1、9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 冶金生产和科学试验中，测得的数据只能达到一定程度的准确性。但对准确性的要求在不同情况下则有所不同，既不能盲目追求过高造成人力和物力的浪费，也不能过低而造成测得数据没有价值，所以对准确性的要求必须适当。进行试验时，首先了解试验所能达到的精度和产生误差的主要因素，以及试验以后科学地分析和处理数据的误差，这对试验水平的提高有一定的指导作用。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 通过了解误差的种类、起因和性质可以抓住提高准通过了解误差的种类、起因和性质可以抓住提高准确度的关键，通过误差分析可以寻来较合适的试验方法确度的关键，通过误差分析可以寻来较合
2、适的试验方法和选择合适的仪器设备和选择合适的仪器设备。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理9.1 误差分析9.1.1代表值及误差 (1)代表值 代表值一般用平均值表示。平均值有算术平均值、均方根平均值、几何平均值等，在冶金试验中常用算术平均值作为代表值。 设x1，x2，.，xn 代表各次观测值，n代表观测次数，则算术平均值 的计算式：9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 (2)误差及误差分类 对于数值集合分布性质特征，常用离散度表示，它是说明以平均值为中心，数值是怎样分布的。如图1-1，当分布曲线形成幅度很窄的陡峭尖峰时（曲线a），表示大部分数值都集中在平均值附近，则离散度小；
3、相反，曲线形成平缓的突起时（曲线b），表示数值分布在较宽的范围内，离散度大。nxnxxxxin 21（9-1）9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 对离散度的表示方法，一般用偏差表示，指观测值与平均值之差，通常所说的误差是指观测值与真值（观测次数无限多时求得的平均值）之差。习惯上常将二者混用而不加区别。图图9-1 9-1 数值分布图数值分布图 图图9-2 9-2 误差正态分布图误差正态分布图9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 误差产生的原因及分类误差产生的原因及分类： 误差有不同的分类方法误差有不同的分类方法，就其性质和产生的原因就其性质和产生的原因，可可将误差分为系统误差、
4、偶然误差和过失误差三种将误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三种。 1）系统误差（恒定误差） 产生原因：l仪表未经校正l测量方法不当l化学试剂纯度不够l观测者的习惯与偏见等而产生 9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 特点：l恒偏于一方l数值的大小按一定规律变化或者固定不变它决定了测量结果的准确性它决定了测量结果的准确性9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 消除（使之减小）办法消除（使之减小）办法：l采用不同的实验技术或不同的实验方法l改变试验条件l调换仪器和试验人员l提高化学试剂纯度9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 2）偶然误差（随机误差） 产生原因：某些无法控制
5、的偶然因素影响的结果。l测量仪器灵敏度的有限性，l温度、压力等无法控制的微小变化 产生的原因一般不详，因而无法控制，但用同一产生的原因一般不详，因而无法控制，但用同一仪器在同样条件下，对一个量做多次测量，若观测次仪器在同样条件下，对一个量做多次测量，若观测次数足够多，则可发现偶然误差完全服从统计规律，数足够多，则可发现偶然误差完全服从统计规律，如图9-2所示。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理图9-2所示曲线称为误差的正态分布曲线，曲线的函数形式为：22221xey 或22xhehy 式中h称为精密度指数, 为标准误差。h与的关系式为：21h9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处
6、理由图9-2可以看出：l误差小的比误差大的出现几率大l大小相同，符号相反的正、负误差出现的几率近于相等 故误差出现的几率与误差大小有关误差出现的几率与误差大小有关，当没有系统误差当没有系统误差时，无限多次测量结果的平均值可以代表真值时，无限多次测量结果的平均值可以代表真值. . 若标准误差为,则图图9-2 9-2 误差正态分布图误差正态分布图9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理误差在内出现的几率为68.3%； 2内出现的几率为95.5%； 3出现的几率为99.7%。 可见误差超过 3出现的几率只有认0.3%，因此多次重复测量中个别数据误差的绝对值大于绝对值大于33时，这个时，这个数值可
7、以舍弃数值可以舍弃。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 3 3）过失误差）过失误差 是一种与实事不相符的误差，主要是由于粗枝大叶和操作不正确等原因所引起，如读错刻度、记录错误、计算错误等。此类误差无规律可寻，只要多加注意、细心操作就可避免。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 (3)误差表示与计算 误差的大小一般用绝对误差绝对误差和相对误差相对误差来表示。 绝对误差与被观测对象的大小无关，以x表示； 相对误差与被观测对象的大小有关，以x%表示。 绝对误差有平均误差、标准误差与方差。 1）平均误差（） 平均误差是测量值xi与平均值 之偏差的平均值， n为测量次数，则计算式为：i
8、d9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 2)标准误差（） 为消除平均误差的缺点，而将偏差给予平方，这样较大的误差会更显著地反映出来，就能更好地表示出数据的离散程度。故标准误差是表示精密度的好方法。在近代科学试验中多采用标准误差，其计算式为：（9-2）ndnxxii（9-3）11)(22ndnxxii9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 3)或然误差（P） 在一组测量数据中若不计正、负号，误差大于或小于P的测量值将各占测量次数的50%，误差落在+P与-P之间的测量次数占总测量次数的一半。也就是说，如果再做一次测量，应有50的几率其偏差小于或然误差P。P的计算式为：（9-4）675
9、. 01675. 02ndPi9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 4)相对误差 以上三种均为绝对误差，为建立绝对误差与被测对象大小的关系而引入了相对误差，其定义式为：（9-5）（9-6）%100 x相对%100 x相对9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 测量结果的精密度可表示为 (或 ），（或）越小，表示测量的精密度越高。有时也用相对误差表示精密度 （或 ）。 不论用绝对误差还是用相对误差来表示，其误差一般只取一位有效数字，最多不超过两位。xx相对x相对x9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理9.1.2 可疑观测值的舍弃可疑观测值的舍弃 在一组试验数据中，有时发现某一
10、观测值与其余观测值相差很大，如果保留这一观测值，则对平均值有很大影响。如果有充足的理由确认此值是由于某种原因引起，则可以舍弃；若没有充足的理由，绝不能单纯为获得试验结果的一致性而随意舍弃。此时可根据误差理论来决定取舍，其中有3准则和乔文涅原理。 其中， 3准则适用于观测次数大于10次。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理例题1测定某矿中Fe2O3的重量百分含量列于表9-2，其中最后一个数值较其它值相差较大，问是否可以舍弃? 表9-2 Fe2O3含量表(重量) 样品号 Fe2O3% l 2 3 4 5 6 50.30 50.25 50.27 50.33 50.34 50.559 9 误差
11、分析与数据处理误差分析与数据处理9.1.3 间接测量中误差的传递 冶金试验中有些物理量可直接测得，有时要利用测量的物理量代入某函数关系式，通过运算而得到所需要的结果，这称为间接测量。 例如，某金属氧化反应的自由能用下式计算：2lnOPRTG 式中温度T和氧的分压 是直接测量值，而G是用已测得的T和 的值代入上述函数关系式求得。 2OP2OP9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 这样，每个直接测量的准确度都会影响最后结果的准确性。由此可以查明直接测量的误差对函数误差的影响情况，从而找出影响函数误差的主要来源，以便选择适当的实验方法和合理配置仪器，以寻求测量的有利条件，因此研究误差的传递是
12、鉴定试验质量的重要依据。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 （1) 1) 平均误差与相对平均误差的传递平均误差与相对平均误差的传递 设有函数 N由u1,u2,un各直接测量值所决定。 若已知测定u1,u2,un时的平均误差分别为u1,u2, un，且足够小，则可N的平均误差及相对平均误差的公式为：),(21nuuufN9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理nunuuNuNuNuN2121nunuunNuNuNuNuuufN212121),(11 1 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 表表9-3 9-3 常见函数平均误差计算公式常见函数平均误差计算公式 9 9 误差分析与数据
13、处理误差分析与数据处理例例9-29-2 以溶剂的凝固点降低测分子量时，分子量以溶剂的凝固点降低测分子量时，分子量(M)(M)以下式计以下式计 算算)(100000TTWWKMABf9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理式中, WB=0.3克(溶质重)，用平均误差WB=0.0002克的分析天平称量；WA=20克(溶剂重)，用平均误差WA=0.05克的粗天平称量； T0为溶剂的凝固点，T为溶液的凝固点，均用准确度为0.002 的贝克曼温度计各测量三次，其值分别为：T0 (5.801， 5.790，5.802)，T(5.500，5.504，5.495)； Kf f为溶剂凝固点降低常数。9 9
14、误差分析与数据处理误差分析与数据处理 Q: 由上述提供的直接测量数据计算出的分子量(M)，其最 大相对误差是多少?9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理1 1 误差分析与数据处理误差分析与数据处理9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 结果表明，测定分子量的最大相对误差为3%。通过上述计算可知，本实验误差主要来自温度差的测量，提高实验准确度的关键在于测温，因此必须采用精密温度计，而称量的精密度已符合要求，继续过分要求称量的精密度是不适宜的。使用粗天平称量溶剂其误差比测温所产生的误差小一个数量级，所以用粗天平符合要求。 9 9 误差分析与数
15、据处理的意义误差分析与数据处理的意义 由此可以看出，若试验前先计算各个观测值的误差及其对最终结果的影响，可以指导选择正确的实验方法和仪指导选择正确的实验方法和仪器设备，并能有意识的抓住测量的关键而得到质量较高的器设备，并能有意识的抓住测量的关键而得到质量较高的结果。结果。 9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 （2) 2) 标准误差的传递标准误差的传递 同理可得标准误差的传递公式，表1-4为常见函数标准误差计算公式。 1 1 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 表表9-4 9-4 常见函数标准误差计算公式常见函数标准误差计算公式 9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理9.29.
16、2试验数据的表示方法试验数据的表示方法 试验数据的表示方法有列表法列表法、作图法作图法、方程式法方程式法三种。这三种方法各有优缺点。一组数据，不一定同时都需要用这三种方法表示，究竟用哪一种方法，视需要和问题的性质而定。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理9.2.1 列表法 列表法是将试验数据中的自变量与因变量的各个数值依一定的形式和顺序对应列出来。 优点优点：简单易作、形式紧凑、数据清楚、便于参考比较，同一表内可以同时表示几个变量间的变化而不混乱。 列表时一般包括表的序号、名称、项目、说明及数据来源等。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理注意事项：注意事项： 表的序号、名称及说
17、明 应按其先后顺序排出序号，并写出简明扼要的名称，一看就知其内容。如果过简不足说明原意时，可在名称下方或表的下方附以说明。表内数据要注明来源。项目 表中每一行和每一列的第一栏要详细写出名称及单位，并尽量用符号代表，表内主项一般代表自变量，付项代表因变量。 9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理数据书写规则 数据为零时记为“0”，数据空缺记为“-”。 同一竖行的数值，小数点要上下对齐。 当数值过大或过小时，应用指数表示。 表内所有数值，有效数字位数应取舍适当，要与试验 的准确度相对应。 必要时要进行数值分度。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理9.2.2 作图法 利用图形表达试验结
18、果，实际上就是用形象来表达科学的语言。 优点优点：能清楚地显示研究结果的变化规律和特点，如极大值、极小值、转折点、周期性、数量的变化速率以及其他奇异性等；形式简明直观便于比较；如果曲线作得足够光滑，可对变数做微分和积分，有时还可利用图形外推求得难以用试验获得的值，用途极为广泛。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理作图法的用途：作图法的用途： (1) 求内插值 (2) 求外推值 (3) 作切线求函数的微商 (4) 求经验方程 (5) 求转折点和极值9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理作图的步骤及原则：作图的步骤及原则： (1) 坐标系的选择 (2) 坐标轴的分度 (3) 坐标轴的
19、标记 (4) 根据数据描点 (5) 联曲线 (6) 写图名9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 坐标轴的分度系指规定坐标轴每一小格所代表的数值，分度应遵循下列原则： 使用直角坐标作图时，习惯上以自变量为横轴，因变量为纵轴。分度的选择应使每一点都能够迅速方便地找到。为使用方便和便于计算，坐标轴每一小格所对应的数值最好为 l、2、5，忌用3、7、9。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理图图9-4 9-4 坐标分度图坐标分度图9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 坐标分度值不一定从0起。在一组数据中，自变量和因变量均有最低值和最高值。分度时，在最小分度不超过试验准确度的情况下
20、，可用低于最低值的某一整数作起点，高于最高值的某一整数作终点，以使作出的图形能占满全幅并稍有余地，且能够明显地表达其变化规律。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理图图9-5 9-5 坐标分度图坐标分度图9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 直线是最易作的图，用起来也最方便。对函数y=f(x)，有时呈直线关系，但在很多情况下不呈直线关系，欲要变成直线关系，可用取对数、倒数等方法。 分度的选择应该使作出的图形(直线或近于直线的曲线)尽可能有近于1的斜率。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理表表9-5 9-5 曲线函数变为直线函数的变换方式曲线函数变为直线函数的变换方式9 9
21、 误差分析与数据处理误差分析与数据处理9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 当数据不够充足，图上点数过少，不足确定自变量和因变量间的对应关系时，最好将各点间用直线连接构成折线图。当数据点较多、完全有可能做出光滑连续曲线时，应遵循以下原则： 尽可能用绘图软件自带的方程拟合，作出的曲线一般应光滑均匀、细而清晰、只具少数转折点。 曲线应尽量与所有的点相接近，不必通过图上各点及端点，但各点在曲线两旁的分布，在数量上应近于相等。 曲线一般不应有含混不清的不连续点或其他奇异点。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理9.2.3 方程式法 用数学经验方程式表达试验结果时，不但方式简单，而且进一步
22、试验设计和理论探讨可以提供依据和线索。数学经验方程式可用图解法和最小二乘法求得。对于多因素影响的函数式，可用正交回归、旋转回归、混料回归等方法求得。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理（1) 1) 图解法图解法 当用试验数据在直角坐标上描点连线后，得到的是一直线，则该直线的方程为： y mx b 式中的斜率m和截距b可用截距斜率法截距斜率法或端值法端值法求得。 许多情况下，用试验数据作出并非直线，而是曲线，此时可判断经验方程式应有的形式，然后再用试验数据验证。为方便起见，常将曲线方程经适当处理而改为直线方程或多项式表达。 9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理（2) 2) 最小二
23、乘法最小二乘法 如果自变量和应变量呈直线关系，由于试验有误差，则依据试验数据所作出的直线只能是一条近似的直线；或者变量间不严格遵循某一直线函数，但从统计规律来看却近似的呈某一直线关系，依据上述情况的试验数据作出的直线，应满足于各点到直线的偏差平方和为最小各点到直线的偏差平方和为最小值值。这种求出尽可能靠近试验点的直线方程的方法称为最小二乘法。9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理 若x代表自变量,y为因变量,m为斜率,b为截距,即 y mx b 用最小二乘法求得最佳直线的斜率和截距的计算式为：22)(xnxxynyxm222)(xnxxyxyxb9 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处
24、理例例9-59-5 用最小二乘法求出表1-6直线函数的经验方程式。 表表9-6 x9-6 x与与y y的关系表的关系表x1.03.05.08.010.015.020.0y5.410.515.323.228.140.452.89 9 误差分析与数据处理误差分析与数据处理解解： x62.0 y175.7 xy2242.0 x2824.0 n=7 设x与y间的直线函数方程式为 ymxb，则50. 20 .82470 .620 .224277 .1750 .62)(222xnxxynyxm00. 30 .82470 .620 .8247 .1750 .22420 .62)(2222xnxxyxyxb
25、故故 y2.50 x3.00科技论文的基本结构由文字和图表组成的科技论文，是科学研究信息的载体。科技论文在学术刊物上发表或在学术会议上讲演，是科研信息传播的主要途径。科技论文一般应包含以下5个部分： 1) 绪论绪论（引言、导论）部分：含课题的背景、文献回顾、问题的提出、研究的目的和意义及本论文的实施方法简介。 2) 试验原理试验原理（理论分析）部分：含课题的基本原理、基本依据或理论基础。 3) 试验与方法部分试验与方法部分：含试验原材料（量及纯度）、仪器设备试验条件及步骤。 4) 结果与讨论部分结果与讨论部分：试验结果可以用表的方式列出条件与结果的对应关系，也可以用图来表示它们之间的关系。分析
26、讨论条件对结果的影响，实验结果与同行的比较，误差来源分析等。 5) 结论部分结论部分：结论是对试验结果的高度概括，要求简练明确。可列出1、2、3点。一般来说，学士论文的字数3万字左右为宜。绪论占全文的1/51/4。摘要400字左右并译为英文。 科技论文文献的著录格式 期刊文献期刊文献：序号 (空一格)主要责任者.文献题名J. 期刊名，年份，卷号（期数）：起止页码. 著著 作作：序号 (空一格)主要责任者（著者）.书名M.出版城市：出版社，出版年.起止页码. 论文集论文集：序号 主要责任者。文章作者.文章题目A.见（英文用in）：论文集名C.出版城市：出版社，出版年.起止页码.学位论文学位论文：
27、序号 主要责任者.论文名D.保存地（城市名）：保存单位，年份. 注：A-论文集中的文章；J期刊；C论文集；M书；D学位论文S标准；P专利；EB/OL电子文档A-Article; J-Journal; C-conference; M-monograph(专著)D-Dissertation(学位论文); S-Standard;P-Patent 8 张守魁,王丹虹.搅拌铸造制备颗粒增强复合材料J .兵器材料科学与工程, 1997 ,20 (6) :35 39.期刊文献 11 陶永华,尹怡欣,葛芦生.新型PID 控制及其应用M.北京:机械工业出版社, 1998. 113.( Tao Y H , Yin
28、 Y X , Ge H S. New PID cont rol and application M . Beijing :China Machine Press , 1998. 113. )书 5 王万顺废旧电池对煤粉助燃作用的研究D.沈阳:东北大学, 2002.(Wang W S. Investigation on the combustion efficiency ofpulverized coal blended with waste battery D . Shenyang :Northeastern University , 2002. )学位论文 3 Luinenburg A W, Onink M , Ritman V A . New physical on2 line model for coiling temperature control A . Proceedings of The 7 th International Conf erence on Steel Rolling ( S T EEL ROLL IN G98) C . Chiba , Japan : The Iron and Steel Institute of Japan , 1998. 87 - 92.举例：论文集
