1、浙江省台州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内复数 z=-3+i(i 为虚数单位)对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.半径为1的球的体积为（ ） A. B.3 C.4 D.433.已知向量 a=(1,2),b=(3,m) .若 a/b ，则 m= （ ） A.6 B.-6 C.32 D.-324.“直线a与直线b没有交点”是“直线a与直线b为异面直线”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不
2、必要条件5.已知 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 a:b:c=2:3:4 ，则 ABC 为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形6.若数据 x1,x2,xn 的方差为2，则 2x1-3,2x2-3,2xn-3 的方差为（ ） A.1 B.2 C.4 D.87.已知直线 l,m 和平面 , ，下列命题正确的是（ ） A.若 l/,l/ ，则 /B.若 l,l ，则 /C.若 l,lm ，则 m/D.若 l,m,l/,m/ ，则 /8.已知向量 a,b 满足： |a-b|=3,|a|=2|b| .设 a-b 与 a+b 的夹角为 ，则
3、sin 的最大值为（ ） A.45 B.35 C.12 D.32二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9.某公司为检测某型号汽车的质量问题，需对三个批次生产的该型号汽车进行检测，三个批次产量分别为100000辆150000辆和250000辆，公司质监部门计划从中抽取500辆进行检测，则下列说法正确的是（ ） A.样本容量为500B.采用简单随机抽样比分层随机抽样合适C.应采用分层随机抽样，三个批次的汽车被抽到的概率不相等D.应采用分层随机抽样，三个批次分别抽取100辆150辆250辆10.已知非零向量 a,b,c ，下列命题正确的是（ ） A.若 a/b,a/c ，则 b/cB.若
4、ab=ac ，则 b=cC.(ab)c=a(bc)D.(a+b)c=ac+bc11.在 ABC 中， BAC=60,B=45,AB=2 ，点 D 为直线 BC 上的点.则（ ） A.当 ADBC 时， AD=2B.当 AD=2 时， ADBCC.当 AD 为 BAC 的角平分线时， AD=23-2D.当 AD=23-2 时， AD 为 BAC 的角平分线12.如图，在圆锥 SO 中，轴截面 SAB 是边长为2的等边三角形，点 M 为高 SO 上一动点，圆柱 MO 为圆锥 SO 的内接圆柱(内接圆柱的两个底面的圆周都在圆锥表面上).点 P 为圆锥底面的动点，且 AMMP .则（ ） A.圆柱 M
5、O 的侧面积的最大值为 32B.圆柱 MO 的轴截面面积的最大值为 3C.当 OM=22 时，点 P 的轨迹长度为 3D.当 OM=33 时，直线 MP 与圆锥底面所成角的最大值为 60三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知复数 z=3-m+(m+1)i ( i 为虚数单位)为纯虚数，则实数 m= _. 14.已知直线 l 与平面 所成角为 30 ，若直线 m ，则 l 与 m 所成角的最小值为_. 15.某小区12户居民四月份月用水呈(单位：t)分别为： 5.413.66.87.716.83.510.57.120.54.915.211.1 则所给数据的第75百分位数是_.
6、16.在 ABC 中， AB=2,AC=1. 若对任意的 tR,|AB+tAC|3 恒成立，则角 A 的取值范围为_. 四、解答题(本题共6小题，共70分)17.已知复数 z=1-i ( i 为虚数单位). （1）求 |z| ； （2）若 z1+i=a+bi ，求实数 a 和 b 的值. 18.如图，在三棱锥 P-ABC 中， PA=PB=AB=AC=BC=2,PC=1 . （1）求证： PCAB ； （2）求点 P 到平面 ABC 的距离. 19.某高中为了解全校高一学生的身高，随机抽取40个学生，将学生的身高分成4组： 150,160),160,170 )， 170,180),180,19
7、0 ，进行统计，画出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中 a 的值； （2）求高一学生身高的平均数和中位数的估计值. 20.已知 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且_.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答. cosA=cos2Bcos2C-sin2Bsin2C ； c(sinB+sinC)=asinA-bsinB ： ABC 的面积为 34(a2-b2-c2) .（1）求角 A 的大小； （2）若点 D 满足 BD=cbDC ，且 |AD|=1 ，求 4c+b 的最小值. 21.在矩形 ABCD 中， AB=4,AD=2. 点 E,F
8、 分别在 AB,CD 上，且 AE=2,CF=1 .沿 EF 将四边形 AEFD 翻折至四边形 AEFD ，点 A 平面 BCFE . （1）求证： CD/ 平面 ABE ； （2）A,B,C,D 四点是否共面？给出结论，并给予证明； （3）在翻折的过程中，设二面角 A-BC-E 的平面角为 ，求 tan 的最大值. 答案解析部分一、单选题1.在复平面内复数 z=-3+i(i 为虚数单位)对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 B 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】【解答】由题意，复数 z=-3+i ， 根据复数的几何意义，可得复数 z 在复平
9、面内对应的点 (-3,1) 位于第二象限.故答案为：B. 【分析】根据复数的几何意义即可得出答案。2.半径为1的球的体积为（ ） A.B.3C.4D.43【答案】 D 【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】利用球的体积公式，可得球的体积 V=43R4=43 . 故答案为：D. 【分析】 根据球的体积公式计算即可.3.已知向量 a=(1,2),b=(3,m) .若 a/b ，则 m= （ ） A.6B.-6C.32D.-32【答案】 A 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】由题意，向量 a=(1,2),b=(3,m) ， 因为 a/b ，可得 1m-23=0 ，解得 m=
10、6 .故答案为：A. 【分析】 根据平面向量共线的坐标表示，列出方程求出m的值.4.“直线a与直线b没有交点”是“直线a与直线b为异面直线”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，异面直线的判定 【解析】【解答】两条直线没有交点 ，说明这两条直线的位置关系为平行或异面 而两条直线为异面直线时，它们必没有交点，所以B符合题意，ACD不符合题意.故答案为：B. 【分析】 由异面直线的定义即可判断出结论.5.已知 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 a:b:c=2:3:4 ，
11、则 ABC 为（ ） A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】 C 【考点】余弦定理，三角形的形状判断 【解析】【解答】由题意，在 ABC 中，满足 a:b:c=2:3:4 ， 设 a=2m,b=3m,c=4m ，其中 m0 ，由余弦定理可得 cosC=a2+b2-c22ab=(2m)2+(3m)2-(4m)222m3m=-140 ，因为角 C 为三角形的内角，所以 C(2,) ，所以 ABC 为钝角三角形.故答案为：C. 【分析】 直接利用余弦定理的应用求出结果.6.若数据 x1,x2,xn 的方差为2，则 2x1-3,2x2-3,2xn-3 的方差为（ ） A.1B
12、.2C.4D.8【答案】 D 【考点】极差、方差与标准差 【解析】【解答】解：因为数据 x1,x2,xn 的方差为2， 所以 2x1-3,2x2-3,2xn-3 的方差为 222=8 .故答案为：D. 【分析】利用方差的性质直接求解。7.已知直线 l,m 和平面 , ，下列命题正确的是（ ） A.若 l/,l/ ，则 /B.若 l,l ，则 /C.若 l,lm ，则 m/D.若 l,m,l/,m/ ，则 /【答案】 B 【考点】平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质 【解析】【解答】对于A中，若 l/,l/ ，则 与 可能相交，所以A不符合题意； 对于B中，若 l,l ，根据垂直于同一直线
13、的两平面平行，可得 / ，所以B符合题意；对于C中，若 l,lm ，则 m/ 或 m ，所以C不符合题意；对于D中，若 l,m,l/,m/ ，只有当 l 与 m 相交时，才能得到 / ，所以D不符合题意.故答案为：B. 【分析】 对于A, 与 相交或平行;对于B,由面面平行的判定定理得a/;对于C, m/ 或 m；对于D,a与相交或平行.8.已知向量 a,b 满足： |a-b|=3,|a|=2|b| .设 a-b 与 a+b 的夹角为 ，则 sin 的最大值为（ ） A.45B.35C.12D.32【答案】 A 【考点】数量积表示两个向量的夹角，同角三角函数间的基本关系 【解析】【解答】解：设
14、 |b|=x ，则 |a|=2x ， 因为 |a-b|=3 ，所以 |a-b|2=a2-2ab+b2=5x2-2ab=9 ，所以 ab=5x2-92 ，则 |a+b|=|a+b|2=a2+2ab+b2=10x2-9 ，cos=(a-b)(a+b)|a-b|a+b|=3x2310x2-9=x210x2-9 ，因为 0, ，所以 sin=1-cos2=1-x410x2-9=1-110x2-9x4 ，令 t=1x2 ，则 10x2-9x4=-9t2+10t ，当 t=59 时， -9t2+10t 取得最大值 259 ，即 10x2-9x4 取得最大值 259 ，所以 1-110x2-9x4 的最大值
15、为 45 ，即 sin 的最大值为 45 .故答案为：A. 【分析】 根据题意,设 |b|=x ，则 |a|=2x ，由数量积的计算公式用x表示|a-b| ， 由向量夹角公式可得cos的表达式，分析可得cos的最小值，结合同角三角函数基本关系式分析可得答案.二、多选题9.某公司为检测某型号汽车的质量问题，需对三个批次生产的该型号汽车进行检测，三个批次产量分别为100000辆150000辆和250000辆，公司质监部门计划从中抽取500辆进行检测，则下列说法正确的是（ ） A.样本容量为500B.采用简单随机抽样比分层随机抽样合适C.应采用分层随机抽样，三个批次的汽车被抽到的概率不相等D.应采用
16、分层随机抽样，三个批次分别抽取100辆150辆250辆【答案】 A,D 【考点】分层抽样方法 【解析】【解答】解：由题意易知样本容量为500，A符合题意； 公司为检测某型号汽车的质量问题，三个批次产量分别为100000辆150000辆和250000辆，公司质监部门计划从中抽取500辆进行检测，故采用分层抽样，B不符合题意；对于分层抽样的每一辆轿车被抽到的可能性相等，C不符合题意；100000+150000+250000=500000 ，所以三个批次分别抽取 100000500500000=100 辆， 150000500500000=150 辆， 250000500500000=250 辆，D
17、符合题意.故答案为：AD. 【分析】 利用样本容量的定义判断选项A，由分层抽样的定义以及分层抽样的特点判断选项B,C,D.10.已知非零向量 a,b,c ，下列命题正确的是（ ） A.若 a/b,a/c ，则 b/cB.若 ab=ac ，则 b=cC.(ab)c=a(bc)D.(a+b)c=ac+bc【答案】 A,D 【考点】平行向量与共线向量，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：因为向量 a,b,c ，为非零向量，且 a/b,a/c ，所以 b/c ，A符合题意； 因为 ab=|a|b|cosa,b ， ac=|a|c|cosa,c ，根据 ab=ac ，得 |b|cosa,b=|c|
18、cosa,c ，B不符合题意；因为 (ab)c 是以 c 为方向的向量， a(bc) 是以 a 为方向的向量，而向量 a,c 的方向不确定，C不符合题意；根据向量数量积的分配律知 (a+b)c=ac+bc ，D符合题意.故答案为：AD. 【分析】 直接利用向量的共线，向量的数量积，三角不等式的应用，判断A、B、C、D的结论.11.在 ABC 中， BAC=60,B=45,AB=2 ，点 D 为直线 BC 上的点.则（ ） A.当 ADBC 时， AD=2B.当 AD=2 时， ADBCC.当 AD 为 BAC 的角平分线时， AD=23-2D.当 AD=23-2 时， AD 为 BAC 的角平
19、分线【答案】 A,B,C 【考点】正弦定理 【解析】【解答】解：A，当 ADBC 时，在 RtABD 中， AD=ABsin45=2 ，A对； B，当 AD=2 时，在 ABD 中，由正弦定理得： ABsinADB=ADsinB ，解得 sinADB=1 ，因为 ADB(0,180) ，所以 ADB=90 ，即 ADBC ，B符合题意；C，当 AD 为 BAC 的角平分线时，则 BAD=30,ADB=105 ，在 ABD 中，由正弦定理得： ABsinADB=ADsinB ，则 AD=ABsinBsinADB=23-2 ，C符合题意；D，当 AD=23-2 时，在 ABD 中，由正弦定理得：
20、ABsinADB=ADsinB ，则 sinADB=ABsinBAD=22223-2=6+24 ，因为 ADB(0,180) ，所以 ADB=75 或 105 ， BAD=60 或 30 ，当 BAD=60 时， D 与 C 重合，故 AD 不一定为 BAC 的角平分线，D不符合题意.故答案为：ABC. 【分析】 对于A,由题意可得ADB=90，由正弦定理可得 AD=2 ，即可判断；对于B,由题意在ABD中，由正弦定理解得sinADB=1，又ADB(0,180) ，可得ADB=90,可得ADBC，即可判断；对于C,由题意可得 BAD=30,ADB=105 ， 在ABD中,由正弦定理可得AD=2
21、3-2 ，即可判断；对于D,由题意，在ABD中，由正弦定理可得sinADB=6+24 ， 结合ADB(0,180) ， 可得ADB=75 或 105 ， BAD=60 或 30 ， 当 BAD=60 时， D 与 C 重合，故 AD 不一定为 BAC 的角平分线，即可判断.12.如图，在圆锥 SO 中，轴截面 SAB 是边长为2的等边三角形，点 M 为高 SO 上一动点，圆柱 MO 为圆锥 SO 的内接圆柱(内接圆柱的两个底面的圆周都在圆锥表面上).点 P 为圆锥底面的动点，且 AMMP .则（ ） A.圆柱 MO 的侧面积的最大值为 32B.圆柱 MO 的轴截面面积的最大值为 3C.当 OM
22、=22 时，点 P 的轨迹长度为 3D.当 OM=33 时，直线 MP 与圆锥底面所成角的最大值为 60【答案】 A,C,D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，直线与平面所成的角 【解析】【解答】设内接圆柱 MO 的底面半径为 r （ 0r1 ），高 MO=h ，由 h3=1-r1 得 h=3(1-r) . 圆柱 MO 的侧面积 S1=2rh=23r(1-r)23(r+1-r2)2=32 （ r=12 时取等号），A符合题意；圆柱 MO 的轴截面面积 S2=2rh=23r(1-r)23(r+1-r2)2=32 （ r=12 时取等号），B不符合题意；在 AB 上取一点 H ，使得 AM
23、MH ，又 AMMP ，且 MPMH=M ，所以 AM 平面 MPH ，从而 AMPH ，又 PHMO ，且 AMMO=M ，所以 PH 平面 AMH ，因此 PHAH ，所以点 P 的轨迹是过点 H 且垂直于 AB 的弦.当 OM=22 时，由 OM2=OAOH 得 OH=12 ，此时，该弦的长度为 212-(12)2=3 ，C符合题意；当 OM=33 时，由 OM2=OAOH 得 OH=13 ，则当点 P 与点 H 重合时，直线 MP 与圆锥底面所成角的最大值为 MHA=60 ，D符合题意.故答案为：ACD. 【分析】设内接圆柱 MO 的底面半径为 r （ 0r1 ），则高h=MO=3(1
24、-r) ， 进而由基本不等式可判断A、B,在AB上取一点H,使得AHMH,探究可得点P的轨迹是过点H且垂直AB的弦，进而可判断C、D.三、填空题13.已知复数 z=3-m+(m+1)i ( i 为虚数单位)为纯虚数，则实数 m= _. 【答案】 3 【考点】虚数单位i及其性质 【解析】【解答】由题意，复数 z=3-m+(m+1)i 为纯虚数，则满足 3-m=0m+10 ，解得 m=3 . 故答案为：3. 【分析】 由题意利用纯虚数的定义，求得m的值.14.已知直线 l 与平面 所成角为 30 ，若直线 m ，则 l 与 m 所成角的最小值为_. 【答案】 30 【考点】直线与平面所成的角 【解
25、析】【解答】根据直线与平面所成角的定义，直线与平面所成角等于直线和它在平面上的射影所成的角 是直线与平面内所有直线所成角中最小的角，题中直线l与平面 所成角为30，且 m ，所以直线 l与直线m所成角的最小值为30.故答案为：30. 【分析】 根据最小角定理可得则 l与m所成角最小的角为30.15.某小区12户居民四月份月用水呈(单位：t)分别为： 5.413.66.87.716.83.510.57.120.54.915.211.1 则所给数据的第75百分位数是_.【答案】 14.4 【考点】众数、中位数、平均数 【解析】【解答】解：将12个数据按照从小到大的顺序排列： 3.5 4.9 5.4
26、 6.8 7.1 7.7 10.5 11.1 13.6 15.2 16.8 20.51275%=9 ，所以第75百分位数是 13.6+15.22=14.4 .故答案为：14.4. 【分析】 先把数据从小到大排列，然后根据百分位数的计算公式求解即可.16.在 ABC 中， AB=2,AC=1. 若对任意的 tR,|AB+tAC|3 恒成立，则角 A 的取值范围为_. 【答案】 3,23 【考点】两向量的和或差的模的最值 【解析】【解答】因为 |AB+tAC|3 ，所以 AB2+2tABAC+t2AC23 所以 4+4tcosA+t23 ，即 t2+4tcosA+10所以 =16cos2A-40
27、，解得 -12cosA12因为 A0, ，所以 A3,23故答案为： 3,23 【分析】将不等式|AB+tAC|3两边平方，结合向量的知识可得t2+4tcosA+10 ， 然后可得=16cos2A-40 ， 然后可得答案。四、解答题17.已知复数 z=1-i ( i 为虚数单位). （1）求 |z| ； （2）若 z1+i=a+bi ，求实数 a 和 b 的值. 【答案】 （1）由题意，复数 z=1-i ，可得 |z|=12+(-1)2=2 .（2）因为 z1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i ，可得 a+bi=-i ，所以 a=0,b=-1 . 【考点】复数相等的充要条件
28、，复数代数形式的乘除运算，复数求模 【解析】【分析】（1）根据已知条件,结合复数模公式，即可求解； （2）根据已知条件,结合复数的乘法法则,以及复数相等性原则,即可求解. 18.如图，在三棱锥 P-ABC 中， PA=PB=AB=AC=BC=2,PC=1 . （1）求证： PCAB ； （2）求点 P 到平面 ABC 的距离. 【答案】 （1）取 AB 中点 D ，连接 PD 和 CD ， 因为 PA=PB=AB=AC=BC=2 ，所以 ABPD,ABCD ，又因为 PDCD=D ，所以 AB 平面 PCD ，.又由 PC 平面 PCD ，所以 PCAB （2）过点 P 作 PKCD ，垂足
29、K ， 由（1）可知 AB 平面 PCD ，又因为 AB 平面 ABC 所以平面 PCD 平面 ABC ，所以 PK 平面 ABC ，所以 PK 即为点 P 到平面 ABC 的距离，在 PDC 中， cosPDC=PD2+CD2-PC22PDCD=3+3-1233=56 ，所以 PK=PDsinPDC=31-(56)2=336 即点 P 到平西 ABC 的距离为 336 .【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，余弦定理 【解析】【分析】 (1)取AB中点D,连接PD,CD,即可得到ABPD,ABCD,进而根据线面垂直定理可得AB平面PCD,即可证得PCAB; (2)过点P作PKC
30、D,垂足K,可得PK即为点P到平面ABC的距离,利用余弦定理，可求得cosPDC,进而可得PK. 19.某高中为了解全校高一学生的身高，随机抽取40个学生，将学生的身高分成4组： 150,160),160,170 )， 170,180),180,190 ，进行统计，画出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中 a 的值； （2）求高一学生身高的平均数和中位数的估计值. 【答案】 （1）由图可知 150,160),170,180),180,190 三组的频率分别为 0.275,0.225,0.05 ，所以身高在 160,170) 内的频率 1-0.275-0.225-0.05=0.4
31、5 ， 所以 a=0.4510=0.045 ；（2）平均数 0.275155+0.45165+0.225175+0.05185=165.5 ，. 设中位数 x 由 0.027510+0.045(x-160)=0.5 解得 x=165 ，所以中位数为165.【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数 【解析】【分析】 (1)由图可知150,160),170,180)，180,190三组的频率分别为0.275,0.225，0.05,由此求出身高在160,170)内的频率，进而能求出a； (2)利用频率分布直方图能求出高一学生身高的平均数和中位数的估计值. 20.已知 ABC 的内角 A,B,C
32、所对的边分别为 a,b,c ，且_.请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答. cosA=cos2Bcos2C-sin2Bsin2C ； c(sinB+sinC)=asinA-bsinB ： ABC 的面积为 34(a2-b2-c2) .（1）求角 A 的大小； （2）若点 D 满足 BD=cbDC ，且 |AD|=1 ，求 4c+b 的最小值. 【答案】 （1）若选， 因为 cos2Bcos2C-sin2Bsin2C=cos(2B+2C)=cos2(-A)=cos2A ，所以 cosA=cos2A ，即 2cos2A-cosA-1=0 ，解得 cosA=-12 或 cosA=1
33、 (舍去)又 0A ，所以 A=23 .若选，因为 c(sinB+sinC)=asinA-bsinB ，所以由正弦定理边角互化得 c(b+c)=a2-b2 ，即 b2+c2-a2=-bc ，所以 cosA=b2+c2-a22bc=-12 又 0A ，所以 A=23 .若选，因为 b2+c2-a2=2bccosA ， ABC 的面积为 34(a2-b2-c2) ，所以 SABC=34(-2bccosA)=12bcsinA ，即 sinA=-3cosA ，所以 tanA=-3 ，又 0A ，所以 A=23 .（2）因为 BD=cbDC ， 所以 b(AD-AB)=c(AC-AD) ，即 AD=bb
34、+cAB+cb+cAC 所以 AD2=1(b+c)2(b2AB2+c2AC2+2bcABAC)=b2c2(b+c)2 ，即 b2c2(b+c)2=1 ，所以 bc=b+c ，即 1b+1c=1 所以 4c+b=(1b+1c)(4c+b)=5+4cb+bc9 当且仅当 4cb=bc ，即 b=2c ， 4c+b 有最小值9.【考点】基本不等式，正弦定理，余弦定理 【解析】【分析】 (1)若选择,由所给条件可得 2cos2A-cosA-1=0 ， 解方程可得 cosA=-12 ，结合范围0A,可得A的值； 若选择,所给条件可得bc=-2bccosA,可得cosA的值,进而可求A的值; 若选择,由题
35、意，利用三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求tanA，进而可求A的值. (2)由题意可求 AD2=b2c2(b+c)2即 b2c2(b+c)2=1，进而可得 1b+1c=1 ，利用基本不等式即可求解4c+b=(1b+1c)(4c+b)=5+4cb+bc9 。 21.在矩形 ABCD 中， AB=4,AD=2. 点 E,F 分别在 AB,CD 上，且 AE=2,CF=1 .沿 EF 将四边形 AEFD 翻折至四边形 AEFD ，点 A 平面 BCFE . （1）求证： CD/ 平面 ABE ； （2）A,B,C,D 四点是否共面？给出结论，并给予证明； （3）在翻折的过程中，设二面角 A
36、-BC-E 的平面角为 ，求 tan 的最大值. 【答案】 （1）证明：因为 DF/AE ， DF 平面 AEB ， AE 平面 AEB ， 所以 DF/ 平面 AEB ，因为 FC/EB ， FC 平面 AEB ， EB 平面 AEB .所以 FC/ 平面 AEB ，又因为 FCDF=F ，所以平面 DFC/ 平面 AEB ，因为 CD 面 DFC ，所以 CD/ 平面 AEB ；（2）A,B,C,D 四点不共面. 证明：假设 A,D,B,C 四点共面，则 AD/BC 或 ADBC=Q .若 AD/BC ，又因为 AD 平面 BCFE ， BC 平面 BCFE ，所以 AD/ 平面 BCFE
37、 ， AD 平面 ADFE ,平面 BCFE 平面 ADFE=EF ,所以 AD/EF (与已知矛盾，舍去)若 ADBC=Q ，所以 Q 平面 AEFD ， Q 平面 BCFE 根据基本事实3，所以 QEF 所以 AD,BC,EF 交于一点(与已知矛盾，舍去)；综上所述， A,B,C,D 四点不共面.（3）解：如图，在面 AC 内作 AOEF 于点 O ，作 AMAO 于 M ，作 MNBC 于 N ， 由题意可得点M为点 A 在平面 BCFE 的射影，所以 AM 平面 BCFE 所以 AMBC ，又因为 MNBC,MNAM=M ，所以 BC 平面 AMN ，所以 BCAN ，所以 ANM 为
38、二面角 A-BC-E 的平面角 ，因为 AOEF,AOEF ，所以 AOM 为二面角 A-EF-B 的平面角，设 AOM=,(0,) 当 =2 时，点 O 与点 M 重合，由 AO=45,ON=125 ，可得 tan=53 ，(0,2) 时，因为 AO=45 ，所以 AM=45sin,OM=45cos 所以 AM=45+45cos ，故 MN=4-(45+45cos)25=125-85cos 所以 tan=AMMN=5sin3-2cos 同理当 (2,) 时， AM=45sin,OM=-45cos 所以 AM=45+45cos ，故 MN=4-(45+45cos)25=125-85cos. 所
39、以 tan=AMMN=5sin3-2cos ，设 y=5sin3-2cos ，所以 5sin+2ycos=3y. 所以 sin(+)=3y4y2+5 ，由 |3y4y2+5|1 解得 -1y1 ，所以 tan 的最大值为1.当 cos=23 时取到.所以 tan 的最大值为1.【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】 (1)由DF/AE,得DF/平面AEB,由FC/EB,得DF/平面AEB,从而平面DFC/平面AEB,由此能证明CD/AEB； (2)假设A,D,B,C四点共面，则AD/BC或ADBC=Q ， 若AD/BC ， 则 AD/平面BCFE，从而AD/EF,与已知矛盾；若 ADBC=Q ，则 QEF ，从而 AD,BC,EF交于一点(与已知矛盾，舍去)，由此能证明A,B,C,D四点不共面； (3) 在面AC内作AOEF于点O ， 作AMAO于M ， 作MNBC于N ， 则 AM平面BCFE， AMBC ，从而 BC平面AMN ， BCAN， ANM为二面角A-BC-E的平面角 ，由 AOEF,AOEF ， 得AOM为二面角A-EF-B的平面角， 设AOM=,(0,) ， 由此入手能推到出当cos=23时， tan取到的最大值为1.
