1、8.1向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示及其运算一、基本概念一、基本概念引入引入: :1.1.平面内建立了直角坐标系平面内建立了直角坐标系, ,点点A A可以用什么来可以用什么来 表示表示? ?2.2.平面向量是否也有类似的表示呢平面向量是否也有类似的表示呢? ?OxyA(a,b)abaxyO1 1，在平面直角坐标系中，方向与，在平面直角坐标系中，方向与x x轴和轴和y y轴轴正方向正方向分别分别相同的两个相同的两个单位向量单位向量叫做叫做基本单位向量基本单位向量，分别记为，分别记为ijji、aA11唯唯一一的的2)2)平平面面内内任任一一向向量量都都有有与与它它相相等等的的位位置置向向量量
2、。b _思思考考: :与与一一个个位位置置向向量量相相等等的的向向量量有有个个。b 2，以原点，以原点O为起点，为起点，A为终为终点的向量点的向量 为叫做为叫做点点A的的位置向量位置向量，如图，如图，OA即为即为一个位置向量一个位置向量.OA1）平面内每一点都有对应的位置向量。）平面内每一点都有对应的位置向量。4321-1-2-3-2246ij），（ 23POPOMON O调用几何画板3i2 j, i jOP 怎怎样样用用表表示示位位置置向向量量？MN32ijxyOijaMN(x, y)ij 那那么么，对对于于任任一一位位置置向向量量，能能否否用用基基本本位位置置向向量量 、来来进进行行表表示
3、示呢呢？AONOM jyix OA在上式中，在上式中，向量向量OA能表示成两个相互垂直的向量能表示成两个相互垂直的向量i、j 分别乘以实数分别乘以实数x、y后组成的和式后组成的和式，该和式称为，该和式称为i、j 的的线线性组合性组合，这种向量的表示方法叫做，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解向量的正交分解。jyix OA3，向量的坐标表示：，向量的坐标表示： xyOAa在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在唯在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在唯一一个与它相等的位置向量一一个与它相等的位置向量. . jyixOAa (x, y)ij, x yaOAA 是是与与 相相等等的的位位置置向向量量
4、的的终终点点横横, ,的的纵纵坐坐标标. .( , ).x yAOAOAa 有有序序实实数数对对可可以以唯唯一一表表示示点点 ，所所以以也也可可以以表表示示位位置置向向量量，因因此此唯唯一一唯唯一一表表示示与与相相等等的的也也可可以以,()(),ax yaaxiy jx y 定定义义: :若若, ,记记称称为为 的的坐坐标标。aOAxiy j (1,0),(0,1),0(0,0)ij显显然然：相等的向量具有相同的坐标。相等的向量具有相同的坐标。例例1. 如图，写出向量如图，写出向量 的坐标的坐标.cba,结论：结论：任意向量坐标任意向量坐标 = = 终点坐标终点坐标 - - 起点坐标起点坐标
5、xyOP(x1, y1)Q(x2, y2)OPOQPQ ),(1212yyxxPQ )()(1122jyixjyix jyyixx)()(1212 即即如图，设如图，设P(x1, y1) 、 Q(x2, y2)是平是平面直角坐标系内的任意两点，如何面直角坐标系内的任意两点，如何用用P P、Q Q的坐标来表示向量的坐标来表示向量PQPQ？ 4，平面内任意两，平面内任意两点间的向量的坐标：点间的向量的坐标：二、向量的坐标运算二、向量的坐标运算 ),(),(,2211yxbyxa 是一个实数是一个实数设设 11221212()()()()abx iy jx iy jxx iyyj jyixjyixa
6、1111)( 两个两个向量和向量和( (差差) )的坐标等于对应的坐标等于对应坐标的和坐标的和( (差差) )；数与向量积数与向量积的坐标等于的坐标等于数数与向量对应与向量对应坐标的积坐标的积. . 11221212(,)(,)(,)xyxyxxyy即即：),(),(1111yxyx bababa3323, 13 , 2则则练习：练习：4321-1-2-3-4-6-4-2246xyOA(2,1)B(-3,2)C(-1,3)D(x,y)2,(2 1),( 3,2),( 1 3),ABCDA B CAC BCD 例例 ：已已知知平平行行四四边边形形三三个个顶顶点点的的坐坐标标 分分别别为为 ，求求
7、的的坐坐标标； 求求顶顶点点 的的坐坐标标。03,( 2,4),(2,1), :123 | 4.P QPQPQPQPQa 例例 ：已已知知平平面面内内两两点点的的坐坐标标分分别别为为求求） ；） 的的负负向向量量； ）； ） 的的单单位位向向量量6, ( , ),|ax ya 结结论论：则则2222(,)xyxyxy007, aaa 的的单单位位向向量量, ,则则22xy 1)(3,-1),(-1,-1),|2-| 2, .ABOAAB OBx OAy OBABx y 练练习习：已已知知点点求求: :；若若求求2)2( 4,3),2(3,4), .ababa b 已已知知求求 平平行行的的单单
8、位位向向量量。反反向向的的单单位位向向量量，与与求求：与与，）已已知知vubavbauba 221 , 22 , 13复复习习：1,1,向向量量坐坐标标的的概概念念：axiy j若若，( , )ax y 记记。11222,(,),(,),P xyQ xyPQ 则则2121(,)xxyy。11223,(,)(,)xyxy1212(,)xxyy11(,)xy 4,( , ),|ax ya 则则2222(,)xyxyxy00aaa 的的单单位位向向量量, ,则则22xy 1122(,),(,),|P xyQ xyPQ 则则| |221212()()xxyy11(,)xya b 非非零零向向量量 ,
9、,平平行行的的充充要要条条件件：(0)ba 1122(,),(,)axybxy 非非零零向向量量 = =平平行行的的充充要要条条件件：1122(,),(,)axybxy/ /abba 2211(,)(,)xyxy 2121xxyy 1221x yx y 消消1221x yx y 说说明明：此此充充要要条条件件对对零零向向量量也也成成立立。三、向量平行的充要条件的坐标表示三、向量平行的充要条件的坐标表示1:(32 ,5),(9,2),/ / ,atbtabab例例已已知知且且求求 和和 的的坐坐标标。2:( ,12),(4,5),(- ,10)A kBC kk例例已已知知三三点点共共线线， 求求
10、 的的值值。:(4,5),(3,6),3 abkakbab练练习习 已已知知求求实实数数使使与与平平行行，并并指指明明方方向向是是同同向向还还是是反反向向。1221212 P PPP PPP PPPP 定定义义：若若点点 是是直直线线上上异异于于 的的任任一一点点，若若实实数数使使得得分分为为定定比比 成成立立，则则点点 称称为为的的分分点点。 1P 2P P22120,PPPPP PPP 若若点点 与与重重合合，则则所所以以不不成成立立。四、定比分点定义及公式四、定比分点定义及公式图示图示P在线段在线段P1P2反向反向延长线上延长线上P在线段在线段P1P2延长线上延长线上P在线段在线段P1P
11、2上上外分点外分点内分点内分点分点分点的的位位置置P P P12 2P P P12 2P P P12 2关关于于分分点点的的情情况况讨讨论论：0 1 10 1 特特别别的的时时，12PP P为为中中点点；12P PPP 0 时时，10,P P 1PP与与 点点重重合合；1 时时，12,P PPP ,1.P 不不存存在在这这样样的的点点所所以以练习：设线段的长为5cm，写出点P分有向线段所成的比：21PP点P在 上， 1cm; 点P在 的延长线上， 10cm.21PP21PP21PP|1PP|2PP定定比比分分点点公公式式：例：已知 的坐标分别为 ,求点P的坐标 。),(),(2211yxyx1
12、2(1)P PPP 且且1,2P P121211xxxyyy 定定比比分分点点公公式式( , )x y121222xxxyyy =1,=1,中中点点公公式式11221,(,),(,)axybxy复复习习：向向量量平平行行的的充充要要条条件件：1221x yx y 2，定定比比分分点点公公式式：121211xxxyyy 12(1)P PPP :1,34 ,5 ,(5)(3) , ,OAij OBj OCm im jA B Cm 练练习习已已知知若若点点能能构构成成三三角角形形，求求实实数数应应满满足足的的条条件件。2,已知A（3,2），B（8,3）求线段AB的中点G坐标求点A关于点B的对称点H的
13、坐标若 ,求点E的坐标ABAE225若点C分有向线段 AB 的比2，求点C的坐标求点D(0.5，y)分有向线段 AB 的比 及y值。122112213,2, _PP PPP PPPPPPP 若若 是是分分定定比比为为 的的分分点点则则 是是分分定定比比为为的的分分点点， 则则 是是分分定定比比为为的的分分点点， 则则是是分分定定比比为为的的分分点点。1, 0.ABCBC AC ABD E FADBECF 例例 ：已已知知，边边的的中中点点分分别别为为，求求证证：1122332(,),(,), (,),ABCA xyB xyC xyGABCG 例例 ：设设三三个个顶顶点点坐坐标标分分别别为为是是的的重重心心，求求 的的坐坐标标。12312333xxxxyyyy 重重心心坐坐标标公公式式3:( ,5),( 2, ),(1,1),2,.ABA xByABCACBCx y 例例线线段段的的端端点点为为 直直线线上上的的点点使使 求求的的值值
