1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 函数及其表示 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解构成函数的要素 ， 会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念 2 在实际情境中 ， 会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法 、 列表法 、 解析法 )表示函数 3 了解简单的分段函数 ， 并能简单应用 . 2017 全 国 卷 ， 3 2017 山东卷 ， 9 2016 全 国 卷 ， 10 2016 江苏卷 ， 5 2015 全 国 卷 ， 10 1.对函数的基本概念与定义域的考查常与指数函数 、 对数函数综合出题 2 考查函数的值域及最值 3 函数的表示方法 ， 主要考查分段函数 求
2、值 ， 或者研究含参数的分段函数问题 4 函数的新定义问题 ， 主要考查函数的综合知识 ， 以其他知识为背景 ， 分析后仍然用函数知识去解决 ， 此类问题综合性比较强 . 分值： 5 分 1 函数的概念 一般地 ， 设 A， B 是两个非空的数集 ， 如果按照某种确定的对应关系 f， 使对于集合 A中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有 _唯一确定 _的数 f(x)和它对应 ， 那么就称 f： A B为从集合 A 到集合 B 的一个函数 ， 记作 y f(x)， x A 其中 ， x 叫做自变量 ， x 的取值范围 A 叫做函数的 _定义域 _， 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值 ，
3、函数值的集合 f(x)|xA叫做函数的 _值域 _. 2 函数的表示方法 (1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做 _解析法 _. (2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做 _图象法 _. (3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做 _列表法 _. 3 函数的三要素 (1)函数的三要素： _定义域 _、 对应关系 、 值域 (2)两个函数相等：如果两个函数的 _定义域 _相同 ， 并且对应关系完全一致 ， 则称这两个函数相等 4 分段函数 若函数在定义域的不同子集上的 _对应关系 _不同 ， 则这种形式的函数叫做分段函数 ，它是一类重要的函数 =【 ;精品教育资源
4、文库 】 = 5 映射的概念 一般地 ， 设 A， B 是两个非空的集合 ， 如果按某一个确定的对应关系 f， 使对于集合 A中的任意一个元素 x， 在集合 B中都有 _唯一确定 _的元素 y与之对应 ， 那么就称对应 f： A B为从集合 A 到集合 B 的一个映射 6 复合函数 一般地 ， 对于两个函数 y f(u)和 u g(x)， 如果通过变量 u， y 可以表示成 x 的函数 ，那么称这个函数为函数 y f(u)和 u g(x)的复合函数 ， 记作 y f(g(x)， 其中 y f(u)叫做复合函数 y f(g(x)的外层函数 ， u g(x)叫做 y f(g(x)的内层函数 1 思
5、维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)函数是从其定义域到值域的映射 ( ) (2)若函数的定义域和值域相同 ， 则这两个函数是相等函数 ( ) (3)函数 f(x) x2 x 与 g(t) t2 t 是同一函数 ( ) (4)f(x) x 3 2 x是一个函数 ( ) (5)A R， B R， 对应关系 f： x y， y 1x 1， 其对应是从 A 到 B 的映射 ( ) 解析 (1)正确函数是特 殊的映射 (2)错误如函数 y x 与 y x 1 的定义域和值域都是 R， 但它们的对应关系不同 ， 不是相等函数 (3)正确函数 f(x) x2 x 与 g(t) t2 t 的定义域
6、和对应关系相同 (4)错误因为定义域为空集 . (5)错误当 x 1 时 ， y 值不存在 ， 所以对应不是从 A 到 B 的映射 2 已知数集 A 1,2,3,4， 设 f： x y， g： x y 都是由 A 到 A 的映射 ， 其对应关系如下表 (从上到下 )， 则与 f(g(2)相同的是 ( B ) 表 1 映射 f 的对应关系 x 1 2 3 4 y 3 4 2 1 表 2 映射 g 的对应关系 x 1 2 3 4 y 4 3 1 2 A g(f(1) B g(f(2) C g(f(3) D g(f(4) 解析 f(g(2) f(3) 2， g(f(2) g(4) 2.故选 B =【
7、 ;精品教育资源文库 】 = 3 (2018 齐鲁名校协作体联考 )下列各组函数中 ， 表示同一函数的是 ( D ) A f(x) eln x， g(x) x B f(x) x2 4x 2， g(x) x 2 C f(x) sin 2x2cos x， g(x) sin x D f(x) |x|， g(x) x2 解析 A， B， C 项的解析式相同，但定义域不同，只有 D 项正确 4 已知函数 f(x) x 1， 若 f(a) 3， 则实数 a _10_. 解析 因为 f(a) a 1 3， 所以 a 1 9， 即 a 10. 5 设 f(x)? x， x ? ， a?，x2， x a， ?，
8、 若 f(2) 4， 则 a 的取值范围为 _( ， 2_. 解析 因为 f(2) 4， 所以 2 a， )， 所以 a 2， 则 a 的取值范围为 ( ， 2 一 求函数定义域 (1)求函数的定义域要从对函数的定义域的理解开始函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围 ， 认清楚自变量后 ， 就要从使解析式有意义的角度入手了一般来说 ， 在高中范围内涉及的有： 开偶次方时被开方数为非负数； 分式的分母不为零； 零次幂的底数不为零； 对数的真数大于零； 指数 、 对数的底数大于零且不等于 1； 实际问题还需要考虑使题目本身有意义； 若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的 ， 则函数的
9、定义域是使各部分式子都有意义的实数集 合 (2)求复合函数的定义域一般有两种情况： 已知 y f(x)的定义域是 A， 求 y f(g(x)的定义域 ， 可由 g(x) A 求出 x 的范围 ，即为 y f(g(x)的定义域； 已知 y f(g(x)的定义域是 A， 求 y f(x)的定义域 ， 可由 x A 求出 g(x)的范围 ，即为 y f(x)的定义域 【例 1】 (1)函数 f(x) 3x21 xlg(3x 1)的定义域是 ( B ) A ? ? 13， B ? ? 13， 1 C ? ? 13， 13 D ? ? ， 13 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若函数 y f(x
10、)的定义域是 0,2， 则函数 g(x) f?2x?x 1的定义域为 _0,1)_. 解析 (1)要使函数有意义 ， 需满足? 1 x0，3x 10， 解得 131， f(a) a， f(a 1) 2(a 1 1) 2a. f(a) f(a 1)， a 2a， 解得 a 14或 a 0(舍去 ) f? ?1a f(4) 2(4 1) 6. 当 a1 时 ， a 12， f(a) 2(a 1)， f(a 1) 2(a 1 1) 2a， 2(a 1) 2a， 无解 当 a 1 时 ， a 1 2， f(1) 0， f(2) 2， 不符合题意 =【 ;精品教育资源文库 】 = 综上 ， f? ?1a
11、 6.故选 C (2)由题意得? f?a?0，x0 ?x ( 1,0) (0,2) 故选 A 2 (2018 内蒙古巴彦卓尔一中期中 )已知函数 f(x)? log3x， x0，2x， x0 ， 则 f?f?19 ( D ) A 4 B 14 C 4 D 14 解析 f? ?19 log319 2， f( 2) 2 2 14， 所以 f? ?f? ?19 14.故选 D 3 (2018 重庆巴蜀中学月考 )已知函数 f(x)满足 f(x 1) x2 2x 3， 则 f(x)的解析式是 ( B ) A f(x) x2 2 B f(x) x2 2 C f(x) x2 2x D f(x) x2 2x
12、 解析 f(x 1) x2 2x 3 (x 1)2 2， f(x) x2 2.故选 B 4 若 f(x)? x， x0 ，x2 2x， x0， 则 f(x)的最小值是 _ 1_. 解析 当 x0 时 ， f(x) x， 此时 f(x)min 0；当 x0 时 ， f(x) x2 2x (x 1)21， 此时 f(x)min 1.综上 ， 当 x R 时 ， f(x)min 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 易错点 不理解定义域 、 值 域为 R的含义 错因分析：对定义域和值域的概念没有理解透彻 ， 因而解决问题时易出错 【例 1】 已知函数 f(x) log2? ?ax2 ?a 1?x
13、14 的定义域为 R， 求实数 a 的取值范围 解析 f(x)的定义域为 R， 即对一切实数 x， t ax2 (a 1)x 14的值恒大于 0. a 0 时 ， t x 14的值不恒大于 0； a0 时 ， 必有? a0， 0，?a 1?2 a0， 0 ， 即 ? a0，?a 1?2 a0 ， 解得 a3 52 或 01， 则 f?43 f? 43 的值为 ( D ) A 12 B 12 C 1 D 1 解析 f? ?43 f? ? 43 cos? ? ?43 1 1 cos? ? 43 12 1 12 1. 3 函数 y ln(x2 x) 4 2x的定义域为 ( B ) A ( ， 0)
14、(1， ) B ( ， 0) (1,2 C ( ， 0) D ( ， 2) 解析 由已知得? x2 x0，4 2x0 ? x1，x2 ?x ( ， 0) (1,2 故选 B 4 已知函数 f(x)? ?12x， x0 ，log3x， x0，设 a log12 3， 则 f(f(a) ( A ) A 12 B 2 C 3 D 2 解析 11或 x0， 若 f(a)3， 则 a 的取值范围是 _(9， ) _. 解析 由已知得? a0 ，2a 13 或 ? a0，a123， 解得 a9. 9 (2018 四川成都外国语学校期中 )若函数 f(x 1)的定义域是 2,3， 则 yf?2x 1?lg?x 1?的定义域是 _(1,2) ?2， 52 _. 解析 y f(x 1)的定义域是 2,3， 1 x 14 ， f(x)的定义域是 1,4，=【 ;精品教育资源文库 】 = 令 12 x 14 ， 解得 0 x 52， 又因为? x 10，x 11 ， 所以 1x2 或 2x52， 所以答案为(1,2) ? ?2， 52 . 三 、 解答题 10 设函数 f(x)? ax b， x0，2x， x0 ， 且 f( 2) 3， f( 1) f(1) (1)求 f(x)的解析式； (2)画出 f(x)的图象 解析 (1)由 f( 2) 3， f( 1) f(1)， 得? 2a b 3，
