1、数学建模中的数据处理方法范筑军主要内容曲线插值与拟合数值微分与积分微分方程数值解优化问题回归分析判别分析曲线插值与拟合一维插值一维插值二维插值二维插值曲线拟合曲线拟合一维插值对表格给出的函数，求出没有给出的函数值。对表格给出的函数，求出没有给出的函数值。在实际工作中，经常会遇到插值问题。下表是待加工零件下轮廓线的一组数据，现需要得到x坐标每改变0.1时所对应的y的坐标.一维插值下面是关于插值的两条命令(专门用来解决这类问题)：y=interp1(x0,y0,x,method) 分段线性插值y=spline(x0,y0,x) 三次样条插值x0,y0是已知的节点坐标，是同维向量。y对应于x处的插值
2、。y与x是同维向量。method可选nearest(最近邻插值),linear(线性插值),spline(三次样条插值),cubic(三次多项式插值)一维插值解决上述问题,我们可分两步: 用原始数据绘图作为选用插值方法的参考. 确定插值方法进行插值计算一维插值(px_lc11.m)(px_lc11.m)对于上述问题,可键入以下的命令:x0=0,3,5,7,9,11,12,13,14,15;y0=0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6plot(x0,y0) %完成第一步工作x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x); %用分段线性插值完成第二步
3、工作plot(x,y)y=spline(x0,y0,x); plot(x,y) %用三次样条插值完成第二步工作练习1.对y=1/(1+x2),-5x5，用n（=11）个节点（等分）作上述两种插值，用m（=21）个插值点（等分）作图，比较结果。(see:px_ex_lc1.m)2.在某处测得海洋不同深度处水温如下表：求深度为500、1000、1500米处的水温。 (see:px_ex_lc2.m)二维插值MATLAB中二维插值的命令是：z=interp2（x0,y0,z0,x,y,meth）二维插值在一个长为5个单位，宽为3个单位的金属薄片上测得15个点的温度值，试求出此薄片的温度分布，并绘出等
4、温线图。（数据如下表）二维插值(px_lc21.m)(px_lc21.m)temps=82,81,80,82,84;79,63,61,65,87;84,84,82,85,86;mesh(temps) %根据原始数据绘出温度分布图，可看到此图的粗造度。二维插值%下面开始进行二维函数的三阶插值。 width=1:5; depth=1:3; di=1:0.2:3; wi=1:0.2:5; WI,DI=meshgrid(wi,di);%增加了节点数目 ZI=interp2(width,depth,temps,WI,DI,cubic); % 对数据（width,depth,temps）进 % 行三阶插值
5、拟合。 surfc(WI,DI,ZI)contour(WI,DI,ZI)二维插值曲线拟合假设一函数假设一函数g(x)g(x)是以表格形式给出的，现是以表格形式给出的，现要求一函数要求一函数f(x)f(x)，使，使f(x)f(x)在某一准则下与在某一准则下与表格函数（数据）最为接近表格函数（数据）最为接近。由于与插值的提法不同，所以在数学上理论根据不同，解决问题的方法也不同。此处，我们总假设f(x)f(x)是多项式。曲线拟合问题：弹簧在力F的作用下伸长x厘米。F和x在一定的范围内服从虎克定律。试根据下列数据确定弹性系数k,并给出不服从虎克定律时的近似公式。曲线拟合解题思路：可以用一阶多项式拟合求
6、出k，以及近似公式。在MATLAB中，用以下命令拟合多项式。polyfit（x0,y0,n）一般，也需先观察原始数据的图像，然后再确定拟和成什么曲线。曲线拟合(px_lc31.m)(px_lc31.m)对于上述问题,可键入以下的命令:x=1,2,4,7,9,12,13,15,17; F=1.5,3.9,6.6,11.7,15.6,18.8,19.6,20.6,21.1; plot(x,F,.)从图像上我们发现:前5个数据应与直线拟合,后5个数据应与二次曲线拟合。于是键入 : a=polyfit(x(1:5),F(1:5),1); a=polyfit(x(5:9),F(5:9),2)曲线拟合注意
7、：有时，面对一个实际问题，究竟是用插值还是用拟合不好确定，还需大家在实际中仔细区分。同时，大家（包括学过计算方法的同学）注意去掌握相应的理论知识。数值微分与积分数值积分数值积分数值微分数值微分数值积分先看一个例子：现要根据瑞士地图计算其国土面积。于是对地图作如下的测量：以西东方向为横轴，以南北方向为纵轴。（选适当的点为原点）将国土最西到最东边界在x轴上的区间划取足够多的分点xi，在每个分点处可测出南北边界点的对应坐标y1 ，y2。用这样的方法得到下表根据地图比例知18mm相当于40km，试由上表计算瑞士国土的近似面积。（精确值为41288km2）。数值积分数值积分解题思路：数据实际上表示了两条
8、曲线，实际上我们要求由两曲线所围成的图形的面积。解此问题的方法是数值积分的方法。具体解时我们遇到两个问题：1。数据如何输入；2。没有现成的命令可用。数值积分(px_wj11.m)(px_wj11.m)对于第一个问题，我们可把数据拷贝成M文件（或纯文本文件）。然后，利用数据绘制平面图形。键入load mianji.txtA=mianji;plot(A(:,1),A(:,2),r,A(:,1),A(:,3),g)数值积分数值积分接下来可以计算面积。键入：a1=trapz(A(:,1)*40/18,A(:,2)*40/18);a2=trapz(A(:,1)*40/18,A(:,3)*40/18);d
9、=a2-a1d = 4.2414e+004数值积分至此，问题可以说得到了解决。之所以说还有问题，是我们觉得误差较大。但计算方法的理论给了我们更精确计算方法。只是MATLAB没有相应的命令。想得到更理想的结果，我们可以自己设计解决问题的方法。（可以编写辛普森数值计算公式的程序，或用拟合的方法求出被积函数，再利用MATLAB的命令quad,quad8）数值微分已知20世纪美国人口统计数据如下，根据数据计算人口增长率。（其实还可以对于后十年人口进行预测）数值微分解题思路：设人口是时间的函数x(t).于是人口的增长率就是x(t)对t的导数.如果计算出人口的相关变化率 。那么人口增长满足 ，它在初始条件
10、x(0)=x0下的解为 .（用以检查计算结果的正确性）xxtr)(数值微分解：此问题的特点是以离散变量给出函数x(t),所以就要用差分来表示函数x(t)的导数.常用后一个公式。（因为，它实际上是用二次插值函数来代替曲线x(t)）即常用三点公式来代替函数在各分点的导数值：数值微分MATLAB用命令diff按两点公式计算差分;此题自编程序用三点公式计算相关变化率.编程如下(diff3.m):for i=1:length(x) if i=1 r(1)=(-3*x(1)+4*x(1+1)-x(1+2)/(20*x(1); elseif i=length(x) r(i)=(x(i+1)-x(i-1)/(
11、20*x(i); else r(length(x)=(x(length(x)-2)-4*x(length(x)-1)+3*x(length(x)/(20*x(length(x); endendr=r;数值微分保存为diff3.m文件听候调用.再在命令窗内键入X=1900,1910,1920,1930,1940,1950,1960,1970,1980,1990;x=76.0, 92.0, 106.5, 123.2, 131.7, 150.7, 179.3, 204.0, 226.5, 251.4;diff3;由于r以离散数据给出,所以要用数值积分计算.键入x(1,1)*exp(trapz(X(1
12、,1:9),r(1:9)数值积分命令：trapz(x),trapz(x,y),quad(fun,a,b)等.微分方程数值解(单摆问题)单摆问题的数学模型是在初始角度不大时,问题可以得到很好地解决,但如果初始角较大,此方程无法求出解析解.现问题是当初始角为100和300时,求出其解,画出解的图形进行比较。微分方程数值解(单摆问题)解:若0较小,则原方程可用 来近似.其解析解为(t)= 0cost, . 若不用线性方程来近似,那么有两个模型:微分方程数值解(单摆问题)取g=9.8,l=25, 100=0.1745, 300=0.5236.用MATLAB求这两个模型的数值解,先要作如下的处理:令x1
13、=,x2=,则模型变为微分方程数值解(单摆问题)再编函数文件(danbai.m)function xdot=danbai(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(1)=x(2);xdot(2)=-9.8/25*sin(x(1);微分方程数值解(单摆问题)在命令窗口键入()t,x=ode45(danbai,0:0.1:20,0.1745,0);t,y=ode45(danbai,0:0.1:20,0.5236,0);plot(t,x(:,1),r,t,y(:,1),k);优化问题线性规划有约束极小问题线性规划有约束极小问题非线性规划有约束极小问题非线性规划有约束极小问题非线性无约束极小问
14、题非线性无约束极小问题非线性最小二乘问题非线性最小二乘问题二次规划二次规划线性规划有约束极小问题模型模型用命令x, fval= linprog(f,A,b,A1,b1,lb,ub)线性规划有约束极小问题Find x x that minimizes f(x x)=-5x1-4x2-6x3subject tox1-x2+x3203x1+2x2+4x3423x1+2x2300 x1, 0 x2,0 x3线性规划有约束极小问题First, enter the coefficients:f = -5; -4; -6A = 1 -1 1 3 2 4 3 2 0;b = 20; 42; 30;lb = z
15、eros(3,1);Next, call a linear programming routine:x,fval,exitflag,output,lambda = linprog(f,A,b,lb)；Entering x, fval,lambda.ineqlin, and lambda.lower getsx = 0.0000 15.0000 3.0000fval = -78.0000和其它信息。线性规划有约束极小问题解问题把问题极小化并将约束标准化线性规划有约束极小问题键入c=-2,-3,5;a=-2,5,-1;b=-10;a1=1,1,1;b1=7;LB=0,0,0;x,y=linprog
16、(c,a,b,a1,b1,LB)得当X=(6.4286,0.5714,0.0000)时,z=-14.5714最大.线性规划有约束极小问题解问题线性规划有约束极小问题解:键入c=-2,-1,1;a=1,4,-1;2,-2,1;b=4;12;a1=1,1,2;b1=6;lb=0;0;-inf;ub=inf;inf;5;x,z=linprog(c,a,b,a1,b1,lb,ub) 得当X=(4.6667,0.0000,0.6667)时,z=-8.6667最小.非线性规划有约束极小问题模型模型：MATLAB求解此问题的命令是：x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hes
17、sian=fmincon(fun,x0,A,b,A1,b1,LB,UB,nonlcon,options,p1,p2,)fun是目标函数的m_文件名.nonlcon是约束函数C(x)和C1(x)的m_文件名.文件输出为C,C1.非线性规划有约束极小问题求解最优化问题非线性规划有约束极小问题第1步: 建立目标函数和非线性约束的m_文件.function y=e1511(x)% 目标函数的m_文件y=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);function c1,c2=e1511b(x)% 非线性约束的m_文件c1=1.5+x(1)*x(2)-
18、x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;c2=0;非线性规划有约束极小问题第2步: 运行程序.键入x0=-1,1;a1=1,1;b1=0;x,f,exitflab,output=fmincon(e1511,x0,a1,b1,e1511b)得结果.输出结果的意义:经过4次迭代(iterations:4)收敛到了(exitfag=1)最优解x(1)=-1.2247,x(2)=1.2247,目标函数最优值为1.8951.非线性无约束极小问题用命令x=fmin(f,x0)。或用命令x=fminu(f ,x0)，或用命令x=fmins(f ,x0)。非线性最小二乘问题用命令x=leastsq(f
19、 ,x0)，或用命令x=curvefit(f ,x0)。二次规划用命令x=qp(H,c,A,b)。关于这些命令的详细使用规则和例子，用借助help进行查阅。回归分析前面我们曾学过拟合。但从统计的观点看，对拟合问题还需作回归分析。例如：有描述问题甲和问题乙的两组数据(x,y)和(x,z)。设x=1，2，3，4；y=1.0，1.3，1.5,2.02.3;z=0.6,1.95,0.9,2.85,1.8。如果在平面上画出散点图，那么问题甲的四个点基本在一条直线上而问题乙的四个点却很散乱。如果都用命令polyfit(x,y,1)，polyfit(x,z,1)来拟合，将得到同一条直线。回归分析自然对问题甲
20、的信任程度会高于对问题乙的信任程度。所以有必要对所得结果作科学的评价分析。回归分析就是解决这种问题的科学方法。下面结合三个具体的例子介绍MATLAB实现回归分析的命令。回归分析合金强度y与其中含碳量x有密切关系，如下表根据此表建立y(x)。并对结果作可信度进行检验、判断x对y影响是否显著、检查数据中有无异常点、由x的取值对y作出预测。回归分析解：在x-y平面上画散点图，直观地知道y与x大致为线性关系。用命令polyfit(x,y,1)可得y=140.6194x+27.0269。作回归分析用命令b,bint,r,rint,ststs=regress(y,x,alpha) 可用help查阅此命令的
21、具体用法残差及置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图回归分析设回归模型为 y=0+1x,在MATLAB命令窗口中键入下列命令进行回归分析(px_reg11.m)x=0.1:0.01:0.18;x=x,0.2,0.21,0.23;y=42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5;X=ones(12,1),x;b,bint,r,rint,stats=regress(y,X,0.05);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)回归分析得结果和图b = 27.0269 140.6194bint = 22.3226 31.7313
22、111.7842 169.4546stats = 0.9219 118.0670 0.0000 3.1095回归分析结果含义为0=27.0269 1=140.61940的置信区间是 22.3226,31.73131的置信区间是 111.7842,169.4546回归分析R2=0.9219 F=118.0670, p10-4.R是衡量y与x的相关程度的指标，称为相关系数。R越大，x与y关系越密切。通常R大于0.9才认为相关关系成立。F是一统计指标p是与F对应的概率，当 p0.05时，回归模型成立。此例中 p=0 10-40.05，所以，所得回归模型成立。回归分析观察所得残差分布图，看到第8个数据
23、的残差置信区间不含零点，此点视为异常点，剔除后重新计算。24681012-6-4-20246Residual Case Order PlotResidualsCase Number回归分析此时键入:(px_reg12.m)X(8,:)=;y(8)=;b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)回归分析b = 27.0992 137.8085bint = 23.8563 30.3421 117.8534 157.7636stats = 0.9644 244.0571 0.0000 1.4332可以看到：置信区间缩小；R
24、2、F变大，所以应采用修改后的结果。回归分析将17至19岁的运动员每两岁一组分为7组，每组两人测量其旋转定向能力，以考察年龄(x)对这种运动能力(y)的影响。现得到一组数据如下表试建立关系y(x)，并作必要的统计分析。回归分析在x-y平面上画散点图，直观地知道y与x大致为二次函数关系。设模型为y=a1x2+a2x+a3此问题可以利用命令polyfit(x,y,2)来解，也可以像上题一样求解。下面介绍用命令polytool来解。回归分析首先在命令窗口键入(px_reg21.m)x=17:2:29;x=x,x;y=20.48,25.13,26.15 30,26.1,20.3,19.35,24.35
25、,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3;polytool（x,y,2）得到一个交互式窗口回归分析182022242628101520253035回归分析窗口中绿线为拟合曲线、红线为y的置信区间、可通过移动鼠标的十字线或通过在窗口下方输入来设定x值，窗口左边则输出与x对应的y值及y的置信区间。通过左下方的Export下拉菜单可输出回归系数等。更详细的解释可通过help查阅。回归分析某厂生产的某产品的销售量与竞争对手的价格x1和本厂的价格x2有关。下表是该产品在10个城市的销售记录。试建立关系y(x1，x2)，对结果进行检验。若某城市本厂产品售价160（元），对手售价17
26、0（元），预测此产品在该城市的销售量。回归分析这是一个多元回归问题。若设回归模型是线性的，即设y=0+1x1+2x2那么依然用regress(y,x,alpha)求回归系数。回归分析键入(px_reg31.m)x1=120,140,190,130,155,175,125,145,180,150;x2=100,110,90,150,210,150,250,270,300,250;y=102,100,120,77,46,93,26,69,65,85;x=ones(10,1),x1,x2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);b,bint,stats,回归分析b = 66
27、.5176 0.4139 -0.2698bint = -32.5060 165.5411 -0.2018 1.0296 -0.4611 -0.0785stats = 0.6527 6.5786 0.0247 351.0445回归分析p=0.0247,若显著水平取0,01，则模型不能用；R2=0.6527较小;0，1的置信区间包含零点。因此结果不理想。于是设模型为二次函数。此题设模型为纯二次函数：y=0+1x1+2x2+11x12+22x22回归分析MATLAB提供的多元二项式回归命令为rstool(x,y,model,alpha).其中alpha为显著水平、model在下列模型中选一个：Lin
28、ear(线性)Purequadratic(纯二次)Interaction(交叉)Quadratic(完全二次)回归分析对此例，在命令窗中键入x(:,1)=;rstool(x,y,purequadratic)得到一个对话窗：回归分析130140150160170180-50050100150200250120140160180200220240260280回归分析其意义与前面的对话窗意义类似。若要回答“本厂售价160，对手售价170，预测该市销售量”的问题，只需在下方窗口中分别肩入160和170，就可在左方窗口中读到答案及其置信区间。回归分析下拉菜单Export向工作窗输出数据具体操作为：弹出菜
29、单，选all，点击确定。此时可到工作窗中读取数据。可读数据包括：beta（回归系数） rmse（剩余标准差） residuals （残差）本题只要键入beta,rmse,residuals回归分析beta = -312.5871 7.2701 -1.7337 -0.0228 0.0037rmse = 16.6436residuals = 6.6846 -12.6703 -0.2013 6.4855 -19.6533 7.9989 -11.4737 5.4303 -4.9932 22.3926判别分析判别分析是判别样品所属类型的一种统计方法，其应用之广泛可与回归分析媲美。判别分析与聚类分析不同。判别分析的分类距离判别法Fisher Fisher 判别法判别分析MATLAB中还包括神经网络工具箱，小波分析工具箱，在网上还可以下载遗传算法工具箱，有兴趣的同学可以借这次机会，结合学习MATLAB，好好学习一下相关理论知识。最后，祝大家学习，竞赛都取得成功。谢谢大家。
