1、 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球十人依次从袋中各取一球(不放回不放回)，问，问第一个人取得红球的概率是多少？第一个人取得红球的概率是多少？第二第二 个人取得红球的概率是多少？个人取得红球的概率是多少？1.4 条件概率条件概率若已知第一个人取到的是白球，则第二个人若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？取到红球的概率是多少？已知事件已知事件A A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B B发生的概发生的概率称为率称为A A条件下条件下B B的条件概率，记作的条件概率，记作P(B|A)P(B|A)若已知第一个人取
2、到的是红球，若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是则第二个人取到红球的概率又是多少？多少？ 设袋中有设袋中有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现从袋中任意抽取两次，每个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，次取一个，取后不放回，（1 1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; ; （2 2）求第二次取到红球的概率）求第二次取到红球的概率（3 3）求两次均取到红球的概率）求两次均取到红球的概率解：设解：设A A第一次取到红球第一次取到红球,B,B第二次取到红球第二次取到红球41)|() 1 (ABP52231
3、2)()2(25PBP10112)()3(25PABP这就是利用缩减的样本空间来做的这就是利用缩减的样本空间来做的一、条件概率一、条件概率例例1S=ABA A第一次取到红球第一次取到红球, ,B B第二次取到红球第二次取到红球显然，若事件显然，若事件A、B是古典概型的样本空间是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中中的两个事件，其中A含有含有NA个样本点个样本点,AB含有含有NAB个样本点，则个样本点，则AABNNABP)|(称为称为事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条件概率发生的条件概率一般地，设一般地，设A、B是是S中的两个事件中的两个事件，则，则 )()(APABPSNN
4、SNNAAB()( | )( )P ABP B AP A“条件概率条件概率”是是“概率概率”吗？吗？条件概率的性质条件概率的性质:(P(A) 0)(1) P(B|A) 0(2)P(S|A)=1(3)对一列两两互不相容的事件对一列两两互不相容的事件 A1, A2 , , 有有P( A1 A2 |A) P(A1|A) P(A2|A)+ 设设A,B,CA,B,C是样本空间是样本空间S S中的三个事件中的三个事件, ,且且P(C)0,P(C)0,试用试用概率的运算性质证明概率的运算性质证明: :P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(A
5、B|C)()()(| )( )( )(:)()()()()()( )( )( )( )( | )(#| )(| )P A BCP ACBCP A B CP CP CP ACP BCP ABCP ACP BCP ABCP CP CP CP CP A CP B CP AB C证例例2 条件加法公式条件加法公式 而而 AP 86 ABP ABP 所求概率为所求概率为解：解：设设 A= 3个小孩至少有一个女孩个小孩至少有一个女孩 B= 3个小孩至少有一个男孩个小孩至少有一个男孩 768786 ABP所以所以 878111 AP APABP 已知某家庭有已知某家庭有3 3个小孩，且至少有一个是女孩，个小
6、孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率求该家庭至少有一个男孩的概率例例 3 3 用公式法求条件概率用公式法求条件概率一盒中混有一盒中混有100100只新只新 , ,旧乒乓球，各有红、白两色，旧乒乓球，各有红、白两色，分分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010解：设解：设A A从盒中随机取到一只红从盒中随机取到一只红球球. B. B从盒中随机取到一只新球从盒中随机取到一只新球. 60AN40ABN32)|(AABNNABP这就是利用缩减的样本空间来
7、做的这就是利用缩减的样本空间来做的例例4 缩减的样本空间法求概率缩减的样本空间法求概率设设A、B S，P（A）0,则则 P(AB)P(A)P(B|A)上式就称为事件上式就称为事件A、B的概率乘法公式。的概率乘法公式。 上式还可推广到三个事件的情形：上式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) 一般地，有下列公式：一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1) 二、乘法公式二、乘法公式例例5 5 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从盒中任取一只个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只
8、与所取之球颜色，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球相同的球，若从盒中连续取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取得次取得白球、第白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解：设解：设A Ai i为第为第i i次取球时取到白球，次取球时取到白球，i=1,2,3,4,i=1,2,3,4,则则312(|)37P AA A4123(|)48P AA A A125()P A 213|6()AP A1234()370P A A A A作业作业4.4可参照此例题可参照此例题)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPA
9、APAPAAAAP例例5 利用乘法公式求交集的概率利用乘法公式求交集的概率解解：令令 Ai = “第第 i 次抽到合格品次抽到合格品.” i = 1, 2, 3 则所求的事件为：则所求的事件为：321AAA123121312()() (|) (|)P A A AP A P AA P AA A1099010099980083. 0例例6 6一批零件共一批零件共100100个，其中有个，其中有1010个次品，依次做个次品，依次做不放回的抽取三次，求第三次才抽到合格品的概率？不放回的抽取三次，求第三次才抽到合格品的概率？例例6 利用乘法公式求交集的概率利用乘法公式求交集的概率定义：定义： 事件组事件
10、组A1，A2，An (n可为可为 )，称为，称为样本空间样本空间S的一个划分，若满足：的一个划分，若满足：.,.,2 , 1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijiniiA1A2AnB三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式A A1 1B B， A A2 2B B，A An nB B是是B 的一个划分。的一个划分。例：例：S=南理工全体本科生南理工全体本科生 Ai=“南理工本科南理工本科i i年级学生年级学生” i i=1,2,3,4 “南理工本科生中男学生南理工本科生中男学生” “南理工本科生中女学生南理工本科生中女学生”.组成样本空间一个划分AA与S,A:例 概率论意
11、义概率论意义：若：若A1，A2，An是是S的一个划分，的一个划分，则，则， A1，A2，An任意两个不可能同时发生但任意两个不可能同时发生但必有一个发生。必有一个发生。定理定理1 1、设、设A A1 1，, A, An n是是S S的一个划分，且的一个划分，且P(AP(Ai i)0)0，(i(i1 1，n)n)，则对任何事件则对任何事件B B S S有有 1( )() ( |)niiiP BP A P B A上式称为上式称为 。1122( )() ( |)+ () ( |)P BP A P B AP A P B A112233( )() ( |)+ () ( |)+ () ( |)P BP A
12、 P B AP A P B AP A P B A( )( ) ( | )+ ( ) ( | )P BP A P B A P A P B A全概率公式全概率公式全概率公式的证明全概率公式的证明: :1niiBA B也两两互不相容；也两两互不相容；得得BABABAn,21 ijijA BA BA AB由于由于A1, A2, An两两互不相容两两互不相容所以由概率的有限可加性，得所以由概率的有限可加性，得 11nniiiiiP BP A BP AP B A全概率公式的说明全概率公式的说明12,nnAAA把把看看作作对对结结果果有有影影响响的的 个个原原因因， 已知已知即即kAP 已知已知即即kABP
13、我们把事件我们把事件B 看作某种结果，看作某种结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率 BP即求即求例例7. 7. 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为已知三家工厂的市场占有率分别为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三，且三家工厂的次品率分别为家工厂的次品率分别为 2 2、1 1、3 3，试求市场上该品，试求市场上该
14、品牌产品的次品率。牌产品的次品率。买到一件丙厂的产品买到一件乙厂的产品买到一件甲厂的产品：买到一件次品设：:321AAAB 112233(|) ()(|) ()(|) ()P BP B A P AP B A P AP B A P A0225. 02103. 04101. 04102. 0例例7-9 利用全概率公式求一般概率利用全概率公式求一般概率例例8 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅
15、匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设解：设A A从甲袋放入乙袋的是白球；从甲袋放入乙袋的是白球； B从乙袋中任取一球是红球；从乙袋中任取一球是红球；21137( )( ) (|)( ) (|)323412P BP A P B AP A P B A甲乙作业作业4.5可参照此例题可参照此例题例例9 在某次世界女排锦标赛中，中、日、美、古巴在某次世界女排锦标赛中，中、日、美、古巴4个队争夺决赛权，半决赛方式是中国对古巴，日本个队争夺决赛权，半决赛方式是中国对古巴，日本对美国，并且中国队已经战胜古巴队，现根据以往对美国，并且中国队已经战胜古巴队，
16、现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队和美国队的概率分的战绩，假定中国队战胜日本队和美国队的概率分别为别为0.9与与0.4，而日本队战胜美国队的概率为，而日本队战胜美国队的概率为0.5，试，试问中国队取得冠军的可能性有多大？问中国队取得冠军的可能性有多大？解：设解：设A A1 1日本队胜美国队；日本队胜美国队； A A2 2美国队胜日本队；美国队胜日本队； B中国队取得冠军；中国队取得冠军；1122( )() ( |)() ( |)P BP A P B AP A P B A0.5 0.90.5 0.40.65若已知中国队获得了冠军，问中国队是与美国队若已知中国队获得了冠军，问中国队是与美国队决
17、赛而获胜的概率是多少？决赛而获胜的概率是多少？308. 065. 04 . 05 . 065. 0)|()()()()|(2222ABPAPBPBAPBAP解解: :定理定理2 2 设设A A1 1，, A, An n是是S S的一个划分，且的一个划分，且P(AP(Ai i)0)0，(i (i1 1，n)n)，则对任何事件，则对任何事件B, P(B)0,B, P(B)0,有有 ),.,1( ,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPniiijjj上式称为上式称为 。贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式的说明贝叶斯公式的说明12,nnAAA把看作对结果有影响的 个原因， 已知已知即即
18、kAP 已知已知即即kABP我们把事件我们把事件B 看作某种结果，看作某种结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，已知事件已知事件B已经发生，要求此时已经发生，要求此时B发生是由第发生是由第 i 个原因引个原因引起的概率，则用起的概率，则用Bayes公式公式|iP A B即求托马斯托马斯 贝叶斯贝叶斯 (Thomas Bayes，1702-1761) 英国数学家英国数学家. 1702年出生于伦敦，年出生于伦敦，1761年年4月月7日逝世日逝世. 1742年成为英国皇家学会会员年成为英国
19、皇家学会会员. 后来成为了一名后来成为了一名Presbyterian minister(长老会牧师长老会牧师). 和他的同事们不同：和他的同事们不同：他认为上帝的存在可以通过方程式证明他认为上帝的存在可以通过方程式证明. 贝叶斯在数学方面主要研究概率论贝叶斯在数学方面主要研究概率论. 他首先将归纳推理法他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献. 1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数理统年发表了这方面的论著，对于现代概率
20、论和数理统计都有很重要的作用计都有很重要的作用. 贝叶斯理论是非常令人着迷的、强大的工具，当我们贝叶斯理论是非常令人着迷的、强大的工具，当我们需要处理多个变量系统的时候尤其有用需要处理多个变量系统的时候尤其有用.正因为如此，正因为如此，它在自然科学及国民经济的众多领域中有着广泛应用它在自然科学及国民经济的众多领域中有着广泛应用. 他对统计推理的主要贡献是使用了他对统计推理的主要贡献是使用了逆概率逆概率这个概念，并这个概念，并把它作为一种普遍的推理方法提出来把它作为一种普遍的推理方法提出来. 贝叶斯的另一著作贝叶斯的另一著作机会的学说概论机会的学说概论发表于发表于1758年年. 贝叶斯所采用的许
21、多贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今术语被沿用至今. 虽然他看到了自己的两篇论文被发表了，虽然他看到了自己的两篇论文被发表了，但是于但是于1763年发表在伦敦皇家学会哲学学报上的那一篇提年发表在伦敦皇家学会哲学学报上的那一篇提出著名的贝叶斯公式的论文出著名的贝叶斯公式的论文论有关机遇问题的求解论有关机遇问题的求解(Essay Toward Solving a Problem in the Doctrine of Chances)却是在他死后的第三年才被发表却是在他死后的第三年才被发表. 200多年后，多年后，经过多年的发展与完善，贝叶斯公式以及由此发展起来的经过多年的发展与完善，贝叶斯公式以及由
22、此发展起来的一整套理论与方法，已经成为概率统计中的一个冠以一整套理论与方法，已经成为概率统计中的一个冠以“贝贝叶斯叶斯”名字的学派，他的这一理论照亮了今天的计算领域，名字的学派，他的这一理论照亮了今天的计算领域，成了成了21世纪计算机软件的理论基础，尤其是在数据管理软世纪计算机软件的理论基础，尤其是在数据管理软件领域件领域.商店论箱出售玻璃杯，每箱商店论箱出售玻璃杯，每箱2020只。其中每箱仅可能含只。其中每箱仅可能含0 0，1 1，2 2只次品，其相应的概率分别为只次品，其相应的概率分别为0.8,0.1, 0.10.8,0.1, 0.1。某顾客选中一箱。某顾客选中一箱，从中任选，从中任选4
23、4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱只检查，结果都是好的，便买下了这一箱. .若已知若已知顾客买下了一箱，则这一箱含有一个次品的概率是多少？顾客买下了一箱，则这一箱含有一个次品的概率是多少？解解: :设设B:B:从一箱中任取从一箱中任取4 4只检查只检查, ,结果都是好的结果都是好的. . A A0 0, A, A1 1, A, A2 2分别表示事件每箱含分别表示事件每箱含0 0，1 1，2 2只次品只次品已知已知:P(A:P(A0 0)=0.8, P(A)=0.8, P(A1 1)=0.1, P(A)=0.1, P(A2 2)=0.1)=0.10(|)1P B A(|)CP B AC419
24、142045(|)CP B AC41824201219由贝叶斯公式由贝叶斯公式: :() (|)(|)() (|)iiiP A P B AP ABP A P B A111200848. 019121 . 0541 . 018 . 0541 . 0例例10-11 利用贝叶斯公式求条件概率利用贝叶斯公式求条件概率例例11数字通讯过程中，信源发射数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中两种状态信号，其中发发0的概率为的概率为0.55，发，发1的概率为的概率为0.45。由于信道中存在干扰，。由于信道中存在干扰，在发在发0的时候，接收端分别以概率的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和和0.0
25、5接收为接收为0、1和和“不清不清”。在发。在发1的时候，接收端分别以概率的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和和0.1接收为接收为1、0和和“不清不清”。现接收端接收到一个。现接收端接收到一个“1”的信号，的信号，则发端发的是则发端发的是0的概率是多少的概率是多少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P 0.067解：设解：设A发射端发射发射端发射0， B接收端接收到一个接收端接收到一个“1”的信的信号号45. 085. 055. 005. 055. 005. 00 (0.55)0 1 0 1 不不清清(0.9)(0.05)(0.05)1 (0.45)1 0
26、 1 0 不不清清(0.85)(0.05)(0.1)条件概率 缩减的样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式有限可加性 条件概率示意图条件概率示意图本节要求本节要求内容内容1 1、条件概率与乘法公式；、条件概率与乘法公式；2 2、全概率公式与贝叶斯公式。、全概率公式与贝叶斯公式。要求要求1 1、会用公式法和缩减的样本空间法求条件概率；、会用公式法和缩减的样本空间法求条件概率；2 2、会用乘法公式计算交集的概率；、会用乘法公式计算交集的概率；3 3、会用全概率公式与贝叶斯公式计算一般概率与、会用全概率公式与贝叶斯公式计算一般概率与条件概率。条件概率。练习题练习题1 次都未取出黑球次都未
27、取出黑球取了取了设设nB niiAi，次取出白球次取出白球第第21 1 1 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了一个白球，直至取出黑球为止求取了n n 次都未次都未取出黑球的概率取出黑球的概率解：解：则则nAAAB21 由乘法公式，我们有由乘法公式，我们有 nAAAPBP21 121213121 nnAAAAPAAAPAAPAP1433221 nn11 n练习题练习题2 2)()(321AAAPBP )|()|()(213121AAAPAA
28、PAP 2 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为打破的概率为 1/21/2 ，若第一次落下未打破，第二，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为次落下打破的概率为 7/107/10 , ,若前两次落下未打破，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为第三次落下打破的概率为 9/109/10 。求透镜落下三次。求透镜落下三次而未打破的概率。而未打破的概率。解：解：以以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件表示事件“透镜第透镜第 i 次落下打次落下打破破”，以，以 B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”，.2003)1091)(1071)(211(
