1、教学设计课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA050学科数学年级高二学期第一学期课题圆锥曲线的方程小结(2)教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年5月教学人员姓名单位授课教师韩旭北京市第五十中学指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心教学目标教学目标：通过问题串的形式，梳理本章的常见题型，明确研究思路和解题步骤，再次强调坐标法的作用。教学重点：明确常见题型的研究思路和解题步骤。教学难点：明确坐标法的作用。教学过程时间教学环节主要师生活动8判断求解圆锥曲线的方程问题1：如何理解圆锥曲线的“统一性”？教师解答：研究内容、研究过程、研究方法都是
2、统一的，都是坐标法的体现.追问1：你能说说用坐标法研究曲线方程的具体过程吗？教师解答：回顾用坐标法研究曲线方程的具体步骤.例1 已知𝐴𝐵𝐶的两个顶点𝐴,𝐵的坐标分别是(-5,0)和(5,0)，且AC,BC所在直线的斜率之积等于𝑚(𝑚0)，求顶点C的轨迹.教师解答：设点C的坐标为(x,y)由题意，kAC=yx+5(x-5)，kBC=yx-5(x5). 因为kACkBC=m，即yx+5yx-5=m(x5)通过化简，整理得x225+y2-25m=1(x5)追问：这样的方程应如何判断其曲线形
3、状呢？教师解答：对于这类形如x2m+y2n=1的方程来说，我们是要进行分类讨论的.如果m=n0，则表示圆，此时方程还可以写为x2+y2=m=n0，这里的m,也就是n，就是圆的半径的平方；如果mn,m0,n0，表示椭圆；若𝑚𝑛0，表示焦点在𝑥轴上的椭圆，这里的m就是长半轴长，n就是短半轴长； 若𝑛𝑚0，表示焦点在𝑦轴上的椭圆，n就是长半轴长，m就是短半轴长；如果𝑚𝑛0𝑛，表示焦点在𝑥轴上的双曲线，m就是实半轴长，n就是虚半轴长； 若
4、19899;0𝑚，表示焦点在𝑦轴上的双曲线，n就是实半轴长，m就是虚半轴长教师解答：故当𝑚=1时，点𝐶的轨迹是圆，并除去两点(5,0)和(5,0)；当𝑚0时，点𝐶的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0)，(5,0).12问题2：举例说明数形结合在圆锥曲线的研究中具有重要作用.例2 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px(p0)的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长.教师讲解：方法一. 设等边三角形的一个顶点为焦点𝐹，另外两个顶点分别是𝐴,w
5、861;，其中点𝐴在𝑥轴上方，则直线𝐹𝐴的方程可设为y=33 (x-p2). 与y2=2px联立，由方程组消去𝑦，y2=2px，y=33x-p2消去y，得4x2-28px+p2=0.解方程，得x=7223p. 所以，满足条件的点A有两个：A1(72+23p,3+2p)和A2(72-23p,3-2p).由抛物线的对称性可知，满足条件的点B也有两个：B1(72+23p,-3+2p) 和B2(72-23p,-3-2p).所以等边三角形的边长是A1B1=22+3p，或A2B2=22-3p.方法二. 解：设等边FA1B1的边
6、长为a，则|A1F|=a.由图形几何特征，A1(p2+32a,12a).因为点A1在抛物线上，代入抛物线方程，解得a=4+23p.显然a0，a=22+3p.同理，设等边FA2B2的边长为a，则|A2F|=a.A2(p2-32a,12a). 因为点A2在抛物线上，代入抛物线方程，解得a=4-23p.显然a0， a=22-3p.2小结1. 圆锥曲线的“统一性”. 包含研究内容、研究过程和研究方法. 椭圆的标准方程和双曲线的标准方程.2. 数形结合在圆锥曲线的研究中具有重要作用. 几何特征 代数表示 代数表示 几何特征1课后作业1. 当m变化时，指出方程m-1x2+3-my2=(m-1)(3-m)表示的曲线的形状.2. 已知A,B两点的坐标分别是(-1,0)和(1,0). 直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，求点M的轨迹方程.3. 设抛物线的顶点为O，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于B,C两点，经过抛物线上点P且垂直于轴的直线与轴交于点Q. 求证：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.
