1、第三章第三章 各向异性弹性力学基础各向异性弹性力学基础第一节第一节 简介简介 什么是均质材料？什么是均质材料？p以往所学的材料力学与弹性力学的研究对象主要以往所学的材料力学与弹性力学的研究对象主要是是均质、各向同性均质、各向同性材料材料 均质材料均质材料是指材料内部各个不同物质点（或空间坐是指材料内部各个不同物质点（或空间坐标）的性质相同，如弹性模量标）的性质相同，如弹性模量 什么是各向同性材料？什么是各向同性材料？各向同性材料各向同性材料是指材料沿不同方向的性质相同（图）是指材料沿不同方向的性质相同（图）从细观上看，复合材料是异质材料，从细观上看，复合材料是异质材料，因为材料中的增因为材料中
2、的增强相和基体相的材料性质不同，所以复合材料细观力强相和基体相的材料性质不同，所以复合材料细观力学要反映出这种非均质性。学要反映出这种非均质性。从宏观力学分析角度看，复合材料可被视作均质各向从宏观力学分析角度看，复合材料可被视作均质各向异性材料。异性材料。（没有绝对的均质材料，如离散原子在空（没有绝对的均质材料，如离散原子在空间的密度就不均匀，可以视作连续和均质是因为所研间的密度就不均匀，可以视作连续和均质是因为所研究系统的尺度远大于材料不均匀变化波长。）究系统的尺度远大于材料不均匀变化波长。）各向异性是复合材料宏观力学的最重要特征！各向异性是复合材料宏观力学的最重要特征！复合材料的各向异性可
3、能来源于两个方面复合材料的各向异性可能来源于两个方面 增强相排布的方向性增强相排布的方向性 增强相和基体相本身的各向异性增强相和基体相本身的各向异性复合材料宏观力学分析的基本假设复合材料宏观力学分析的基本假设 1)1)所研究的所研究的各向异性各向异性弹性体为均质连续固体弹性体为均质连续固体. . 2)2)线弹性范围内线弹性范围内, ,服从广义虎克定律服从广义虎克定律. . 3)3)小变形小变形各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别 差别在于差别在于: :本构方程本构方程 其它平衡方程其它平衡方程, ,几何方程几何方程, ,协调方程协调方程, ,和边
4、界条件等和边界条件等则完全相同则完全相同. . 即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律, ,这这一代换将使力学计算及反映的现象十分复杂一代换将使力学计算及反映的现象十分复杂. .弹性力学相关知识回顾单元体应力及正负号规定单元体应力及正负号规定如果作用面的外法线指向坐标系中相应坐标轴的如果作用面的外法线指向坐标系中相应坐标轴的正向正向,而应力分量也指向对应坐标轴的正向而应力分量也指向对应坐标轴的正向,则应则应力分量为正。当两个下标中力分量为正。当两个下标中,只有一个指向坐标只有一个指向坐标轴的正向时轴的正向时,该应力分量就为负该应力分量就为负.yyyzy
5、xyzyxyx作用在y面上的正应力作用在y面内x方向的剪应力z各向异性弹性力学问题需满足的基本方程220()xyxxzuXxyzt220()xyyyzvYxyzt220()zyxzxwZxyzt静力平衡方程（3）X，Y，Z作用于微元体的体积力力要平衡！力要平衡！几何关系(小变形)(6)xuxyvyzwzzywvyzzxwuxzyxuvyx变形要协调！变形要协调！三个独立的位移场即可以完全确定变形，而应变三个独立的位移场即可以完全确定变形，而应变亦可以描述变形，它们之间满足以下关系！亦可以描述变形，它们之间满足以下关系！本构方程（6）反映出材料反映出材料的性质！的性质！6, xyzyzxzyx个
6、应变分量,6, xyzyzxzyx个应力分量,与与之间的关系之间的关系各向异性弹性力学问题需满足的基本方程 与各向同性弹性力学一样与各向同性弹性力学一样, ,各向异性弹性力各向异性弹性力学有学有1515个未知量个未知量3个位移分量,u,v,w6, xyzyzxzyx个应变分量,6, xyzyzxzyx个应力分量, 1515个场方程个场方程静力平衡方程（静力平衡方程（3 3）几何关系（）几何关系（6 6）本构方程（）本构方程（6 6）可以求解了吗？可以求解了吗？给定力的边界条件(3),xxyxzyxyyzzxzyzlmnXlmnYlmnZ已知已知已知定解还需边界条件！定解还需边界条件！给定位移的
7、边界条件(3),uuvvww已知已知已知 以上的力学,几何,物理,以及边界条件诸方面构成各向异性弹性力学的基本方程,与各向同性弹性力学的区别在于物理方程.其它均相同第二节 各向异性弹性力学的本构方程 小变形时,iijjC刚度矩阵柔度矩阵iijjS应力应变本来是张量，将其转换成列阵1 CS用矩阵表示111121314151612212223242526233132333435363441424344454645515253545556566162636465666CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC刚度矩阵36个111121314151612212223242
8、526233132333435363441424344454645515253545556566162636465666SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS柔度矩阵刚度矩阵的刚度矩阵的性质一性质一ijjiCC刚度矩阵是对称阵刚度矩阵是对称阵（可由应变势能密度的微分与（可由应变势能密度的微分与次序无关得到）次序无关得到）从从36个弹性常数到个弹性常数到21个个（最一般的各向异性，即（最一般的各向异性，即在弹性体内不存在任何弹性对称关系的各向异性在弹性体内不存在任何弹性对称关系的各向异性体）体）1111213141516122122232425262331323
9、33435363441424344454645515253545556566162636465666CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC几种各向异性弹性力学的本构方程 1 完全各向异性(21个弹性常数)在均质弹性体中,若过每一点沿不同的方向都具有不同的弹性特性时,这种弹性体称之为一般各向异性体.111121314152116122223242526233334353634444546455556566313241424351525354616263646566CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 如果材料具有某种对称性，独
10、立的刚度矩阵如果材料具有某种对称性，独立的刚度矩阵（或柔度矩阵）弹性常数数目将减少（或柔度矩阵）弹性常数数目将减少什么是对称性？什么是对称性？经过某种操作，材料性质或行为保持不变的特性，如经过某种操作，材料性质或行为保持不变的特性，如镜面对称镜面对称旋转对称（中心对称是其特例）旋转对称（中心对称是其特例）平移对称平移对称p 有一弹性对称面(13个弹性常数) 对于一物体点对于一物体点, ,所谓弹性对称面是指通过该所谓弹性对称面是指通过该点有这样一种平面点有这样一种平面, ,沿这些平面的对称方向沿这些平面的对称方向弹性性能是相同的弹性性能是相同的. . 例如例如: :单向纤维复合材料宏观而言是各向
11、异单向纤维复合材料宏观而言是各向异性均匀体性均匀体, ,垂直于纤维的各横截面都是弹性垂直于纤维的各横截面都是弹性对称面对称面. .垂直于弹性对称面的轴为材料的主垂直于弹性对称面的轴为材料的主轴轴( (弹性主轴弹性主轴),),其方向为弹性主方向其方向为弹性主方向. .只有13个(21-8)弹性常数1111213161222232623333634444545555666600000000SSSSSSSSSSSSS对称对于各向异性材料的柔度矩阵或刚度矩阵，对于各向异性材料的柔度矩阵或刚度矩阵，其分量是和坐标方向选取有关！其分量是和坐标方向选取有关！可以从两方面理解：可以从两方面理解：1 张量的分量
12、、张量的分量、2 以单以单拉为例拉为例正交各向异性 (9个弹性常数)(13-4) 是指过均质弹性体的每一点有三个互相正交的弹性主轴(三个互相正交的弹性对称面)的情况3x2x1x3x2x1x右手坐标系左手坐标系111121312222323333444455556666000000000000SSSSSSSSS对称没有拉压没有拉压剪切耦合剪切耦合现象现象没有不同平没有不同平面内的剪切面内的剪切耦合现象耦合现象正交各向异性(三个互相正交的弹性对称面) (9个弹性常数)(13-4) 通过分析几何的对称性可推测弹性对称性通过分析几何的对称性可推测弹性对称性。例子：。例子：纤维在横截面内按距形排列的单向
13、纤维复合材料纤维在横截面内按距形排列的单向纤维复合材料, ,宏宏观而言是一正交异性体的例子观而言是一正交异性体的例子. .321()纤 维 方 向宏观均匀正交异性体3 个 主 轴横观各向同性横观各向同性(5(5个弹性常数个弹性常数) )3 ()T2 ()T1()L宏观均匀横向同性体如果通过均质弹性如果通过均质弹性体的每一点都可以体的每一点都可以找到某一相互平行找到某一相互平行的平面的平面, ,并且该平面并且该平面内所有各个方向的内所有各个方向的弹性性质均相同弹性性质均相同, ,纤维在横截面内是随机排列的纤维在横截面内是随机排列的, ,宏观而言宏观而言, ,其所有横方向其所有横方向的弹性性能均相
14、同的弹性性能均相同,_,_横观各向同性横观各向同性横观各向同性横观各向同性 5 5个弹性常数个弹性常数12211223,E EGG111121212222323223444456656666000000000000SSSSSSSSS对称工程常数 指广义的弹性模量,泊松比,剪切模量等弹性系数. 可以通过简单的拉伸与纯剪得到. 比柔度系数,刚度系数的确定容易.刚度（柔度）矩阵中的弹性常数不够直刚度（柔度）矩阵中的弹性常数不够直观，因此实际中要引入观，因此实际中要引入正交各向异性体的工程常数1312123232112331321232331121000100010001000001000001000
15、00EEEEEEEEESGGG/iiijijjjjjS EE 当只在当只在j方向作用正应力时方向作用正应力时这样就变成共有这样就变成共有12个弹性常数，但应该只有个弹性常数，但应该只有9个个是独立的，因此有是独立的，因此有三个互等关系112221EE332223EE113331EE【选作题】对于横观各向同性，有几个不等的工程常数，有几个互等关系？是什么？弹性常数的取值范围 根据非0应变状态的弹性应变能为正值,应变能应是应变或者是应力的正定二次型.应变能的表达式为:12ijijWS W是 的正定二次型的充要条件是i矩阵S的所有主要主子式大于零.110S11det0S111221220SSSS等等
16、对于各向同性100010001111EEEEEESGGG按照矩阵S的所有主要主子式大于零.计算出正定二次型的充要条件【习题】10, 12E 实际的各向同性材料:1021 31 21232 32332 33 11 2100010001111EEEEEESGGG对于正交各向异性因为对角线各元素都是主子式123233112,0E E E GGG12121222101EEEE1312123232331101EEEEEE2223123221 1321321323111(1)22EEEEEE 用实验测出用实验测出, ,细观力学计算的弹性常数必细观力学计算的弹性常数必须满足须满足1.1. 上述各类不等式的取
17、值范围上述各类不等式的取值范围. .2.2. 各种互等关系各种互等关系否则否则, ,测试有问题测试有问题, ,计算有问题计算有问题, ,或者问题或者问题本身不能采用宏观弹性理论处理本身不能采用宏观弹性理论处理. .小结 一般各向异性刚度（柔度）矩阵对称（一般各向异性刚度（柔度）矩阵对称（2121） 对称性分析：一个对称面（对称性分析：一个对称面（1313），三个正交），三个正交对称面【正交各向异性（对称面【正交各向异性（9 9）】，横观各向同）】，横观各向同性（性（5 5），各向同性（），各向同性（2 2） 工程常数及互等关系工程常数及互等关系 弹性常数物理可能的取值范围弹性常数物理可能的取值范围
