1、2020-2021学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共9小题）.1某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为（）A40B48C50D802某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，下面是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频率分布直方图（如图）已知从左至右4个小组的频率分别为0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（）（分数大于或等于80分为优秀且分数为整数）A18篇B24篇C
2、25篇D27篇3设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A3a2B6a2C12a2D24a24设点A（1，2），B（2，3），C（3，1），且，则点D的坐标为（）A（2，16）B（2，16）C（4，16）D（2，0）5l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面6在ABC中，已知D是AB边上的一点，若2，+，则（）ABCD7在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）AA1C1ADBD1C1
3、ABCAC1与DC成45角DA1C1与B1C成60角8已知i为虚数单位，aR，若为纯虚数，则复数z（2a+1）+i的模为（）ABCD9为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）ABCmem0Dmem010如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把ADC折叠到ADC处，使二面角BADC为60，则折叠后二面角ABCD的正切值为（）ABC2D二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）11i是虚数单位，则的共轭复数是 12某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班其中甲班有40人，
4、乙班50人现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分13一个几何体是由一个圆锥和一个半球组成的（相关尺寸如图），则该几何体的体积为 14口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1，2，3，4，5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为 15某人在点C测得塔顶A在南偏西80，仰角为45，此人沿南偏东40方向前进100米到点D处，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为 米三、解答题：本大题共5个小题，该55分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知复数z12+i，z1z25+5i（其中i为虚数
5、单位）（1）求复数z2；（2）若复数z3（3z2）（m22m3）+（m1）i所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围17已知，的夹角为60，当实数k为何值时，（1）（2）18在ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c2，C60（1）求的值；（2）若a+bab，求ABC的面积SABC19甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立已知前2局中，甲、乙各胜1局（）求再赛2局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率20在九章算术中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为
6、“羡除”如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形已知CDEF，AD平面ABEF，BEAF（1）求证：DF平面BCE；（2）求证：平面ADF平面BCE参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为（）A40B48C50D80解：各年级学生数的比例为400：300：5004：3：5，则从高三抽取的人数应为：50人故选：C2某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进
7、行了评比，下面是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频率分布直方图（如图）已知从左至右4个小组的频率分别为0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（）（分数大于或等于80分为优秀且分数为整数）A18篇B24篇C25篇D27篇解：根据频率分布直方图，可得分数大于80分的频率为：1（0.05+0.15+0.35）0.45，这次评比中被评为优秀的调查报告有600.4527故选：D3设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A3a2B6a2C12a2D24a2解：根据题意球的半径R满足（2R）26a2，所以S球
8、4R26a2故选：B4设点A（1，2），B（2，3），C（3，1），且，则点D的坐标为（）A（2，16）B（2，16）C（4，16）D（2，0）解：，+23（1，2）+2（3，1）3（1，4）（2，16），则点D的坐标为（2，16）故选：A5l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，l1l2，l1，l2所成的角是90，又l2l3l1，l3所成的角是90l1l3，B对
9、；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错故选：B6在ABC中，已知D是AB边上的一点，若2，+，则（）ABCD解：在ABC中，已知D是边AB上的一点，而由题意可得 ，故有，故选：B7在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）AA1C1ADBD1C1ABCAC1与DC成45角DA1C1与B1C成60角解：由题意画出如下图形：A因为ADA1D1，所以C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而C1A1D145，所以A错；B因为D1C1CD，利平行公理4可以知道：ABCDC1D1，所以B错；C因为DCAB所以C1A
10、B即为这两异面直线所成的角，而，所以C错；D因为A1C1AC，所以B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形B1CA中，B1CA60，所以D正确故选：D8已知i为虚数单位，aR，若为纯虚数，则复数z（2a+1）+i的模为（）ABCD解：，若为纯虚数，则，解得a，则z（2a+1）+iz2+i，则复数z（2a+1）+i的模为，故选：C9为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m0，平均值为，则（）ABCmem0Dmem0解：中位数为第15，16个数（分别为5，6）的平均数，即me5.5，5出现的次
11、数最多，故众数为m05，平均数为+5.97，故选：A10如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把ADC折叠到ADC处，使二面角BADC为60，则折叠后二面角ABCD的正切值为（）ABC2D解：因为BDAD，CDAD，则BDC即为二面角BADC的平面角，所以BDC60，则BDC为等边三角形，取BC的中点M，连结DM，AM，因为ABAC，BDDC，所以DMBC，AMBC，则二面角ABCD的平面角为AMD，在等边三角形ABC中，ABACBC4，所以AD，在等边三角形法BDC中，BDBCCD2，所以DM，则，故折叠后二面角ABCD的正切值为2故选：C二、填空题：本大题共5个小题，
12、每小题3分，共15分11i是虚数单位，则的共轭复数是 解：i是虚数单位，则，的共轭复数是故答案为：12某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班其中甲班有40人，乙班50人现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是85分解：甲班有40人，乙班50人现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，该校数学建模兴趣班的平均成绩是分故答案为：8513一个几何体是由一个圆锥和一个半球组成的（相关尺寸如图），则该几何体的体积为 解：半球的半径为 2，所以半球的体积为 ，圆锥的底面半径为 2，高为 12，所以圆锥的
13、体积为 ，故该几何体的体积为 故答案为：14口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1，2，3，4，5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为解：口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1，2，3，4，5，从中一次随机摸出两个球，基本事件总数n10，摸出的两个球的编号之和大于6包含的基本事件有：（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共4个，摸出的两个球的编号之和大于6的概率为p故答案为：15某人在点C测得塔顶A在南偏西80，仰角为45，此人沿南偏东40方向前进100米到点D处，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为 100米解：由题意得，AB平面BCO
14、，BC、BD平面BCO，ABBC，ABBD设塔高ABx，在RtABC中，ACB45，可得BCABx，在RtABD中，ADB30，BDx，在BCD中由余弦定理，得BD2CB2+CD22CBCDcos120，3x2x2+10000+100x，解得x100或50（舍去）故塔高为100米故答案为：100三、解答题：本大题共5个小题，该55分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知复数z12+i，z1z25+5i（其中i为虚数单位）（1）求复数z2；（2）若复数z3（3z2）（m22m3）+（m1）i所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围解：（1）复数z12+i，z1z25+5i，；（2）z3（
15、3z2）（m22m3）+（m1）ii（m22m3）+（m1）i（m1）+（m22m3）i，复数z3所对应的点在第四象限，解得1m1实数m的取值范围是1m117已知，的夹角为60，当实数k为何值时，（1）（2）解：（1）由 可知存在实数t，使，即，解得，故k时，可得；（2）由（）（）0可得15+3k+（5k+9）0，代入数据可得154+27k+（5k+9）0，解得k，故当k时，18在ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c2，C60（1）求的值；（2）若a+bab，求ABC的面积SABC解：（1）由正弦定理可设，所以，所以 （2）由余弦定理得c2a2+b22abcosC，即4a2+b2
16、ab（a+b）23ab，又a+bab，所以（ab）23ab40，解得ab4或ab1（舍去）所以 19甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立已知前2局中，甲、乙各胜1局（）求再赛2局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率解：记“第i局甲获胜”为事件Ai（i3，4，5），“第j局甲获胜”为事件Bi（j3，4，5）（）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则AA3A4+B3B4，由于各局比赛结果相互独立，故P（A）P（A3A4+B3B4）P（A3A4）+P（B3B4）P（A3）P（
17、A4）+P（B3）P（B4）0.60.6+0.40.40.52（）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而HA3A4+B3A4A5+A3B4A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）P（A3A4+B3A4A5+A3B4A5）P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.60.64820在九章算术中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形已知CDEF，AD平面ABEF，BEAF（1）求证：DF平面BCE；（2）求证：平面ADF平面BCE【解答】证明：（1）AB，CD，EF相互平行，四边形ABEF是梯形CDEF，四边形CDFE是平行四边形，DFCE，DF平面BCE，CE平面BCE，DF平面BCE（2）AD平面ABEF，BE平面ABEF，BEAD，BEAF，AFADABE平面ADF，BE平面BCE，平面ADF平面BCE
