1、4.5 相似三角形相似三角形河南信阳浉河中学河南信阳浉河中学 汪老师汪老师各各角角对应对应相等相等，各，各边边对应对应成比例成比例的两个多边形叫做相似的两个多边形叫做相似多边形。多边形。注意注意:1.:1.对应顶点应写在对应顶点应写在对应的位置上对应的位置上. 2.对应边的比叫做对应边的比叫做相似比相似比. 3.相似比是相似比是有顺序性有顺序性的的.回顾感知回顾感知 下列说法正确的是下列说法正确的是( )( ) A. A.所有的矩形都相似所有的矩形都相似. . B. B.所有的菱形都相似所有的菱形都相似. . C. C.正六边形与正八边形相似正六边形与正八边形相似. . D. D.所有的正三角
2、形都相似所有的正三角形都相似. .回顾感知回顾感知D三三角角对应相等，对应相等，三边三边对对应成比例的两个三角形应成比例的两个三角形叫做叫做相似三角形。相似三角形。相似三角形对应边的比叫相似三角形对应边的比叫相似比相似比，用字，用字母母K K表示。表示。 则则ABCABC与与DEFDEF若若A = D B = E C = FEFBCDFACDEABABCDEF记作记作:相似相似注意：注意：要把表示对应角顶点要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！的字母写在对应的位置上！下列命题中，（下列命题中，（1）所有的等腰三角形）所有的等腰三角形都相似；（都相似；（2）所有的等边三角形都相）所有的等边三
3、角形都相似；（似；（3）所有的等腰直角三角形都相）所有的等腰直角三角形都相似；（似；（4）所有的直角三角形都相似。）所有的直角三角形都相似。其中真命题的序号是其中真命题的序号是 。(2)(3) 若若ABCABC与与DEFDEF相似，相似，A = D, B = E, C = FEFBCDFACDEABABCDEF则则它们的对应角它们的对应角相等相等，对应边对应边成比例成比例 自主练习自主练习x2033482230BAEDC1.1.在下面的图形中，有两个相似三角在下面的图形中，有两个相似三角 形，试确定形，试确定x x的值。的值。书书P129 2.2.在下面的图形中，有两个相似三在下面的图形中，有
4、两个相似三角形，试确定角形，试确定 y y、m m、n n的值。的值。 m50452ayADECF45853a10nB 自主练习自主练习相似三角形 n 考点一比例线段考点一比例线段n 对于四条线段对于四条线段a a、b b、c c、d d，如果其中，如果其中两条线段两条线段a a，b b的长度比与另两条线段的长度比与另两条线段c c，d d的长度比相等，即的长度比相等，即_，那么，这四条线，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段段叫做成比例线段，简称比例线段 注意注意 求两条线段的比时，对这两条线段要用求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度同一单位长度北师大版北师大版北师大版北师
5、大版北师大版北师大版北师大版北师大版L3L4L5ABCDEFL1L2L3L4L5L1L2L3L4L5L1L2L3L4L5L1L2L3L4L5L1L2L3L4L5L1L2L1L2L3L4L5 平行于三角形一边的直线截其他平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等应线段的比相等.ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5 平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。相交，所构成的三角形与原三角形相似。知识要点知识要点平行于三角形一边的定理平行于三角形一边的定理A
6、BCDE即：即：在在ABC中，中，如果如果DEBC，那么那么ADEABCA型型 你还能画出其你还能画出其他图形吗？他图形吗？ 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。DEACB延伸延伸即：即：如果如果DEBC，那么那么ADEABC你能证明吗？你能证明吗？X型型 平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定三角形相似的预备定理：判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线）（简称：平行线）在在ABC中，中， DEBCADEABC符号语言：符号语言：ABCDE（图
7、（图1）（图（图2）DEOBC“A”型型 “X”型型 ABDECl这是两个极具代表性的l相似三角形基本模型：“A”型和“X” 型这个这个两个模型在今后学习的过程中作用很大在今后学习的过程中作用很大,你你可要认真噢！可要认真噢！ABCDElEDCBA l E D C B A l E D C B A 平行于三角形一边的直线截其它两边，平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的所得的对应线段成比例对应线段成比例。推论推论ABCDE即：即：在在ABC中，中，如果如果DEBC，那么那么,ADAEDEABACBC,ADAEDBEC,DBECADAE,ABACBCADAEDE（上比全，（上比全， 全比上）全比
8、上）（上比下，下比上）（上比下，下比上）（下比全，全比下）（下比全，全比下）DBECABAC，,ABACDBEC定义定义判定方法判定方法全等全等三角三角形形相似相似三角三角形形回顾并思考回顾并思考三角、三边对三角、三边对应相等的两个应相等的两个三角形全等三角形全等三角对应相等三角对应相等, 三三边对应成比例的两边对应成比例的两个三角形相似个三角形相似 角边角角边角ASA角角边角角边AAS边边边边边边SSS边角边边角边SAS斜边与直角边斜边与直角边HL 判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？ 对应角相等。对应角相等。 对应边成比例。对应边成比例。 对
9、应高的比等于相似比。对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。2. 相似三角形的性质：相似三角形的性质：练习：如图练习：如图D D为为ABCABC的边的边ACAC上一点，过上一点，过点点D D作作DEABDEAB，交，交BCBC于于E.E.已知已知BEBE：EC=1EC=1：2 2，AB=6AB=6，求，求DEDE的长的长. .5、如图，在、如图，在 ABCD中，中，E是边是边BC上的一点，上的一点，且且BE:EC=3:2，连接，连接AE、BD交于点交于点F，则，则BE:AD=_，BF:FD=_。6、如图，
10、在、如图，在ABC中，中，C的平分线交的平分线交AB于于D，过点，过点D作作DEBC交交AC于于E，若，若AD:DB=3:2，则，则EC:BC=_。ABCDEFABCED3:53:53:53:53:53:5练习练习 如图，在如图，在ABC中，中，DGEHFIBC， （1）请找出图中所有的相似三角形；请找出图中所有的相似三角形； （2）如果）如果AD=1，DB=3，那么那么DG：BC=_。ABCDEFGHIADGAEHAFIABC1：4答案是答案是2:1不相似，请说明理由。，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似，和如图在正方形网格上有222111ACBACB 1.1.已知：如图，已知：如图，AB
11、EF CDABEF CD，CDABEFO3图中共有图中共有_对相似三角形。对相似三角形。 EOFCOD ABEF AOB FOE ABCDEFCDAOB DOC基础训练基础训练 2.2.如图，如图，ABC ABC 中，中，DEBCDEBC，GFABGFAB， DEDE、GFGF交于点，则图中与交于点，则图中与ABCABC 相似的三角形共有多少个相似的三角形共有多少个? ?请你写出来请你写出来. .解：解： 与与ABC相似的三角形有相似的三角形有3个个:A ABCDEFGOABCDE相似具有传递性相似具有传递性ADEABCMN 如果再作如果再作 MNDE ，共有多少对相似三角形？，共有多少对相似
12、三角形？AMNADEAMNABC共有三对相似三角形。共有三对相似三角形。 2.2.如图如图, ,已知在已知在 ABCDABCD中中,EF/AB,DE:EA=2:3,EF=4,EF/AB,DE:EA=2:3,EF=4,求求CDCD的长的长. . ABCDEF3.3.如图如图, ,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中延长中延长BCBC至至E,E,连结连结 AEAE交交BDBD于点于点O,O,交交CDCD于于F,F,则图中相似三角形则图中相似三角形 有有-对对. . ABCDEFO6相似比相似比k（对应边的比值）对应边的比值）k 1 两三角形形状两三角形形状 相同而大小不同相同而大小不同 k=
13、1 两三角形全等两三角形全等课堂小结课堂小结对应角相等对应角相等对应边成比例对应边成比例定义定义表示法表示法“ ”相似三角形相似三角形相似三角形判定预备定理：相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似形与原三角形相似. .4:2=5:x=6:y4:x=5:2=6:y4:x=5:y=6:2要作两个形状相同的三角形框架要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形其中一个三角形的三边的长分别为的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的另一个三角形框架的一边长为一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似怎样选料可使这两个三角形相似?4562
