1、1应变测量系统的设计(四)测量误差及其处理21、测量误差基本概念、术语真值：真值：被测量本身客观存在的实际值。理论真值、约定真值、相对真值标称值：标称值：计量或测量器具上标注的量值。示值：示值：由测量仪器给出的量值，也称测量值。准确度：准确度：表示测量结果与真值的一致程度，是一个定性概念。误差公理：误差公理：一切测量都具有误差。重复性：重复性：在相同条件下，对同一被测量进行多次连续测量所得结果之间的一致性。32、误差的表示（1）绝对误差：绝对误差：A=Ax-A0绝对误差的负值称之为修正值修正值，也叫补值补值，一般用c表示相对误差：相对误差：00100%AA因真值A0是无法知道，往往用测量值代替
2、，即100%xAA缺点：定义不严格，与 AX的大小有关，低量程处误差大。相对误差常常用来评价测量结果的准确度，相对误差越小准确度愈高。4例1%001. 0%100*100001 . 01kmkm多级弹道导弹火箭射程为10000km，其射击偏离预定点不超过0.1km，优秀狙击手在1km处设计，偏离靶心不超过5cm，哪个设计精度高？火箭命中的相对误差为：%005. 0%100*100005. 02mm射手命中的相对误差为：火箭的射击精度高于狙击手52、误差的表示（2）引用误差：引用误差：绝对误差与测量仪表量程之比，100%nmAA最大引用误差：|100%mnmmAA确定测量仪表的准确度等级应用最大
3、引用误差。电测量仪表的准确度等级指数准确度等级指数a分为：0.1、 0.2、 0.5、1.0 1.5、 2.5、 5.0等7级。62、误差的表示（3）最大引用误差不能超过仪表准确度等级指数a的百分数，即%nma电测量仪表在使用时所产生的最大可能误差可由下式求出%mmAA a(/) %xmxAAa 7例2某1.0级电压表，量程为300V,当测量值分别为U1=300V,U2=200V， U3=100V时，试求出测量值的(最大)绝对误差和示值相对误差。UU1 1=U=U2 2=U=U3 3= =3003001.0%=1.0%=3V3VUU1 1=(U=(U1 1U U1 1) )100%=(100%
4、=(3/300)3/300)100%=100%=1.0%1.0%UU2 2=(U=(U2 2U U2 2) )100%=(100%=(3/200)3/200)100%=100%=1.5%1.5%UU3 3=(U=(U3 3U U3 3) )100%=(100%=(3/100)3/100)100%=100%=3.0%3.0%测量仪表产生的示值测量误差测量仪表产生的示值测量误差x x不仅与所选仪表不仅与所选仪表等级指数等级指数a a有关，而与所选仪表的量程有关。有关，而与所选仪表的量程有关。一般不小于满度值的一般不小于满度值的2/32/3。82、误差的表示（4）容许误差：容许误差：指测量仪器在使用
5、条件下可能产生的最大误差范围，可用工作误差、固有误差、影响误差、稳定性误差来描述。容许误差通常用绝对误差表示： =(Ax%+Am%) =(Ax%+n个字)式中式中 Ax 测量值或示值；测量值或示值； Am 量限或量程值；量限或量程值； 误差的相对项系数；误差的相对项系数； 固定项系数。固定项系数。 当当5 项可忽略项可忽略9例3某四位半数字电压表，量程为2V，工作误差为= 0.025%UX 1个字，用该表测量时，读数分别为0.0012V和1.9888V，试求两种情况下的绝对误差和相对误差.9999四位半表：414111424222(0.025%0.00120.00011)1.0030101.0
6、03010100%100%8.36%0.0012(0.025%1.98880.00011)5.9720105.972010100%100%0.030%1.9888xxVAVA 103、误差分类系统误差系统误差随机误差随机误差粗大误差粗大误差大小、方向恒定不变或按一定规律变化，可预知、可修正。基本误差:测量设备不准确或准确度等级不高。附加误差:超过正常工作范围带来的误差。理论误差（方法误差）:测量方法、理论不完善所带来的误差人员误差：试验人员疏忽大意、测量素质不高产生的人员误差。误差是随机的、可变的，不可预知、不可修正，但可用统计学方法处理明显偏离真值（异常值、坏值），应剔除113.1 系统误差
7、定义：在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测量就越准确。系统误差的表示0 xA123.2 随机误差定义：在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差。随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的大量
8、因素共同造成因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的无规律变化。13例4对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到 1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。单次测量的随差没有规律;但多次测量的总体却服从统计规律;可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值。143.3 粗大误差定义：粗大误差是一种显然与实际值不符的误差。产生粗差的原因：测量操作疏忽和失误测量方法不当或错误测量环境条件的突然变化含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除掉。154.1 系统误差的消除（系统误差的消除（1 1
9、）从产生的来源上消除从产生的来源上消除基本误差：选择准确度等级高的仪器设备；选择准确度等级高的仪器设备；附加误差：使仪器设备工作在其规定的工作条件下，使用前正确调零、预热以消除仪器设备的；方法误差和理论误差：选择合理的测量方法，设计正确的测量步骤；人员误差：提高测量人员的测量素质，改善测量条件(选用智能化、数字化仪器仪表等)。164.1 系统误差的消除（系统误差的消除（2 2）修正方法消除修正方法消除00AxxCAAAAC 特殊的测量方法消除特殊的测量方法消除 替代法； 差值法；正负误差补偿法；对称观测法 ；迭代自校法 17替代法替代法在测量条件不变的情况下，用一已知的标准量去替代未知的被测量
10、，通过调整标准量而保持替代前后仪器的示值不变，标准量的值等于被测量值。 替替 代代 法法 的的 测测 量量 原原 理理xs0 0- - v v+ + v v2 2K KK K1 1（ b b ) ) 零零 示示 法法( ( a a ) ) 偏偏 转转 法法xs0 0- - v v+ + v v2 2K KK K1 1r r18交换法交换法通过交换被测量和标准量的位置，从前后两次换位测量结果的处理中，削弱或消除系统误差。特别适用于平衡对称结构的测量装置中，并通过交换法可检查其对称性是否良好。第一次平衡第一次平衡 第二次平衡第二次平衡 上两式相乘、开方得：上两式相乘、开方得：12xWWW11 2x
11、W lW l 22 1xW lW l ( (a a) ) 天天平平称称重重xWW1l1l2xWW2l1l219在电桥中采用交换法测电阻12xssRRR204.2 随机误差处理随机误差处理随机误差的统计特性和概率分布随机误差的统计特性和概率分布误差理论指出：任何一次测量中，一般都含有系误差理论指出：任何一次测量中，一般都含有系统误差统误差和随机误差和随机误差，即，即 A=+=Ax-A0在一般工程测量中，系统误差远大于随机误差，在一般工程测量中，系统误差远大于随机误差，即即，相对来讲随机误差可以忽略不计，此，相对来讲随机误差可以忽略不计，此时只需处理和估计系统误差即可。时只需处理和估计系统误差即可
12、。在精密测量中，系统误差已经消除或小得可以忽在精密测量中，系统误差已经消除或小得可以忽略不计时，即略不计时，即0。214.3 随机误差的统计特性随机误差的统计特性其正态分布的主要特征：其正态分布的主要特征：)( xfx1lim 0ninix 22正态分布的随机误差概率密度函数概率密度函数22/ 2()1()()2e 式中式中 和和2随机误差随机误差的标准差和方差的标准差和方差23均匀分布的随机误差概率密度函数概率密度函数)|(|0)(21)(aaaa仪器度盘刻度差引起的误差；仪器度盘刻度差引起的误差；仪器最小分辨率限制引起的误仪器最小分辨率限制引起的误差差数字仪表的量化数字仪表的量化( (1)
13、1)误差误差数字计算中的舍入误差数字计算中的舍入误差对于一些只知道误差出现的大对于一些只知道误差出现的大致范围，而不知其分布规律的致范围，而不知其分布规律的误差，在处理时经常按均匀分误差，在处理时经常按均匀分布的误差对待。布的误差对待。 24t分布的随机误差概率密度函数概率密度函数222()2( ,)(1)()2nktt kkkk和标准正态分布的图形类似；特点是分布与标准差的估计值无关，但与自由度(n-1)有关；当n较大(n30)时，t分布和正态分布的差异就很小了，当n时，两者就完全相同了。254.3 随机变量的特征参量（随机变量的特征参量（1 1）随机变量通常有两个重要特征参数，即随机变量通
14、常有两个重要特征参数，即数学期望和方差数学期望和方差(标准偏差标准偏差)数学期望数学期望niinAnAM1)(1)(数学期望体现了随机变量分布中心的位置，即几何平均值，其体现了随机变量分布中心的位置，即几何平均值，其物理意义表示稳态解，是瞬时量的简单平均；物理意义表示稳态解，是瞬时量的简单平均；264.3 随机变量的特征参量（随机变量的特征参量（2 2）方差方差2221111()()()nniiiiAAMAnnn )(1)(12nnAnii标准差或标准偏差标准差或标准偏差方差反映了随机变量对分布中心的离散程度。反映了随机变量对分布中心的离散程度。274.3 随机误差的估计值（随机误差的估计值（
15、1 1）算术平均值原理：算术平均值原理：测量列的算术平均值是最佳可信赖值，是被测量测量列的算术平均值是最佳可信赖值，是被测量A数数学期望学期望(真值真值)M(A)的最佳估计，的最佳估计，其数学表达为：其数学表达为：niiAnA11其特点：其特点：一致性一致性:随着测量次数随着测量次数n的增加，趋于被测的增加，趋于被测参数的参数的 无偏性：估计值无偏性：估计值A围绕围绕M(A)摆动，且摆动，且 有效性有效性:A摆动幅度比单个测量值小；摆动幅度比单个测量值小； 充分性：充分性：A包含了样本包含了样本(测量列测量列)的全部信息的全部信息 )(AM)()(AMAM284.3 随机误差的估计值（随机误差
16、的估计值（2 2）标准偏差的估计标准偏差的估计niivn12211niivn1211式中式中 i剩余误差，其定义是剩余误差，其定义是AAvii方差估计值的实用算法和递推公方差估计值的实用算法和递推公式分别为式分别为)(1112112niiniiAnAn21212)(112nnnnAAnnn294.3 随机误差的估计值（随机误差的估计值（3 3）算术平均值的标准差算术平均值的标准差nA/)(22算术平均值的方差估计值算术平均值的方差估计值( )( )/AAn算术平均值的标准差估计值算术平均值的标准差估计值实际测量中，测量次数一般取实际测量中，测量次数一般取1020次。若要进一步提高次。若要进一步
17、提高测量准确度，需从选择更高准确度的测量仪器、更合理测量准确度，需从选择更高准确度的测量仪器、更合理的测量方法、更好的控制测量条件等方面入手。的测量方法、更好的控制测量条件等方面入手。30例5用温度计重复测量某个不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得1111个测量值的序列个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。解：解：平均值平均值 用公式用公式 计算各测量值残差列于上表中计算各测量值残差列于上表中实验偏差实验偏差 标准偏差标准偏差)( 1 .530)531530532530529533531527529531528(11111
18、Cxnxonii xxii )(767.111)(12Cnxsonii )(53.011767.1)()(Cnxsxso 314.4 测量结果的置信度（1）含义：含义：表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数置信区间 M(A)-K(A),M(A)+K(A) K置信因子 置信概率 Ai在置信区间中的概率P。几何意义：几何意义：在同一分布下，置信区间愈宽，置信概率(概率曲线、置信区间和横轴围成的图形面积)也就愈大，反之亦然。在不同的分布下当置信区间给定时，标准差愈小，置信因子和相应的置信概率也就愈大，反映出测量数据的可信度就愈高。324.4 测量结果的置信度（2）置信概率是图中置信概率是图中阴影部分
19、面积阴影部分面积内包含真值的概率称为置信概率内包含真值的概率称为置信概率 k ()xM Ak33正态分布的置信概率当分布和k值确定之后，则置信概率可定 kkdpkPkxExP)()(正态分布,当k=3时997.0)2exp(21)()3(223333 ddpP置信因子k置信概率Pc10.6826920.9545030.99730区间越宽，区间越宽，置信概率越大置信概率越大3435t分布的置信概率t分布与测量次数有关。当n足够大时，t分布趋于正态分布。正态分布是t分布的极限分布。给定置信概率和测量次数n，查表得置信因子kt。 自由度：v=n-136t分布k表37均匀分布的置信概率设其置信限为误差
20、极限 ，即误差的置信区间为 置信概率为100。 k a 3a 3akka 3 k- -a aa aP P( (x x) )x x0 0384.4 4.4 粗大误差的剔除（粗大误差的剔除（1 1）粗大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除。粗大误差产生原因 测量人员观原因： 操作失误或错误记录； 客观外界条件的原因： 测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。394.4 4.4 粗大误差的剔除（粗大误差的剔除（2 2）判别准则：判别准则：统计学的方法的统计学的方法的基本思想基本思想是：给定一置信概率，确是：给定一置信概率，确定相应的置信
21、区间，凡超过置信区间的误差就认为定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。是粗大误差，并予以剔除。拉依达准则拉依达准则3i格罗布斯准则格罗布斯准则m ax0(,)gn a404.4 4.4 粗大误差的剔除粗大误差的剔除- -步骤步骤 无系统误差（准确度较高的表）等精度多次测量得Ai , i=1,2,3n（1）求平均值：（2）求标准差：（3）剔除粗大误差AK，若有重复（1）、（2）；（4）计算其算术平均值的标准差：（5）给出置信概率下结果：niiAnA1121ivn()/AAn ()AkA41例6例：用准确度较高的测量仪器对某电阻进行16次等精度测量，测量结果：34.8
22、6, 35.21, 34.97, 35.14, 35.35, 35.21, 35.16, 35.22, 35.30, 35.71, 35.94, 35.63, 35.65, 35.70, 35.24, 35.36，求被测量电阻的测量结果。解：a. 无系统误差； b. c. d.第13次，36.65-35.30=1.35 该值应剔除。 e.重新计算15次测量的 f.i35.30 , viRAA20 .4 4 31ivn3 ( )R35.21 ( ) 0.34RR0.34( )/0.0915 R=3 ( )35.210.27RnRR测量结果：42 直接测量结果的误差估计直接测量结果的误差估计1.已
23、知仪表的量程和准确度等级，测量结果表示： A=aAm% 式中 A，A测量结果Ax的绝对误差和相对误差，Ax为测量结果； a, Am分别为仪器仪表的准确度等级和量程。%aAAxmA5 5 测量结果误差的估计测量结果误差的估计432.已知仪器仪表的基本误差或允许误差的测量结果(数字表)： A= =(Ax%+n个字) A=(/Ax)100%式中 仪器仪表的基本误差或允许误差 3.若进行了多次测量，则还应考虑随机误差的影响。若多次测量的标准偏差的估计值为，则测量误差为 A=(aAm%+K) A=(+K)式中 K置信因子。 （一般使用正态分布）44间接测量结果的误差估计间接测量结果的误差估计（误差合成误
24、差合成）问题：问题： 用间接法测量电阻消耗的功率时，需测量电阻R、端电压V和电流I三个量中的两个量，如何根据电阻、电压或电流的误差来推算功率的误差呢？1 1 误差合成的一般公式误差合成的一般公式设测量结果y是n个独立变量A1,A2，An的函数，即 y=f(A1,A2,An) 绝对误差： 相对误差：* * 重点是要确定传递函数重点是要确定传递函数C和C。iFyiFy函数总误差等于各误差分量的代数和452 2 误差传递系数的确定误差传递系数的确定 确定误差传递系数是误差合成的关键。传递系数确定的常用方法有微分微分确定法确定法、计算机仿真确定法计算机仿真确定法和实验确定法。实验确定法。 (1)(1)
25、微分确定法微分确定法 条件：适合于确切知道函数的关系式，已知y=f(A1,A2,An) 。 结论：结论：（2）计算机仿真确定法计算机仿真确定法（3 3）实验确定法。）实验确定法。 iAfCiiiAfACiln变量Ai对函数y的绝对误差传递系数等于y y对对A Ai i的一阶偏导数。的一阶偏导数。 变量Ai对函数y的相对误差传递系数，等于函数函数y y的对数对的对数对A Ai i的一阶偏导数乘以的一阶偏导数乘以A Ai i。 46在实际应用中，由于分项误差符号不定而可同时取正负，有时就采用保守的办法来估算误差，即将式中各分项取绝对值后再相加该公式常用于在设计阶段中对传感器、仪器及系统等的误差进行
26、分析和估算，以采取减少误差的相应措施。但是，更严格和更准确地计算合成误差的方法是测量不确定度理论中的合成不确定度评定。1niiifyxx47121212122112121212nm12121. y=x () y=x +xy y=xx2. y=x y=xx +xx x3. y= y=4. y=xx y=n xxyrrxrrrm r 电 阻 串 联典型示例典型示例48例749已知R1的绝对误差是R1,R2的绝对误差是R2，试分别求出两电阻串联和并联时的误差表达式。 解 设串联时的总电阻为RC，则 RC=R1+R2 RC的绝对误差为 RC=R1+R2 设并联时的总电阻为RB,则 )(121221RR
27、RRRRRiC2121RRRRRB221212221221)(,)(RRRRRRRRRRBB)()(1211222212211RRRRRRRRRRRRRBBB)()(122111221RRRRRRRRRRbBRB例850测量结果的表示测量结果的表示设被测量Y的估计值为y，估计值所包含的已定系统误差分量为y,估计值的随机误差为U，则被测量Y的测量结果可表示为 Y=y-yU 或者 y-y-UYy-y+U 如果对已定系统误差分量为y=0，也就是说测量结果的估计值y不再含有可修正的系统误差，而仅含有不确定的误差分量，此时，测量结果可用下式表示 Y=yU y-UYy+U 用上述两种形式给出测量结果时，应
28、指明ky的大小或测量结果的概率分布及置信概率p。在测量实践中，常见的测量结果的表达形式有： Y=yU (p=0.68) Y=yU Y=yU (p=0.99)51微小误差准则与比对标准的选取微小误差准则与比对标准的选取微小误差准则微小误差准则 根据有效数字规则，当某一项误差忽略后所带来的计算误差不超过总误差末位的半个单位，该项误差就是微小误差微小误差，也是微小误差的基本准则微小误差的基本准则 。对于已定系统误差合成，若某项误差分量不大于总误差的1/20时，则该误差分量可视为微小误差，即可忽略不计。对于工程测量，上述准则可放宽到某项误差分量不大于总误差的1/10时，则该误差分量即可忽略。比对标准的选取比对标准的选取比对标准的选取在仪器仪表的检定中是首先要解决的问题。当被检仪器的允许误差用一位有效数字表示时，标准仪器(或量具)的误差可忽略的条件是 式中 UN标准仪器(或量具)的允许误差； Ux被检仪器的允许误差。被检误差中以正态分布的随机误差或未定系统误差为主时，标准仪器的误差可忽略条件是 xNUU)3191(xNUU31
