324 254相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为0.65解：由题意知模拟打3局比赛甲恰好获胜2局的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示打3局比赛甲恰好获胜2局的有：432，231，423，114，323，152，342，512，125，342，334，252，324共13组随机数，所求概率为0.65，故答案为：0.6516正方形ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，现将AD
20、E，EBF，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于一点A若四面体AEFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 24解：由图可知，三棱锥ADEF的三条侧棱两两垂直，且AD4，AEAF2，把该三棱锥放置在过一个顶点的棱长分别为2、2、4的一个长方体中，则长方体的外接球即为该三棱锥的外接球，其半径为，则外接球的表面积为4故答案为：24四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17平面向量，（）若且，求的坐标；（）若满足（）且的横坐标为正，试求使成立的实数k的值【解答】（）设（x，y），（1x，2y），（2，1），解得或的坐标为（3，3）或（
21、，）；（）根据题意取（3，3），则+k（1+3k，2+3k），+2（1，4），又，（1+3k）（1）+（2+3k）40，解得：k18若ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c、，且a2，（）若b4，求sinA的值；（）若ABC的面积S6，求b、c的值解：（）由于，所以，利用正弦定理：，整理得（）利用，解得c10，所以b2a2+c22accosB4+10072，解得b619在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）若PA2，AD4，求直线CE与平面ABCD所成的角正切值解：（1）如图，连接BD交AC于M，连EM，E，M分别
22、为PD，BD中点EMPB，PB平面AEC，EM平面AEC，PB平面AEC；（2）如图，取AD中点为N，连结EN，CN，E，N分别为PD，AD中点，ENPA，ENPA1，PA平面ABCD，EN平面ABCD，直线EC与平面ABCD成角ECN，NC2，EN1，tan20矮寨大桥飞越在湘西德夯峡谷之巅，是世界跨峡谷跨径最大的钢桁梁悬牵索桥，是连接湘渝的重要交通设施、更是湘西的标志性景点大桥跨径1176米，桥面距离谷底355米，2012年3月建成通车为了解矮寨大桥所在地的实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在35，50内，按通行时间分为35，38），3
23、8，41），41，44），44，47），47，50五组，其中通行时间在38，47）的车辆有315台，频率分布直方图如图所示（）求实数m、n的值，并估计样本数据的平均数；（）为了进一步了解车辆的通行状况，按第一组和第五组进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5辆汽车，再从这5辆汽车中随机抽取2辆汽车（司机）进行问卷调查，求抽取的这2辆汽车（司机）恰好来自同一组的概率解：（1）由频率分布直方图得：（0.04+0.07+m+0.08+0.06）31，解得m由频率分布直方图得通行时间在38，47）的频率为：（0.07+0.08）30.7，通行时间在38，47）的车辆有315台，n450样本数据的平均数
24、为：36.50.043+39.50.073+42.53+45.50.083+48.50.06342.95（2）按第一组和第五组进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5辆汽车，则从第一组抽取52辆，从第五组抽取53辆，再从这5辆汽车中随机抽取2辆汽车（司机）进行问卷调查，基本事件总数n10，抽取的这2辆汽车（司机）恰好来自同一组包含的基本事件个数m4，抽取的这2辆汽车（司机）恰好来自同一组的概率P21已知m，是实数，i是虚数单位（）若z1cos2+isin2，z2cos+isin，求zz1z22的模（）若z1m+（4m2）i，z22cos+（+3sin）i且z1z2，试求的取值范围解：（）根据题
25、意，z2cos+isin，则z22（cos+isin）2cos2+isin2，则zz1z220，则|z|0；（）若z1z2，则，变形可得：44cos23sin4sin23sin4（sin）2，又1sin1，则sin1时，max7，sin时，min；故的取值范围为，722如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点（）证明：OABC；（）若OCD是边长为3的等边三角形，点E在棱AD上，且三棱锥ABCD的体积是，试求二面角EBCD的大小解：（ I ）证明：因为ABAD，O为BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得AOBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD
26、BD，AO平面 ABD，根据面面垂直的性质定理可得OA平面BCD，又BC平面BCD，所以OABC（ II ）因为三棱锥ABCD的体积是，所以，方法一：空间向量以OD所在直线为y轴，过O点且垂直平面ABD的所在直线为x轴，以OA所在直线为z轴建立如图所示平面直角坐标系，所以，因为，所以E（0，1，2），所以，平面BCD的法向量为，设平面EBC的法向量为，则，即，取z1，解得，所以，设二面角EBCD的平面角为，则，又从图形中可知二面角EBCD的平面角是锐角，所以 ，即二面角EBCD的大小为方法二：传统立体几何因为，所以E是线段AD靠近A点的三等分点，过E点作BD的垂线，垂足为F，则 EFOA 且，所以EF平面BCD，又因为BC平面BCD，所以EFBC，过E点作BC的垂线，垂足为M，连接MF，所以EMBC，又EF，MF平面EMF，且EFMFF，所以BC平面EMF，又MF平面EMF，所以BCMF所以EMF就是二面角EBCD的平面角，由几何关系易得，所以BCCD，所以MFCD，所以，所以EMF是等腰直角三角形，故即二面角EBCD的大小为
