1、目录目录1.三角形内角和定理2.三角形外角性质3.三角形按角的大小分类明确性质课堂小结实际运用证明引入 教学目标1.明确三角形内角和外角的性质，以及三角形按角的大小的分类。2.实际运用三角形角的性质解决问题。3.熟悉转化，类比等思想。一一. 三角形内角和定理三角形内角和定理小学时我们如何得出三角形的三个内角小学时我们如何得出三角形的三个内角的和等于的和等于180度？度？我们还可以通过测量来得出结论。我们还可以通过测量来得出结论。回顾回顾裁剪，拼接已知已知，求证：，求证：A+B+C=180 但上述方法仅仅是通过实验和观察得出的结论，我们还需要通过理论上的证明，得出一般性结论。而运用我们上学期学到
2、的知识，结合小学时拼接的方法，可以证明出这一性质。回顾回顾CBA证法证法1：延长延长BC到到D，过，过C作作CEBA， A=1 (两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)B=2(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)又又1+2+ACB=180A+B+ACB=18021EDCBA 在这里，为在这里，为了证明的需要，了证明的需要，在原来的图形基在原来的图形基础上另外所作的础上另外所作的线叫做线叫做辅助线辅助线。在几何学中有极大的意义。在平在平面几何里，辅助面几何里，辅助线通常画成虚线线通常画成虚线。证法：证法：过过A作作EFBA， B=2(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)
3、 C=1(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等) 又又2+1+BAC=180B+C+BAC=180F21ECBA能用其他添加辅助线的方法证明三角形内角和为180吗？CBA 试一试CBEA证法证法3：过A作AEBC，B=BAE (两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)EAB+BAC+C=180(两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补)B+C+BAC=180当然，还有其他添辅助线的方法：FGEACBD（DAE= 180）DFBECA（BCE=180） BACOFGDEMN（MON=180） COBADEFGMNHKLP（MON=180） 为了证明三个角的和为为了证明三个角的和为
4、180,转转化为一个平角或同旁内角互补化为一个平角或同旁内角互补,这种这种转转化思想化思想是数学中的常用方法。是数学中的常用方法。 思路由以上的证明，我们可以得到三角形由以上的证明，我们可以得到三角形三个内角之间的一个重要性质：三个内角之间的一个重要性质：定理：三角形的内角和等于定理：三角形的内角和等于180180。这个定理称为三角形内角和定理，它这个定理称为三角形内角和定理，它的应用十分广泛。的应用十分广泛。 结论1.计算下列三角形中标有x的角的度数。 练习x x xx x x =45 x =602 x xx =30 x5550 x =753.已知ABC中,A=2(B+C),则A的度数为(
5、) A.100 B.120 C.140 D.160100 B代入：B+C=180 -A 2.在ABC中，已知 A:B:C=1:3:5，则最大的角为（ ）。4.若三个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于（ ）A.30 B.45 C.60 D.55答案：C.假如最小角不小于60度，因三个内角互不相等，所以另外两个非最小角必大于60度。此时，该三角形内角和必大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，故假设不可能成立，即它的最小角必小于60度。）5.如图，C岛在A岛的北偏东50 方向,B岛在A岛的北偏东80 方向,C岛在B岛的北偏西40 方向.从C岛看A,B两岛的视角ACB是多少度?ABC北北北
6、北DE508040解：CAB=BAD-DAC=80-50 =30 由ADBE可得 DAB+EBC=180 ABE=180-BAD=180-80=100 ABC=ABE-EBC=100-40=60 在ABC中，由三角形内角和定理得 ACB=180-ABC-CAB =180-60-30=90 答:从C岛看A,B两岛的视角ACB是90度.课本P81 试一试我们学过三角形，类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形。这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360度。 多边形内角和344233(n-3)(n
7、-2)(n-2)课本 P81 表格多边形内角和公式：n边形内角和等于180180180)2(n 结论3.一个多边形的内角和超过640度，则此多边形边数的最小值是（ ）。 A.5 B.6 C.7 D.8640180)2(nB2.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形A 二二. 三角形外角性质三角形外角性质外角的概念：外角的概念：三角形的三角形的一边一边与另一边的与另一边的延长线延长线所组成的角叫做三角形的外角。所组成的角叫做三角形的外角。如图，点D是ABC的边BC延长线上的一点，则ACD叫做ABC的一个外角。练习A
8、BC有多少个外角？ 思考CBA6个 探究上图中上图中A A=70=70, , B B =60 =60 ACDACD是是ABCABC的一个外角的一个外角, , 能求出能求出ACDACD 是是多少度吗？多少度吗？130 过点过点C C作作C EC EA B A B 。2= B2= B（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） 1=A 1=A （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） ACD=1+2=B+AACD=1+2=B+ABDACE进一步说明进一步说明ACD与与 A，B有什么有什么关系。关系。12ACD=B+AACD=B+A1.ACD=B+A1.ACD=B+A2.ACDA
9、2.ACDA ACDB ACDB（在这里，度数大于（在这里，度数大于0 0）由以上的证明，我们可以得到由以上的证明，我们可以得到三角形外角性质：（）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 结论 练习1.2.下列语句中，正确的是（ ） A.三角形的外角大于任何一个内角 B.三角形的外角等于这个三角形的 两个内角之和 C.三角形的外角中，至少有两个钝角 D.三角形的外角中，至少有一个钝角C与它不相邻的与它不相邻的与它不相邻的两P82 例3注意写法3. P86.6如图，如图，D D 是是ABC ABC 的的BC BC 边上一点，边上一点， B
10、 BBADBAD，ADCADC8080，BACBAC=70=70. . 求：（求：（1 1）B B 的度数；的度数； （2 2）C C 的度数的度数. . 5020 4.4.我们知道三角形的内角和是180，那么三角形的外角和是多少？注意：我们讲三角形的外角和时，在三角形的每一个顶点处只取一个外角。如图，已知如图，已知1，2，3是是ABC的外角，的外角，求求1+2+3的和。的和。ABC123解：解：11，22，33是是ABCABC的外角，的外角， 1= 4+ 5 1= 4+ 5，2= 4+ 6 2= 4+ 6 3= 5+ 6 3= 5+ 6 1+2+3 1+2+3 =4+ 5+4+ 6+5+ 6
11、 =4+ 5+4+ 6+5+ 6 =2(4+ 5 +6)=2(4+ 5 +6) 4+ 5 +6 =180 4+ 5 +6 =1802(4+ 5 +6)2(4+ 5 +6) =360 =360ABC123456由此，我们得出：三角形三个外角的和等于360360注意：目前我们在做解答题时，不能直接用以上结果。AABBCCDDEEFF . .4.360解解: :AAC=AGPC=AGP B BE=BHPE=BHP F FD=HPG (D=HPG (三角形外角性质三角形外角性质1 1） 又又 AGPAGP +BHP+ HPG=360+BHP+ HPG=360 A ABBCCDDEEF F 360360
12、思考三角形三个外角的和等于360，那多边形呢？试求五边形和六边形的外角和。5 5边形外角和边形外角和= 360 = 360 = = 5 5个平角个平角 - - 5 5边形内角和边形内角和= 5= 5180180- - (5-2) (5-2) 180 1806 6边形外角和边形外角和= 360 = 360 = = 6 6个平角个平角 - - 6 6边形内角和边形内角和= 6= 6180180- - (6-2) (6-2) 180 180n n边形外角和边形外角和= n= n个平角个平角 - - n n边形内角和边形内角和= = 360 360 = = n n180180- (n-2)- (n-2
13、)180180= =（n n n n +2+2）180180= = 2 2180180与边数与边数n n无关无关有什么规律？任意任意凸凸多边形多边形的外角和等于的外角和等于360360. .因此，我们得出： 结论注意：注意：1.凸多边形的外角和为一个定值，与边凸多边形的外角和为一个定值，与边 数无关。数无关。2.凹多边形的外角和不一定为凹多边形的外角和不一定为360 。1.如果一个多边形的每一个外角都是锐角，那么这个多边形的边数一定不小于（ ）A.3 B.4 C.5 D.6 Cn903602.工人师傅要将一个四边形的桌面用锯工人师傅要将一个四边形的桌面用锯子锯成一个多边形，且这个多边形的内子锯
14、成一个多边形，且这个多边形的内角和等于它外角和的角和等于它外角和的3倍，请问要锯成倍，请问要锯成几边形？几边形？( (n n-2) 180-2) 180= 3= 3360360解得解得 n n = 8= 8因此要锯成八边形因此要锯成八边形. .解：解：设多边形的边数为设多边形的边数为n n， 由题意得由题意得 三.三角形按角的分类思考思考1.三角形的内角中最多能有几个直角？2.三角形的内角中最多能有几个钝角？三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。这样，三角形按角的大小可以分成：1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:
15、4, 则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形A2.在ABC中,A= B= C,则此三角形是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形1213B练习练习参数法参数法3.如果一个三角形的两个外角之和为 270度，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定B AB2C=270AB=360-270 C=90 总结这节课学到了什么？三角形内角和定理：三角形的内角和等180。多边形内角和公式：三角形外角性质：（）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。任意凸多边形的外角和等于360.180)2(n1.2.3.
