1、浙江省金华十校2018-2019学年第一学期期末调研考试高二数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在空间直角坐标系中，点与点（ ）A. 关于平面对称 B. 关于平面对称C. 关于平面对称 D. 关于轴对称【答案】C【解析】【分析】利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.【详解】两个点和，两个坐标相同，坐标相反，故关于平面对称，故选C.【点睛】本小题主要考查空间点对称关系，考查理解和记忆能力，属于基础题.2.圆与圆的位置关系是（ ）A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离【答案】A【解析】【分析】计算两
2、个圆的圆心距以及，比较大小后得出正确选项.【详解】两个圆的圆心分别为，圆心距，两个圆半径均为，故，所以两个圆相交.故选A.【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查圆的圆心和半径以及圆心距的计算，属于基础题.3.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.【详解】当“”时，如，故不能推出“” .当“”时，必然有“”.故“”是“”的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题.4.给定两个命题：为“若，则”的逆
3、否命题；为“若，则”的否命题，则以下判断正确的是（ ）A. 为真命题，为真命题 B. 为假命题，为假命题C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题【答案】C【解析】【分析】判断原命题的真假性，得出其逆否命题的真假性.写出的否命题，并判断真假性.由此得出正确选项.【详解】对于原命题显然为真命题，故其逆否命题也为真命题.对其否命题是“若，则”，由于时，故否命题是假命题.所以为真命题，为假命题，故选C.【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查命题真假性的判断，属于基础题.5.设是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ）A. 存在与都垂直的直线，存在与都平行的平面B. 存在与都垂直的直线
4、，不存在与都平行的平面C. 不存在与都垂直的直线，存在与都平行的平面D. 不存在与都垂直的直线，不存在与都平行的平面【答案】A【解析】【分析】画出一个正方体，根据正方体的结构特征，结合线、面平行和垂直的定理，判断出正确选项.【详解】画出一个正方体如下图所示，分别是的中点.由图可知，平面，平面.由此判断A选项正确，本题选A.【点睛】本小题主要考查空间异面直线的位置关系，考查线面平行等知识，属于基础题.6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得函数的导数，然后令求出正确选项.【详解】依题意有，故，所以选D.【点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数
5、计算，考查函数除法的导数计算，属于中档题.7.如图，在空间四边形中，则异面直线与所成角的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过计算出的数量积，然后利用夹角公式计算出与所成角的余弦值，进而得出所成角的大小.【详解】依题意可知, .设直线与所成角为，则，故.所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用空间向量的数量积，计算空间两条异面直线所成角的大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.要求两条异面直线所成的角，可以通过向量的方法，通过向量的夹角公式先计算出夹角的余弦值，再由此得出所成角的大小.8.经过坐标原点的直线与曲线相切于点.若，则
6、A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得函数在上的表达式，利用导数求得切线的斜率，写出切线方程，利用切线方程过原点求出切点的坐标满足的等式，由此得出正确选项.【详解】当时，故，.所以切点为，切线的斜率为，由点斜式得，将原点坐标代入得，即，故选D.【点睛】本小题主要考查经过某点的曲线切线方程的求解方法，考查含有绝对值的函数的解析式，考查利用导数求曲线的切线方程，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.本题的关键点有两个：一个是函数在上的表达式，另一个是设出切点，求出切线方程后，将原点坐标代入化简.9.已知椭圆的右焦点是，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使是等腰直角三角形，则椭圆的
7、离心率不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别根据为直角时，椭圆的离心率，由此得出正确的选项.【详解】当时，代入椭圆方程并化简得，解得.当时，故.当时，即，解得.综上所述，C选项不可能，故选C.【点睛】本小题主要考查等腰直角三角形的性质，考查椭圆离心率的求解方法，属于中档题.10.在正方体中，分别为线段、上的动点，设直线与平面、平面所成角分别是，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在图中分别作出直线与平面、平面所成的角，根据边长判断出，求出的表达式，并根据表达式求得的最小值，也即是的最大值.【详解】设正方体边长为.过作，而，故平面，故.同理过作
8、，得到.由于，故，所以，即.而，当取得最小值时，取得最小值为，即取得最大值为.故选B.【点睛】本小题主要考查直线和平面所成的角，考查三角函数最值的判断与求解，属于中档题.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知直线：，若的倾斜角为，则实数_；若直线与直线垂直，则实数_【答案】 (1). (2). 2【解析】【分析】根据倾斜角求得斜率，由此列方程求得的值.根据两直线垂直的条件列方程，由此解出的值.【详解】当倾斜角为时，斜率为，故.由于直线和直线垂直，所以，解得（时不是直线方程，舍去）.【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率的关系，考查两直线垂直的条件，属于基础题.12.已
9、知函数，则在处的切线方程为_；单调递减区间是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求得的导数，由此求得切线的斜率，并求得切线方程，根据导数求得函数的单调区间.【详解】依题意.，故切线方程为.由，解得，即函数的单调递减区间为.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数求函数的单调区间，属于中档题.13.某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的最长的棱的长度为_；该几何体的体积为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】画出三视图对应的原图的直观图，根据直观图判断出最长的棱，利用椎体体积公式求得几何体的
10、体积.【详解】由三视图可知，原图为四棱锥，画出图像如下图所示.由图可知，为最长的棱长.由三视图可知，故，且四棱锥的体积为.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体边长的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.解题的关键在于根据俯视图为正方形，计算出侧视图的宽，并求得几何体的高.根据的要点是：长对正、高平齐，宽相等.也即俯视图的宽和侧视图的宽是相等的.14.如图，已知抛物线：，则其准线方程为_；过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，若，则_.【答案】 (1). (2). 6【解析】【分析】根据抛物线的方程求得的值，由此求得准线方程.利用抛物线的定义求得点坐标，进而求
11、得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程求得点的坐标，进而求得.【详解】依题意抛物线的方程为，故，所以准线方程为.由于，根据抛物线的定义，代入抛物线方程，求得.所以直线的斜率为，方程为.代入抛物线方程并化简得，解得，根据抛物线的定义可知.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查过抛物线焦点的直线所得弦长问题，属于中档题.抛物线的焦点坐标和准线方程，与的值有关，过抛物线焦点的直线，常用的是利用抛物线的定义来解题.直线和抛物线联立，解方程组可求得交点的坐标.15.若函数在上单调递减，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】由于函数在上递减，利用导函数恒小于或等于零，由此求得
12、实数的值.【详解】依题意，在上恒成立，则需恒成立，有两个相等的实数根，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查除法的导数，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.16.过双曲线：的左焦点作圆的切线，设切点为，延长交抛物线：于点，其中有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据圆心到切线的距离等于半径求得，根据中位线求得且，利用等面积法求得点的纵坐标，代入切线方程求得横坐标.求出抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线方程，化简后求得的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，而，故.所以直线的斜率为，故直线的方程为
13、.由于是的中点，故是三角形的中位线，故且，由等面积法得，解得，代入直线的方程，求得，故.由于抛物线和双曲线焦点相同，故，所以抛物线方程为，将点坐标代入抛物线方程并化简得，即，解得，故双曲线的离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的离心率，属于中档题.17.已知矩形，现将沿对角线向上翻折，若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是_.【答案】【解析】【分析】过作直线，交于，交与，过作，交于.计算出的长，计算折叠后的长，计算出翻折过程中经过的角度，利用弧长公式计算出的运动轨迹的长度.【详解】过作直线，交于，交与，过作，交于.由于，故.
14、在翻折过程中，所以平面，所以.当时，即三角形为等边三角形，.当时，.所以翻折过程中点运动的圆弧对应的圆心角为，故弧长为.【点睛】本小题主要考查翻折问题，考查空间想象能力和动态分析能力，属于中档题.三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.已知平面上有两点，.（1）求过点的圆的切线方程；（2）若在圆上，求的最小值，及此时点的坐标.【答案】（1）和；（2）见解析【解析】【分析】（1）当直线斜率不存在时，与圆相切，符合题意.当直线斜率存在是，设出直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得直线的斜率，由此求得切线方程.（2）用余弦定理求得的表达式，将问
15、题转化为到原点距离的最小值来求解.【详解】（1）斜率不存在时：满足条件；斜率存在时，设直线：，即切线方程为和.（2）在中，由余弦定理可知：，则当最小时，取最小值所以，.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查余弦定理解三角形，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19.如图，在三棱柱中，侧面为菱形.（1）求证：平面平面；（2）如果点分别为，的中点，求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先征得，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）取的中点，连，通过证明平面,平面，证得平面平面，进而证得平面.【详解】（1）证明：三棱柱的侧面为菱形，故，又，且为平面内的两条
16、相交直线，故平面，因平面，故平面平面.（2）如图，取的中点，连又为的中点，故，因平面，平面，故平面，同理，平面.因为平面内的两条相交直线，故平面平面因平面故平面.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，属于中档题.20.如图，在三棱锥中，垂直于平面，点分别为的中点，点为上一点，直线平面.（1）求的值；（2）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）连结交于点，连结，利用线面平行的性质定理得到，利用相似比求得的值.（2）以为原点建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，求得直线和平面所成角的正弦值.【详解】（1）
17、连结交于点，连结，因为平面，又因为平面，平面平面所以那么在中，在中，点分别为的中点，所以，所以（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系不妨设则，设平面的法向量，则即取，得平面的一个法向量又，所以.【点睛】本小题主要考查线面平行的性质定理，考查利用空间向量计算线面角的正弦值，属于中档题.21.已知椭圆：，右焦点，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过焦点的弦分别为，设，若，求的值.【答案】（1）；（2）8【解析】【分析】（1）根据焦点和椭圆上一点的坐标，列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，设出的坐标，根据共线向量的坐标运算求得
18、点坐标的表达式.联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理，同理联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出韦达定理，由此计算得点的坐标，并求得的值.【详解】（1）由已知条件得，解得所以椭圆的方程为（2）设直线：，直线：，由，得，由，得联立得所以同理由，得消去得由，得，代入可得，又得（*）又，代入（*）式可得，解得 或 （舍去），所以 .【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量共线的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.要求椭圆的标准方程，需要通过已知条件，转化为有关的方程组，解方程组求出的值，由此求得椭圆的标准方程，要注意椭圆焦点在哪个坐标轴上.22.已
19、知函数，其中（1）当时，求的最大值和最小值；（2）当时，证明：在上有且仅有一个极大值点和一个极小值点（分别记为），且为定值【答案】（1）的最大值为，最小值为.（2）见解析【解析】【分析】（1）当时，根据函数为奇函数，利用导数研究当时函数的单调性，由此求得函数在上的单调性，进而求得最大值和最小值.（2）将写成分段函数的形式，当利用导数求得函数有一个极大值点和一个极小值点，当时，函数单调递增，没有极值点.由此证得结论成立. 根据的结论，写出关于极值点的韦达定理，计算出为定值.【详解】（1）当时，是奇函数，考虑，求导得，当时，当时，所以在单调递减，单调递增，又根据奇函数的对称性，可知在单调递减，和单调递增，所以的最大值为，最小值为.（2）当时，当时，所以在有2个根，其中，则在和单调递增，在又在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增所以在上有且仅有一个极大值点和一个极小值点因为是方程的两个根，所以，又，所以为定值.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最大值和最小值，考查函数的奇偶性，考查含有绝对值函数的解题策略，考查利用导数研究函数的极值点，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.研究含有绝对值的函数，一般采用写成分段函数的方法，再对每段函数进行研究.
