1、第第4章章 磁流体力学磁流体力学n磁流体力学磁流体力学研究导电流体在电磁场中运动规研究导电流体在电磁场中运动规律的一种宏观理论。律的一种宏观理论。n因为等离子体可以看成因为等离子体可以看成导电流体导电流体，其运动通常又，其运动通常又和电磁场结合在一起，而等离子体的某些现象或和电磁场结合在一起，而等离子体的某些现象或行为只与它的宏观平均性质有关，因此可以近似行为只与它的宏观平均性质有关，因此可以近似地用磁流体力学来描写。地用磁流体力学来描写。n磁流体力学是把磁流体力学是把流体力学与电动力学结合流体力学与电动力学结合起来描起来描述导电流体在电磁场中运动的一种理论，它的基述导电流体在电磁场中运动的一
2、种理论，它的基本方程式包括电动力学方程组和流体力学方程组。本方程式包括电动力学方程组和流体力学方程组。等离子体的流体力学描述等离子体的流体力学描述及磁流体力学方程组及磁流体力学方程组 n等离子体的流体力学描述，通常是用体系的状态等离子体的流体力学描述，通常是用体系的状态量：流体元的量：流体元的 质量密度质量密度 或数密度或数密度 速度速度 能量密度能量密度 或温度或温度 等，等， 这些状态量都是时间这些状态量都是时间t t 和和t t时刻流体元空间位置时刻流体元空间位置r r的函数。要研究这些状态量的时间演化规律，需的函数。要研究这些状态量的时间演化规律，需要建立流体力学方程组要建立流体力学方
3、程组。n流体力学方程组可以从体系的动理学方程的流体力学方程组可以从体系的动理学方程的矩方矩方程程得到；从物理上比较直观的、得到；从物理上比较直观的、唯象的方法唯象的方法导出。导出。现在应用前一种方法推导磁流体力学方程组。现在应用前一种方法推导磁流体力学方程组。( ( ), )t tr( ( ), )nt tr( ( ), )t tu r( ( ), )t tr( ( ), )Tt tr4.1 速度矩及矩方程速度矩及矩方程 1. 速度矩速度矩 建立宏观与微观的联系建立宏观与微观的联系n等离子体中包含有一种以上正电荷离子和电子，等离子体中包含有一种以上正电荷离子和电子，设设类粒子的分布函数为类粒子
4、的分布函数为 它满足动理学方程它满足动理学方程 右边项简化为右边项简化为 ，表示各类粒子间碰撞引，表示各类粒子间碰撞引起的分布函数变化。起的分布函数变化。( , , )ftrv v, cfffftmtFrv vv v/cft（1）速度矩定义：速度矩定义： 设设 ，则速度矩定义为，则速度矩定义为 其中其中 为粒子数密度，符号为粒子数密度，符号表表示对速度分布求平均。示对速度分布求平均。（2）零阶、一阶、二阶和三阶矩）零阶、一阶、二阶和三阶矩 （i）零阶矩零阶矩 质量密度或体密度质量密度或体密度 ( )v v( )( ) ( , , )/( , , )ft dft drrvvvvvvvvvvvv(
5、 ) ( , , )/ ( , )ft dntrrvvvvvv( , , )nft drvvvv( )1v v( , , )( , )ft dntrrvvvv( , ) tnmr（ii）一阶矩）一阶矩 流体平均速度流体平均速度n定义：定义： 表明表明w是无规热运动速度。是无规热运动速度。（iii）二阶矩）二阶矩 2阶张量，阶张量，9个分量个分量 ( )vvvv( , )( , , )tft du rrvvvrvvvr/ ()n,t( , ) tu r( , ) twu rv v0w( )nmvvvvvv()()nmnmPuw uwvvvvnmnmnmuuwwuupn式中热压强张量式中热压强张量
6、n对角项对角项n非对角项是对称的，只有非对角项是对称的，只有3 3个独立分量：个独立分量：n如果体系处于局域热平衡状态，其分布函数为局如果体系处于局域热平衡状态，其分布函数为局域性麦克斯韦分布域性麦克斯韦分布 ( , , )nmmft dpwwwwrvvvv2kkkpnm wklkllkpmn w wp3/22( , , )( , )exp2( , )2 ( , )mmwftntTttrrrrv vn用局域性麦克斯韦分布得用局域性麦克斯韦分布得 的对角项就是热压强。的对角项就是热压强。n粒子系的总动能密度粒子系的总动能密度 第一项为单位体积流体平均运动动能，第二项为第一项为单位体积流体平均运动
7、动能，第二项为热运动动能。热运动动能。 ( , ) ( , )( , )kkpnt Ttptrrr32133kkknm wpnTpp322111132222kkkKnmPnmupvn定义：定义： 为对称张量，为对称张量，只有只有6个非对角项，个非对角项，3个分量是个分量是独立的，其意义为独立的，其意义为粘滞应力张量。粘滞应力张量。（iv）三阶矩三阶矩 有有27个分量，但有明确物理意义的只有其中个分量，但有明确物理意义的只有其中3个个分量：分量： klklklppppI nmnmnmpPuupuuIvvvv ( )mvvvvvvvvn定义：定义：n各项意义：右各项意义：右为流体宏观流动带走的为流
8、体宏观流动带走的总动能总动能；为流体宏观流动时压强张量做的为流体宏观流动时压强张量做的功率功率，当，当 u=0时，这两项都为时，这两项都为0；称称热流矢量热流矢量，即使，即使u=0，也存在，它是由碰撞产生的热量从高温流体元到也存在，它是由碰撞产生的热量从高温流体元到低温流体元的流动。低温流体元的流动。 2211()22nmnmQuwv vvv221122Knmknmnm wuwuuwwwv212nmKQuu pqv vv212nm wqw2. 速度矩方程速度矩方程n在动理学方程中的各项乘以在动理学方程中的各项乘以 ，并对，并对 积分，积分，即可得到一般的速度矩方程。即可得到一般的速度矩方程。n
9、第三项粒子受的力第三项粒子受的力 ( ) v vdv v( )( )( )()( )cfqffdfdddtmtEB=vvv vvvvvvvvvv vvvvvvvv v , cfffftmtFrv vv v()qFEBv v( )( )( )fdfdntttvvvvvvvvvv( )( )( )fdfdnv vvv vvv vv vvv vvv vn上式分部积分的第一项为上式分部积分的第一项为0，这是因为边界条件：，这是因为边界条件：n对洛仑兹力项也可用分部积分方法计算，除边界对洛仑兹力项也可用分部积分方法计算，除边界条件外，还有条件外，还有 ()qfnqfdmm EEv vvvvvvv v v
10、( )0fv v0Bv vv v( )( )qfqfddmmEEvvvvvvvvvvvvn最后的最后的一般速度一般速度矩方程：矩方程： ( )()qfdmBv vvv vvv v()()qnqfdmm BBvvvvvvvvvv( )( )()nqnqnntmmEBvv vvvv vvvvvv ( )cfdtvvvv( ) ()( ) ()qffdmBBvvvvvvvvvvvvvv4.2 等离子体的双流体力学方程等离子体的双流体力学方程 n一般的矩方程中，物理上有意义的只有零阶、一一般的矩方程中，物理上有意义的只有零阶、一阶、二阶三种矩，它们是与质量、动量、能量守阶、二阶三种矩，它们是与质量、动
11、量、能量守恒相联系的。对普通流体，这三种矩方程可得到恒相联系的。对普通流体，这三种矩方程可得到流体力学方程组。流体力学方程组。n对于等离子体，至少含有一种正离子和电子，如对于等离子体，至少含有一种正离子和电子，如果正离子和电子没有达到平衡，这样离子和电子果正离子和电子没有达到平衡，这样离子和电子作为两种不同粒子，就相应有两种不同的流体方作为两种不同粒子，就相应有两种不同的流体方程，称双体力学方程。程，称双体力学方程。 n在计算矩方程碰撞项的贡献时，假定没有粒子的在计算矩方程碰撞项的贡献时，假定没有粒子的电离、复合等情况，即都只发生弹性碰撞。电离、复合等情况，即都只发生弹性碰撞。 （1）粒子数守
12、恒方程（或连续性方程）粒子数守恒方程（或连续性方程） 令令 得得n连续性方程连续性方程 因为只发生弹性碰撞，碰撞过程粒子数守恒，所因为只发生弹性碰撞，碰撞过程粒子数守恒，所以碰撞项以碰撞项 令粒子令粒子质量质量m，则质量密度则质量密度n质量守恒方程质量守恒方程 1()0nnt u/0cftdv vmn()0t u（2）流体元运动方程）流体元运动方程令令 ，一阶矩方程，一阶矩方程n注意：注意：流体元以平均速度流体元以平均速度u 运动所受的洛仑兹力运动所受的洛仑兹力 n碰撞项碰撞项 R为摩擦阻力为摩擦阻力 n最后得最后得流体元的流体元的运动方程运动方程 mv v()nmnmnt uF = Rvvv
13、v()qFEuB()cccfffmdmdmdtttRuwwvvvvvvvvnmnmpuuIvvvv ()nmnmnptuu uFR n利用粒子数守恒方程，流体元利用粒子数守恒方程，流体元运动方程简化运动方程简化为为n左边表示流体元动量变化率，左边表示流体元动量变化率，n右边各项意义是流体元所受的力：右边各项意义是流体元所受的力： nF为电磁场力，为电磁场力， 是热压力，是热压力， 是粘滞力，是粘滞力， R为为粒子与不同粒子与不同粒子弹性碰撞后，粒子弹性碰撞后，粒子失去粒子失去的动量，即流体元受到一个摩擦阻力。注意的动量，即流体元受到一个摩擦阻力。注意同类同类粒子弹性碰撞动量守恒，所以同类粒子间
14、碰撞对粒子弹性碰撞动量守恒，所以同类粒子间碰撞对R无贡献。无贡献。 dmnnpdtuFR p ddtt u（3）能量平衡方程）能量平衡方程 令令由矩方程得由矩方程得最后两项是弹性碰撞的贡献最后两项是弹性碰撞的贡献 212mvKqnQt Q+u E + u R+212Knmv212nmQv vv212mm uv vv21()02m Bv vv vv2211(2)222ccffmdmu+wdttu wvvvvvnQ是是不同类粒子不同类粒子的弹性碰撞引起的能量交换，的弹性碰撞引起的能量交换，因因为弹性碰撞动能守恒，为弹性碰撞动能守恒，同类粒子间的碰撞无贡献。同类粒子间的碰撞无贡献。n总动能守恒方程总
15、动能守恒方程( (能量平衡方程能量平衡方程) )n右右从流体元表面流入的净能流；从流体元表面流入的净能流；电场对流体电场对流体元做的功率即欧姆加热功率；元做的功率即欧姆加热功率；碰撞摩擦阻力做碰撞摩擦阻力做的功率；的功率；不同类粒子碰撞交换的能量。不同类粒子碰撞交换的能量。 212ccffmdm wdttuwvvvv=+Qu R2c1d2fQm wtv vKqnQt Q+u E + u R+n应用粒子数守恒方程、运动方程，应用粒子数守恒方程、运动方程，能量平衡方能量平衡方程简化为程简化为（热能平衡方程热能平衡方程）n右方各项的物理意义：右方各项的物理意义：内摩擦（粘滞力）做的内摩擦（粘滞力）做
16、的功率；功率；热传导；热传导；碰撞引起的热能交换。如果，碰撞引起的热能交换。如果，u= =0则表明流体元的温度变化仅来源于热传导和则表明流体元的温度变化仅来源于热传导和碰撞引起的热交换。碰撞引起的热交换。n上面方程的简化计算并不难，但比较冗长。上面方程的简化计算并不难，但比较冗长。n令令 直接进行计算可能更简便些直接进行计算可能更简便些。 但在计算中应当但在计算中应当注意注意： 32dTnQdt puq21()( )2mwuwv v( , ) tu = u rn各项计算结果如下：各项计算结果如下：n ( )( )( )fdffdtttwwwvvvv213( )22mwTw3221( )1122
17、iiimmuttt wuv vv()()0iiiiiiiiuumumutt vvn( )()fdffdwvvvvvvvvvv( )( )nnwwvvvv221131( )()222mwmwTnwuwuqvvvv21( )()2jijjijjijijiiumumuxx wv vvvv v11()()jjiijijijijiiuum uw wpxnxn pu 第第1项项=0，因为，因为 第第2项项=0，因为，因为 出现两次：出现两次：2( )1()02iiiiiiimumu wv vvvv2( )1()()()2iiiiimu wBBvvvvv vvv()()()0iiiiiiiiimwmwmwB
18、uBwBv v0iwjiw w0ijjiwww wn碰撞项碰撞项n将以上各项计算结果代入矩方程就可以得到热能将以上各项计算结果代入矩方程就可以得到热能形式的平衡方程形式的平衡方程 212cfmwdQt=v v32dTnQdt puq等离子体双流体方程组等离子体双流体方程组 n加上加上角标角标03()2nntdm npndtdTnQdt uuFRpuq n受的力场：受的力场：n其中其中nE0和和B0是外场，是外场，E1和和B1为等离子体本身的电荷、为等离子体本身的电荷、电流产生的场，称为波场。波场是与双流体方程电流产生的场，称为波场。波场是与双流体方程耦合的麦克斯韦方程组确定。耦合的麦克斯韦方程
19、组确定。qmFEuB01EEE01BBB Bddtt un波场满足波场满足麦克斯韦方程组：麦克斯韦方程组：10111110/0q ntn qt EBBEEBun由动理学方程求速度矩得到的双流体力学方程组由动理学方程求速度矩得到的双流体力学方程组是是严格的、精确的，但是它不封闭严格的、精确的，但是它不封闭。在求每一阶。在求每一阶矩方程时，总含有更高一阶矩的分量，所以无论矩方程时，总含有更高一阶矩的分量，所以无论如何增加矩方程的阶数，方程组都不可能封闭。如何增加矩方程的阶数，方程组都不可能封闭。n在一定条件下，略去高阶矩，或高阶矩用低阶矩在一定条件下，略去高阶矩，或高阶矩用低阶矩表示，这样才能获得
20、封闭的矩方程组。表示，这样才能获得封闭的矩方程组。 n例如，对于冷等离子体，因热能很小，压强张量例如，对于冷等离子体，因热能很小，压强张量和热流矢量都可以忽略，即和热流矢量都可以忽略，即 ，这样，这样高阶矩被截断，方程组可以闭合。另一种情况，高阶矩被截断，方程组可以闭合。另一种情况，碰撞频繁或占优势，流体接近平衡的麦克斯韦分碰撞频繁或占优势，流体接近平衡的麦克斯韦分布，布， 和和 q 都是微小的量，可以用都是微小的量，可以用Chapman-Enskog展开方法截断。展开方法截断。方程组就可封闭方程组就可封闭 。 0,0ijipq 封闭的双流体方程组封闭的双流体方程组n上面方程组中含有独立未知函
21、数：上面方程组中含有独立未知函数：n、u、T(=i,e)共共10个，个， 不是独立的，正好方不是独立的，正好方程数目也程数目也10个个。 ()032nntdn mpndtdTnpQdt uuFRupn Tn波场波场E1、B1的麦克斯韦方程组，再加上电荷连续的麦克斯韦方程组，再加上电荷连续性方程，性方程，E1与电流密度与电流密度 j 的欧姆定律，这样共有的欧姆定律，这样共有E1、B1 、e（电荷密度）、（电荷密度）、 j（电流密度）共（电流密度）共10个未知函数，而相应的也有确定这些函数的个未知函数，而相应的也有确定这些函数的10个个方程。因此方程。因此双流体方程组及与电磁场的耦合共有双流体方程
22、组及与电磁场的耦合共有20个方程，确定个方程，确定20个未知函数。个未知函数。n在双流体方程组中，如果只考虑外场作用，而忽在双流体方程组中，如果只考虑外场作用，而忽略波场略波场E1、B1，这样就不需要与之耦合的麦克斯，这样就不需要与之耦合的麦克斯韦方程组，于是就变成韦方程组，于是就变成输运方程组输运方程组。n如果忽略碰撞项，同时也不考虑粘滞力，而且取如果忽略碰撞项，同时也不考虑粘滞力，而且取 Ti=Te=常量常量, ,只考虑波场的作用只考虑波场的作用，这样需保留波场，这样需保留波场的麦克斯韦方程组，于是就得到描述等离子体波的麦克斯韦方程组，于是就得到描述等离子体波的双流体方程组。的双流体方程组
23、。 4.3 磁（单）流体力学方程磁（单）流体力学方程 n当等离子体中的电子和离子之间有很强的耦合，当等离子体中的电子和离子之间有很强的耦合，电中性条件上总是满足，而且研究的问题随时间电中性条件上总是满足，而且研究的问题随时间变化很缓慢，离子、电子的流动速度都小于离子变化很缓慢，离子、电子的流动速度都小于离子热运动的速度，这样可以把电子、离子看成一种热运动的速度，这样可以把电子、离子看成一种流体，即单流体模型，它所满足的运动方程组称流体，即单流体模型，它所满足的运动方程组称单流体方程，或称单流体方程，或称磁流体力学方程磁流体力学方程。n磁流体力学方程但可以从双流体方程组导得。磁流体力学方程但可以
24、从双流体方程组导得。 n定义单流体的宏观物理量：定义单流体的宏观物理量： 粒子数密度粒子数密度 质量密度质量密度 电荷密度电荷密度 质心速度质心速度 热运动速度热运动速度n注意：注意：热运动速度是热运动速度是以质心运动速度以质心运动速度 u作参考的作参考的 ( , )ientnnnr( , )iieetmnm nm nr( , )eiietn z en en qr( , )/iiieeeiieemnm ntm nm nmnm nuuu ru0wuv vn注意：注意：热运动速度是热运动速度是以质心运动速度以质心运动速度 u作参考的作参考的n压强张量压强张量 对角项分量对角项分量n总压强张量总压强
25、张量 其中其中 （两种粒子温度相同）（两种粒子温度相同）n热流矢量热流矢量n总热流矢量总热流矢量 00wuu00000m nppw w0pn T0ppp0ppn TnT000201()2m nwqw0qq qn单流体速度矩的表示式单流体速度矩的表示式（1）（2） m npuuv vv v00(m nm nu+ wu+ wv vv v)0()m npu uuuuu2001122nmnmu+ wu+ wv() ()0231()22pm nm n uuuu22131222nmpuv（3）n根据以上定义和速度矩的计算结果，可以应用双根据以上定义和速度矩的计算结果，可以应用双流体方程，对不同种类粒子求和
26、得到单流体方程。流体方程，对不同种类粒子求和得到单流体方程。 000231()22pm nm n uqupuuuuuu20001122nmnmuwuwuwv vv() () ()22131222nmpuqup uuv vvn为了计算方便，双流体方程组取为了计算方便，双流体方程组取方程方程(1)(1)乘上乘上m，并对，并对=i,e两式相加得两式相加得n单流体的连续性方程单流体的连续性方程 22()0 () 1122anntm nm nntnmnmq nQt uuFRuERuv vv vv vvv ()0tu n类似方法，由方程（类似方法，由方程（2）n得得n因为总动量守恒因为总动量守恒n电中性电
27、中性n方程变为方程变为n最后最后得得运动方程运动方程 ()ntupuuFR ()m nm nntuFRv vv v 0ieeiRRR()nn qFE + uBjB0n qn qju()tupuujB ddt upjB 由方程由方程(3)求和得求和得单流体能量平衡方程单流体能量平衡方程碰撞项（总动能守恒）碰撞项（总动能守恒） 方程左方第方程左方第1项为流体元总能量的变化率；第项为流体元总能量的变化率；第2项项 经流体元表面流出去的净能流，它分三个部分：经流体元表面流出去的净能流，它分三个部分：热传导流出的能量、流出的总能流和压强张量做热传导流出的能量、流出的总能流和压强张量做的功率，在右方为电场
28、做的功率（欧姆加热）的功率，在右方为电场做的功率（欧姆加热）221122anmnmq nQt uERuv vvv2231312222puput qup uj E2102cfmdQt=uRv vvn现在求得的现在求得的3个单个单流体方程，仍存在速度矩不封流体方程，仍存在速度矩不封闭问题。闭问题。n对于单流体模型，等离子体行为变化更为缓慢对于单流体模型，等离子体行为变化更为缓慢，其特征时间远大于粒子间平均碰撞时间，因而碰其特征时间远大于粒子间平均碰撞时间，因而碰撞更加充分，使不同成分的流体元都处在以质心撞更加充分，使不同成分的流体元都处在以质心运动速度为运动速度为u的局部热平衡状态。因此可以应用的
29、局部热平衡状态。因此可以应用局域性平衡的麦克斯韦速度分布局域性平衡的麦克斯韦速度分布零级近似得零级近似得n如果实际分布函数与平衡态偏离不远，结果仍近如果实际分布函数与平衡态偏离不远，结果仍近似成立，这样单流体方程组就是封闭的。似成立，这样单流体方程组就是封闭的。3/22()(,)exp22mmfn,TnTTuuv v0q0 pnTn能量方程简化，计算是繁琐的，这里省略，其结能量方程简化，计算是繁琐的，这里省略，其结果为果为n两边再乘以两边再乘以 后得后得单流体能量方程单流体能量方程n运动导体的欧姆定律为运动导体的欧姆定律为n再加上电磁场中麦克斯韦方程组，最后得磁（单）再加上电磁场中麦克斯韦方程
30、组，最后得磁（单）流体力学方程组流体力学方程组 5/35/32()3dpdtjEuB35()22dp dpdtdtjEuB5/3()cjEuB磁（单）流体力学方程组磁（单）流体力学方程组 5/35/320()0 2() 3() cctdpdtdpjdtt uujBjEuBBE =Bj (连续性方程) (连续性方程) (运动方程) (运动方程) (能量方程) (能量方程) (欧姆定律) (欧姆定律) (麦克斯韦方程组) (麦克斯韦方程组) (麦克斯韦方程组) (麦克斯韦方程组)n共有共有14个方程和需要由方程确定的个方程和需要由方程确定的，u，p，j，E，B等等14个未知物理量，所以方程组是闭合
31、的。个未知物理量，所以方程组是闭合的。n现在对这些基本方程式作一些说明。在运动方程现在对这些基本方程式作一些说明。在运动方程和能量方程中和能量方程中 是运流导数，即跟随流体元运动的时间微分算符是运流导数，即跟随流体元运动的时间微分算符n在麦克斯韦方程组中，因为在磁流体中场的变化在麦克斯韦方程组中，因为在磁流体中场的变化比较缓慢，忽略了位移电流项；如果场的变化较比较缓慢，忽略了位移电流项；如果场的变化较快，则位移电流项要保留。两个散度方程只作为快，则位移电流项要保留。两个散度方程只作为初始条件，在这里没有被列入。在有些问题中，初始条件，在这里没有被列入。在有些问题中，由于正负电荷分离，破坏了电中
32、性，存在空间电由于正负电荷分离，破坏了电中性，存在空间电荷密度，则方程应保留荷密度，则方程应保留 。这样增加了一。这样增加了一个方程，相应地也增加了一个未知量电荷密度。个方程，相应地也增加了一个未知量电荷密度。ddtt u0/e E理想磁流体力学方程组理想磁流体力学方程组 n无粘滞性、绝热、理想导体（无粘滞性、绝热、理想导体（ ）5/300outdpdtdpdtt ujBBuBBjc 0（）EuB(0 j理想导体理想导体(）绝热方程绝热方程4.4 磁压强与磁应力磁压强与磁应力n单位体积导电流体所受的磁力单位体积导电流体所受的磁力 其中其中 称麦克斯韦应力张量（磁场部分）。称麦克斯韦应力张量（磁
33、场部分）。 在等离子体物理中称在等离子体物理中称磁应力张量磁应力张量n磁力的一种新解释。取一体积磁力的一种新解释。取一体积V 01fjBBB 200112BBBT20112BTBBITVVsndVdVdSdSnfTTT n磁力的一种新解释。取一体积磁力的一种新解释。取一体积Vn式中式中 代表法向矢量为代表法向矢量为n的单位面元上的应力，称磁的单位面元上的应力，称磁应力，其中第应力，其中第1项表示沿磁力线方向、大小项表示沿磁力线方向、大小B2/0为的张力，第为的张力，第2项是大小为项是大小为B2/20 、方向与、方向与n相反相反的各向同性的磁压强，因此流体所受的磁力等效的各向同性的磁压强，因此流
34、体所受的磁力等效于各向同性的磁压强（于各向同性的磁压强（B2/20）和沿磁力线方向）和沿磁力线方向张力（张力（B2/0）之和。）之和。n磁力线好像拉紧的橡皮筋，沿力线方向是张力，磁力线好像拉紧的橡皮筋，沿力线方向是张力，磁场增强张力也增大。如果磁力线是弯曲的，这磁场增强张力也增大。如果磁力线是弯曲的，这个张力就可产生一指向磁力线曲率中心的恢复力。个张力就可产生一指向磁力线曲率中心的恢复力。VVsndVdVdSdSnfTTT 20112nBnnTB BnTn在运动方程中考虑动力压强作用，流体总的受力在运动方程中考虑动力压强作用，流体总的受力n新定义的新定义的 为流体所受的为流体所受的总的应力张量
35、总的应力张量。n如果如果B沿沿z轴方向，则总应力张量可以表示为轴方向，则总应力张量可以表示为n磁流体所受的总应力为各向同性的总压强磁流体所受的总应力为各向同性的总压强p*和沿和沿磁力线方向的张力磁力线方向的张力 pp jBITT200/2/ppB TITIBBT202020/2000/2000/2pBpBpB T*20/2ppB20/Bn流体热压强与磁压强之比流体热压强与磁压强之比是磁流体力学一个重是磁流体力学一个重要无量纲参量，称要无量纲参量，称值值n值反映了磁约束的性能，值反映了磁约束的性能， 值越高，实现约束的代值越高，实现约束的代 价就越低，同时值也反映价就越低，同时值也反映 等离子体
36、物理状况。等离子体物理状况。 20/2pB4.5 磁场的冻结与扩散磁场的冻结与扩散 n导电流体与磁场相互作用的重要性质导电流体与磁场相互作用的重要性质磁场的磁场的冻结与扩散效应。冻结与扩散效应。 由麦克斯韦方程组由麦克斯韦方程组 欧姆定律欧姆定律 消去消去 j ，得，得0 E0 Bt BE0 BjcjEuB01c EuBBn两边求旋度，并假设两边求旋度，并假设 为常数，得为常数，得 称感应方程称感应方程 量纲与流体力学中的粘滞系数相同，所以称为量纲与流体力学中的粘滞系数相同，所以称为磁粘滞系数。磁粘滞系数。 n下面分两种极端情况，分别讨论感应方程右方两下面分两种极端情况，分别讨论感应方程右方两
37、项的物理意义。项的物理意义。 c2mtBuBB01/mc m1. 磁场的冻结磁场的冻结 n假设等离子体是理想导体假设等离子体是理想导体， 则则感应方程感应方程变为变为 称为冻结方程。因为由这个方程可以证明如下两称为冻结方程。因为由这个方程可以证明如下两条定理：条定理：n定理定理1 1 通过和理想导电流体一起运动的任何封闭通过和理想导电流体一起运动的任何封闭回路所围曲面的磁通量是不变的。回路所围曲面的磁通量是不变的。n定理定理2 2 在理想导电流体中，起始位于一根磁力线在理想导电流体中，起始位于一根磁力线上的流体元，以后也一直处在这根磁力线上。上的流体元，以后也一直处在这根磁力线上。 c 0mt
38、 BuBn定理定理1 1 证明：证明：任意取一与流体一起运动的回路任意取一与流体一起运动的回路C，回路上的线元回路上的线元dl与流体一起运动时，单位时间切与流体一起运动时，单位时间切割磁力线引起的磁通变化为割磁力线引起的磁通变化为 随流体一起运动时，闭合回路随流体一起运动时，闭合回路 C所围面积的磁通量变化率所围面积的磁通量变化率n得证（得证（等于零是利用了冻结方程等于零是利用了冻结方程 ）n定理定理1表明：不管外界磁场如何变化，随着理想表明：不管外界磁场如何变化，随着理想导电流体一起运动的任何闭合回路所围的磁力线导电流体一起运动的任何闭合回路所围的磁力线数目是不变的。数目是不变的。ddulB
39、BulsscdddSdSddtdttnnBBBul0sdStn BBun定理定理2 证明：证明：由冻结方程由冻结方程n应用连续性方程和应用连续性方程和 得得 改写为改写为 上式结果的意义，实际上是证明了定理上式结果的意义，实际上是证明了定理2 2。 下面进行说明：下面进行说明： t BuBBuuBuBBuddtt uu0 Bdddtdt BBBuddt BBu设在一根磁力线上取一流体物质线元设在一根磁力线上取一流体物质线元 ，线元一，线元一端流速为端流速为u，另一端为，另一端为 ，因此单，因此单位时间流体线元的变化率位时间流体线元的变化率 两方程相比，两方程相比， 与与 B/满足相同的时间演化
40、方程。满足相同的时间演化方程。这表明，如果初始时矢量这表明，如果初始时矢量 与与B/平行，则以后也平行，则以后也保持平行，而且它们的长度也成比例地变化。也保持平行，而且它们的长度也成比例地变化。也就是说，开始时如果就是说，开始时如果 在一根磁力线上（与在一根磁力线上（与B/平行），以后任何刻也都处在这根磁力线上。平行），以后任何刻也都处在这根磁力线上。以上两个定理说明：以上两个定理说明：在理想导电流体中，不仅与流在理想导电流体中，不仅与流体一起运动的回路所包围的磁力线数目不变，而体一起运动的回路所包围的磁力线数目不变，而且物质线元只能沿同一根磁力线运动。且物质线元只能沿同一根磁力线运动。 l
41、uuluddt llulddt BBulln磁场冻结现象：磁场冻结现象：流体沿磁力线方向运动是自由的，流体沿磁力线方向运动是自由的，如果流体有垂直于磁力线方向的运动，则磁力线也如果流体有垂直于磁力线方向的运动，则磁力线也要随着流体物质一起运动。就好像要随着流体物质一起运动。就好像磁力线被磁力线被“冻结冻结”在理想导电流体中在理想导电流体中，或者是理想导电流体物质粘在，或者是理想导电流体物质粘在磁力线上。磁力线上。n物理上理解物理上理解：当导体有切割磁力线的相对运动时就：当导体有切割磁力线的相对运动时就产生感应电场和感应电流，感应电流的方向使它产产生感应电场和感应电流，感应电流的方向使它产生的磁
42、场来对抗原来磁场的变化。对于理想导体，生的磁场来对抗原来磁场的变化。对于理想导体，因为电导率趋于因为电导率趋于，只要有感应电场，引起的感应电，只要有感应电场，引起的感应电流就无限大。因此在理想导体中就不允许存在感应流就无限大。因此在理想导体中就不允许存在感应电场，即电场，即不允许导电流体有切割磁力线的相对运动不允许导电流体有切割磁力线的相对运动，所以磁力线被冻结在理想导电的流体中。所以磁力线被冻结在理想导电的流体中。n高温等离子体高温等离子体是电导率很大的流体，在其中的磁场是电导率很大的流体，在其中的磁场就有就有“冻结冻结”现象。原来在等离子体外的磁场，也现象。原来在等离子体外的磁场，也就难以
43、进入等离子体内。就难以进入等离子体内。2. 磁场的扩散磁场的扩散 n电导率有限，并假定流体电导率有限，并假定流体静止静止不动不动，感应方程变为感应方程变为 这就是磁场的这就是磁场的扩散方程扩散方程。它说明当。它说明当电导率电导率有限时，有限时，磁力线不完全冻结在等离子体中，等离子体中的磁磁力线不完全冻结在等离子体中，等离子体中的磁场会随时间衰减，即磁场从强的区域向弱的区域扩场会随时间衰减，即磁场从强的区域向弱的区域扩散。散。n估算磁场从等离子体中扩散出去的特征时间（磁扩估算磁场从等离子体中扩散出去的特征时间（磁扩散时间或磁衰减时间）散时间或磁衰减时间） 22mmtBuBB =Bn设原来磁场集中
44、在线度为设原来磁场集中在线度为L的等离子体区域的等离子体区域n扩散方程近似地为扩散方程近似地为n方程的解方程的解n磁扩散时间或衰减时间磁扩散时间或衰减时间n电导率越大，磁场衰减越慢，如果电导率为无穷，电导率越大，磁场衰减越慢，如果电导率为无穷，则磁场不衰减（冻结）。对于有限电导率的流体，则磁场不衰减（冻结）。对于有限电导率的流体，如果它的特征长度如果它的特征长度L越大，则磁场衰减也越慢。越大，则磁场衰减也越慢。对于宇宙等离子体，因为它的线度对于宇宙等离子体，因为它的线度L很大，所以很大，所以衰减时间就特别长。（见表衰减时间就特别长。（见表4.5.1） 22/BB L /0dtB tBe220d
45、mcLL 22/mdBBB LBt 3. 横越磁场扩散与玻姆扩散横越磁场扩散与玻姆扩散 n前面研究了两种极端情况效应，即磁场冻结与磁前面研究了两种极端情况效应，即磁场冻结与磁场扩散，实际上两项效应都存在。场扩散，实际上两项效应都存在。n现在研究稳态情况下，现在研究稳态情况下，垂直磁场方向等离子体的垂直磁场方向等离子体的定向流动，即横越磁场扩散定向流动，即横越磁场扩散。方程为。方程为 因为因为 ， 近似常量，则得（不是唯一的）近似常量，则得（不是唯一的）2()mtBB+uB ()()()0m BBuB0 Bm()m uBBn上式两边同上式两边同B，得得稳态时稳态时 流体运动方程流体运动方程假定电
46、子、离子密度相同，假定电子、离子密度相同，电子温度与离子温度不同，电子温度与离子温度不同，则则 02221()()mmcBBB uBBBjjB0dpdt ujBp jB21cpB u()iepn TTeinnn2()iecTTnB un以后可以证明，等离子体电导率以后可以证明，等离子体电导率 式中式中 为电子与离子碰撞频率为电子与离子碰撞频率 这是典型的扩散方程，这是典型的扩散方程，u为横向扩散流速度，为横向扩散流速度， D为横向扩散系数。为横向扩散系数。n结果表明，要维持稳态磁场，一定要存在横越磁结果表明，要维持稳态磁场，一定要存在横越磁场的稳定扩散流。横向扩散系数与磁场强度的平场的稳定扩散
47、流。横向扩散系数与磁场强度的平方成反比，通常称这种扩散为方成反比，通常称这种扩散为经典扩散经典扩散。只要磁。只要磁场场B足够大，则扩散系数就很小。足够大，则扩散系数就很小。 2/ceeinemeinDn u22()eeiiemTTDe Bn实验发现，横向扩散系数比经典扩散高得多。在实验发现，横向扩散系数比经典扩散高得多。在20世纪世纪40年代，年代，Bohm等人就注意到磁约束等离子等人就注意到磁约束等离子体中反常扩散现象。他发现横向扩散系数是与磁体中反常扩散现象。他发现横向扩散系数是与磁场强度成反比。场强度成反比。 Bohm给出一个半经验的扩散系数给出一个半经验的扩散系数公式：公式： DB称玻
48、姆扩散系数，后来许多实验结果都相符合，称玻姆扩散系数，后来许多实验结果都相符合，因此就把这种因此就把这种反常扩散称为反常扩散称为Bohm扩散扩散。n玻姆扩散系数比经典扩散系数大几个量级。后来玻姆扩散系数比经典扩散系数大几个量级。后来对玻姆扩散机制有许多研究，也有几种不同解释，对玻姆扩散机制有许多研究，也有几种不同解释，如湍流电场的存在、粒子和电场涨落、存在不对如湍流电场的存在、粒子和电场涨落、存在不对称电场导致指向器壁的电漂移流等。目前，很多称电场导致指向器壁的电漂移流等。目前，很多实验的扩散系数已经比实验的扩散系数已经比Bohm扩散系数低得多。现扩散系数低得多。现在都把玻姆扩散系数作为估计反
49、常扩散的上限。在都把玻姆扩散系数作为估计反常扩散的上限。116eBTDeB4.6 磁流体平衡与箍缩效应磁流体平衡与箍缩效应 1. 磁流体平衡磁流体平衡n要实现等离子体的磁约束，首先要实现平衡。要实现等离子体的磁约束，首先要实现平衡。 当磁流体的每一小体积元所受的合力为当磁流体的每一小体积元所受的合力为0 0时，则时，则可实现平衡。因此，运动方程可实现平衡。因此，运动方程n等离子体平衡条件等离子体平衡条件n只有电流洛仑兹力与压强梯度相等时，等离子体只有电流洛仑兹力与压强梯度相等时，等离子体才能达到平衡。才能达到平衡。 0dpdt ujBp jBn由平衡条件得到由平衡条件得到 平衡时磁力线和电流线
50、都应在等压面上。平衡时磁力线和电流线都应在等压面上。n一般等离子体都是中间密度大，而到边缘密度减一般等离子体都是中间密度大，而到边缘密度减小直到小直到0 0，所以等离子体流体元受的压力（，所以等离子体流体元受的压力（ ）是由轴心垂直等压面向外，而流体元上的电流受是由轴心垂直等压面向外，而流体元上的电流受的洛仑兹力（的洛仑兹力（ ）是垂直等压面向里，只有）是垂直等压面向里，只有这两种力相互抵消才能达到平衡，所以这两种力相互抵消才能达到平衡，所以( )( )就是磁场对等离子体施加的约束力。就是磁场对等离子体施加的约束力。 0p B0p jp Bj jBj jn如果磁力线是直线而且互相平行，这时平衡
