1、2.4 平方根法与改进的平方根法平方根法与改进的平方根法F对称正定矩阵对称正定矩阵F平方根法平方根法F改进的平方根法改进的平方根法定义定义一个矩阵一个矩阵 A = ( aij )n n 称为称为对称阵对称阵，如果，如果 aij = aji 。定义定义一个矩阵一个矩阵 A 称为称为正定阵正定阵，如果，如果 对任意非对任意非零向量零向量 都成立都成立。0 xAxTx回顾：回顾：对称正定阵的几个重要性质对称正定阵的几个重要性质 A 1 亦对称正定，且亦对称正定，且 aii 0 A 的顺序主子阵的顺序主子阵 Ak 亦对称正定亦对称正定 A 的特征值的特征值 i 0 A 的全部顺序主子式的全部顺序主子式
2、 det ( Ak ) 0对称正定阵对称正定阵将将对称对称 正定阵正定阵 A 做做 LU 分解分解U =uij=u11uij / uii111u22unn记为记为UD A 对称对称TUL 即即TLDLA 记记 D1/2 =11u22unnu2/1LDL 则则 仍是下三角阵仍是下三角阵TLLA nnRL 定理定理 设矩阵设矩阵A对称正定，则存在非奇异下三角阵对称正定，则存在非奇异下三角阵 使得使得 。若限定。若限定 L 对角元为正，则分解唯一。对角元为正，则分解唯一。TLLA 对于对称正定阵对于对称正定阵 A ，从从 可知对任意可知对任意k i 有有 。即即 L 的元素不会增大，误差可控，不的元
3、素不会增大，误差可控，不需选主元。需选主元。 Cholesky分解法分解法 ikikiila12iiikal |设设nnnnllllllL212221110由比较法得计算公式由比较法得计算公式nkilllalnklalkkkjkjijikikkjkjkkkk, 1 )(, 2 , 1 )(1121112计算顺序：计算顺序：1112222,3,3,iillinllinyxLbLybAxT , 平方根法nklylbylbykkkjjkjkk, 3 , 2 )( /1111111 , 2, 1 )( /1nnklxlyxlyxkknkjjjkkknnnn平方根法的优点：平方根法的优点：1.无需选主元
4、无需选主元,算法稳定算法稳定;2. 计算量小计算量小,乘除运算量为乘除运算量为63nO,约为高斯法的一半约为高斯法的一半.3. 计算过程中所需存储单元少计算过程中所需存储单元少.缺点缺点:求求L时需时需n次开方运算，从而增大了计算量。次开方运算，从而增大了计算量。,TALDLyDxLbLybAxT1 ,设设1111321323121nnnllllllL 0),(1inddddiagD2.4.2改进的平方根法改进的平方根法计算公式计算公式nkidldlalnkdladkkjkjjijikikkjjkjkkk, 1 )(, 2 , 1 11112记记kikikdlunkink, 1 , 2 , 1
5、nkidulluaunkluadkikikkjkjijikikkjklkjkkk, 1 ,2, 1 1111方程组求解公式方程组求解公式11111 2, 1,1kkkkjjjnnnnkkjkjj kkybybl yknyxdyxl xknd 思考：思考：1.为什么引入平方根法与改进的平方根法？为什么引入平方根法与改进的平方根法？ 2.能否用紧凑格式将对称正定矩阵进行能否用紧凑格式将对称正定矩阵进行 CholeskyCholesky分解和分解和 LDLLDLT T分解？怎样分解？分解？怎样分解？例设有方程组例设有方程组2021012aa321xxx=343位小数。过程保留程组，计算用平方根法求解
6、上述方）取（取值范围；的分解的能进行求出系数矩阵2 , 1a2 ) 1 (aCholeskyA解 ： 为对称正定，即ALLAT032112 D, 0221D026228202112223aaaaaD分解能进行时，即当CholeskyAaa33234 )2( 32 )1( 0 )0(1 )1( 23 )2( 21 )1(0 )0( 1 )1( 2 )2(167. 000150. 0001L 15. 100022. 100041. 121D15.182.00022.171.00041.121DLL315. 182. 0422. 171. 0341. 132211yyyyy 15.104.213.2321yyy15. 115. 104. 282. 022. 113. 271. 041. 133221xxxxx 00. 100. 101. 1321xxx
