1、 理论力学多媒体课件 单单 位：理学院工力系位：理学院工力系 制作人：王制作人：王 永永 刚刚 时时 间：间：20132013、0303第十三章 虚位移原理引引 言言 虚位移原理，是用分析的方法来研究任意虚位移原理，是用分析的方法来研究任意质点系的平衡问题。这部分内容称为分析静力质点系的平衡问题。这部分内容称为分析静力学。虚位移原理给出的平衡条件，对于任意质学。虚位移原理给出的平衡条件，对于任意质点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决质点系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移质点系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移原理和达朗伯原理相结合，可以导出动力学普
2、原理和达朗伯原理相结合，可以导出动力学普遍方程和拉格朗日方程，从而得到求解质点系遍方程和拉格朗日方程，从而得到求解质点系动力学问题的又一个普遍的方法。动力学问题的又一个普遍的方法。第十三章 虚位移原理 13.1 约束类型及分类13.2 虚位移的概念及分析方法13.3 虚位移原理及应用13.4 自由度及广义坐标广义坐标13.5 用广义力表示系统的平衡条件用广义力表示系统的平衡条件 限制质点系中各质点的位置和运动的条件称为约束。表限制质点系中各质点的位置和运动的条件称为约束。表示这些限制条件的表达式称为约束方程。根据约束形式及其示这些限制条件的表达式称为约束方程。根据约束形式及其性质，约束可分以下
3、类型：性质，约束可分以下类型： 一、几何约束与运动约束一、几何约束与运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。如：如：Oxy),(yxMl222lyx13.1 约束类型及分类约束类型及分类O),(AAyxA),(BByxBrlxy0)()(222222BABABAAylyyxxryx 几何约束方程的一般形式为几何约束方程的一般形式为0),(111 nnnrzyxzyxf 不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的速度的约束称为运动约束。速度的约束称为运动约束。),(
4、BByxBBvOxyCr为几何约束方程。为几何约束方程。ryB0rxB为运动约束方程。为运动约束方程。运动约束方程的一般形式为运动约束方程的一般形式为0),(111111 nnnnnnrzyxzyxzyxzyxf 二、定常约束与非定常约束二、定常约束与非定常约束约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。 Oxy),(yxMu0l其约束方程为其约束方程为2022)(utlyx 非定常约束方程的一般形式为非定常约束方程的一般形式为0),(111 tzyxzyxfnnnr 三、双面约
5、束与单面约束三、双面约束与单面约束 同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面约同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面约束。束。 只能限制质点某方向的运动，而不能限制相反方向运动只能限制质点某方向的运动，而不能限制相反方向运动的约束称为单面约束。其约束方程的一般形式为的约束称为单面约束。其约束方程的一般形式为0),(111 nnnrzyxzyxf四、完整约束与非完整约束四、完整约束与非完整约束 几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。完整约束。 如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且
6、不可以积分，这种约束称为非完整约束。不可以积分，这种约束称为非完整约束。 本章只研究定常的双面的完整的几何约束问题。本章只研究定常的双面的完整的几何约束问题。13.213.2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 一、基本概念一、基本概念 虚位移：虚位移：质点系在给定瞬时为约束所容许的任意方向的微小位质点系在给定瞬时为约束所容许的任意方向的微小位移移MrrdABOArBrArBr实位移实位移：在无限小时间间隔在无限小时间间隔d dt t内内, ,系统的真实运动所产生的位移系统的真实运动所产生的位移所谓真实运动所谓真实运动, ,是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始是指既满足约束方程
7、又满足运动微分方程和初始条件的系统运动。因此条件的系统运动。因此, ,在任意时刻在任意时刻, ,系统的实位移是惟一的。系统的实位移是惟一的。1 1、虚位移与实位移、虚位移与实位移虚位移不惟一虚位移不惟一虚位移可以是线位移，也可以是角位移虚位移可以是线位移，也可以是角位移（1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。 即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关。 （2）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关， 实位移是真实发生的位移，可以是微小值，也可 以是有限值，而且与时间和初始条件有关。 2 2、虚位移与实位移的区别与联系、虚位移与实位移的区别与联系W1r2rrdW1r2rWrd（4）在定常系
8、统中，实位移是虚位移之一 ， 在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一。 （3）虚位移不惟一，而实位移是惟一的。二、虚位移间关系的分析方法二、虚位移间关系的分析方法 1 1、几何法、几何法 OABIArBrOArAAIOAAIrAABrAIBIOAAIBIBIr（虚速度法）在同一时刻（位置），各点之间的虚位移的关系等同于各点之间的虚速度的关系。2 2、解析法、解析法 2 1BAabxy1cosayA1sinaxA21sinsinbaxB21coscosbayB11cosaxA11sinayA2211coscosbaxB2211sinsinbayBA, B两点的x,y坐标用1，2表示MFr
9、 如图所示，设某质点受力如图所示，设某质点受力 作用，作用，并给该质点一个虚位移并给该质点一个虚位移 ，则力，则力 在虚在虚位移位移 上所作的功称为上所作的功称为虚功虚功，即，即FFrrrFW或或rFWcos 显然，虚功也是假想的，它与虚位移是同阶无显然，虚功也是假想的，它与虚位移是同阶无穷小量穷小量。 如果在质点系的任何虚位移中，所有的约束反如果在质点系的任何虚位移中，所有的约束反力所作虚功的和等于零，则这种约束称为理想约束力所作虚功的和等于零，则这种约束称为理想约束。其条件为其条件为0iiNrNW13.3 13.3 虚位移原理及应用虚位移原理及应用 常见的理想约束有：常见的理想约束有： 支
10、承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光滑铰链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点滑铰链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。 具有双面、定常、理想约束的质点系，具有双面、定常、理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的、必要与充分条件是：在某一位置处于平衡的、必要与充分条件是：所有作用于质点系上的主动力，在该位置的所有作用于质点系上的主动力，在该位置的任何虚位移中所作的虚功之和等于零。任何虚位移中所作的虚功之和等于零。其数其数学表达式为学表达式为0iirF或或0cosiiirF或用解析式表示为或用
11、解析式表示为0)(iiiiiizZyYxX以上三式称为以上三式称为虚功方程虚功方程。虚位移原理也称。虚位移原理也称虚虚功原理功原理。 虚位移原理解题的类型：1. 求主动力间的关系2. 求约束反力（包括杆件的内力）3. 确定系统的平衡位置已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系例例1：已知已知 OA=L，试求试求系统在图示位置平衡时，系统在图示位置平衡时，力偶矩力偶矩M与力与力F的关系的关系（不计摩擦）。（不计摩擦）。01niiirFAB FMO1C2C090 gm1gm2gm3基本步骤：基本步骤：1.确定系统是否满足原理的应用条件确定系统是否满足原理的应用条件2.分析主动力作用点的虚位移分析
12、主动力作用点的虚位移3.求主动力的虚功之和求主动力的虚功之和 BArrLFM 0W0MrFBMFL0)(MFL0ABBABArrLrrBA0 MLFABFMOgm1gm2gm3Ar1CrBr解：解：2Cr 例例2 图示机构中，当曲柄图示机构中，当曲柄OC绕轴摆动时，滑块绕轴摆动时，滑块A沿曲柄自沿曲柄自由滑动，从而带动杆由滑动，从而带动杆AB在铅垂导槽在铅垂导槽K内移动。已知内移动。已知OC=a，OK=l，在，在C点垂直于曲柄作用一力点垂直于曲柄作用一力Q，而在，而在B点沿点沿BA作用一力作用一力P。求机构平衡时，力。求机构平衡时，力P与与Q的关系。的关系。OxyPQABKClaOxyPQAB
13、KClaCrArerrr 解解1：（几何法）以系统为：（几何法）以系统为研究对象，受的主动力有研究对象，受的主动力有P、Q 。给系统一组虚位移如图。给系统一组虚位移如图。其中其中reArrr由虚位移原理由虚位移原理0iirF，得，得0CArQrP式中式中arC2coscoslrreA故有故有0cos2QalP由于由于 ，于是得，于是得0PalQ2cosOxyPQABKCla主动力作用点的坐标及其变分为主动力作用点的坐标及其变分为主动力在坐标方向上的投影为主动力在坐标方向上的投影为 解解 2 （解析法）建立如图坐标。（解析法）建立如图坐标。ltgyA2coslyAcosaxCsinaxCsina
14、yCcosayCPYAsinQXCcosQYC由由0)(iiiiiizZyYxX，得，得0CCCCAAyYxXyY即即0cos)cos()sin(sincos2aQaQlP亦即亦即0cos2QalP由于由于 ，于是得，于是得0PalQ2cosOxyPQABKCla已知质点系处于平衡状态，求其内力求其内力或约束力或约束力 例例3 试求图示多跨静定梁铰试求图示多跨静定梁铰B处的约束反力。处的约束反力。44433336ABCDEFG1P2P3PM 解：以梁为研究对象，解除解：以梁为研究对象，解除B处约束，代之以相应的约处约束，代之以相应的约束反力束反力 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。，
15、并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。BYABCDEFG1P2P3PMBY1r2rBr3rEr 由虚位移原理有由虚位移原理有0332211MrPrPrYrPBB由图知由图知161181163,811,21223321BBBBrrrrrrrrrr96111621162BBEBrrrrrBrr16113Br9611于是得于是得0)9611161181121(321BBrMPPYP从而有从而有MPPPYB96111611811213210Br 例题4. 多跨梁由AC和CE用铰C连接而成。荷载分布如图示.P=50KN，均布荷载q=4KN/m，力偶矩m=36KN.m ；求支座A、B和E的约束反力。3
16、m 3m 6m6m6mABCDEPqm解解: 解除支座解除支座A的约束的约束,代之约束反力代之约束反力RA,画虚位移图如下画虚位移图如下. 其中其中Q1=24KN, Q2=24KN. 12rArC B是是AC杆的瞬心杆的瞬心. E是是CE杆的瞬心杆的瞬心. 利用虚位移图得利用虚位移图得: rC = (BC)1 = (CE)2 1 = 22 3m 3m 6m6m6mABCDEPqmQ1Q2RABEW(RA) =6 RA1 W(P) = -1501 6RA1-1501+721+2162 - 362 = 0 RA = -2KN W(Q1) =721W(Q2) = 2162W(m) = - 362由虚
17、位移原理得由虚位移原理得:12rArC3m 3m 6m6m6mABCDEPqmQ1Q2RABE利用虚位移图计算虚功利用虚位移图计算虚功3m 3m 6m6m6mABCDEPqm解除支座解除支座B的约束的约束,代之约束反力代之约束反力RB ,画虚位移图画虚位移图. E是是CE杆的瞬心杆的瞬心.利用虚位移图得利用虚位移图得:rC = (AC)1 = (CE)21 = 2 = rC12Q1Q2RBEW(P) =1501 由虚位移原理得由虚位移原理得: RB = 91 KNW(RB) = - 6RB1W(Q1) = 2161W(Q2) = 2162W(m) = - 362-6RB1+1501+2161+
18、2162 -362 = 0利用虚位移图计算虚功利用虚位移图计算虚功3m 3m 6m6m6mABCDEPqm rC12Q1Q2RBE解除支座解除支座E的约束的约束,代之约束反力代之约束反力RE画虚位移图画虚位移图. rE利用虚位移图计算虚功利用虚位移图计算虚功W(RE) = 12REW(m) = -36W(Q2) = -72由虚位移原理得由虚位移原理得:12RE - 72 - 36 = 0RE = 9 KN3m 3m 6m6m6mABCDEPqmQ1Q2RE331224ABCDE2P1Pq 例例5 图示多跨静定梁，试求图示多跨静定梁，试求A端处约束反力偶矩及铅端处约束反力偶矩及铅垂反力。已知：垂
19、反力。已知： , , , 长度单位为长度单位为m。kNP801kNP602mkNq10ABCDE2P1PqAM3rDr2r1rBr 解：（解：（1）求）求A端约束反力偶矩。端约束反力偶矩。 以梁为研究对象，解除以梁为研究对象，解除A处限制转动的约束，代之以相处限制转动的约束，代之以相应的约束反力偶矩应的约束反力偶矩 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。如图所示。AM 由虚位移原理有由虚位移原理有0432211rqrPrPMA由几何关系得由几何关系得463232,321Brrr26313221213BDrrr于是得于是得0)843(21qPPMA0故有mk
20、NqPPMA40084321（2）求）求A处铅垂反力处铅垂反力解除解除A处铅垂的约束，代之以处铅垂的约束，代之以相应的约束反力相应的约束反力Y，并视为主，并视为主动力。给系统一组虚位移，如动力。给系统一组虚位移，如图所示。图所示。331224ABCDE2P1PqABCDE2P1PqAYAr1rBr3rDr2r 由虚位移原理有由虚位移原理有于是有于是有0)3432(21AArqPPY0432211rqrPrPrYAA由几何关系得由几何关系得ABBArrrrrr3232,21ABDrrrr3132212130Ar故有故有kNqPPYA7 .106343221ABCDE2P1PqAYAr1rBr3r
21、Dr2r例6. 组合构架如图所示。已知P=10KN，不计构件自重,求1杆的内力。2m2m 2m2m2mACBP12m2m 2m2m2mACBP1解:截断1杆代之内力S1和S1且S1= S1 =S，画虚位移图。rC12B为BC的瞬心.利用虚位移图得利用虚位移图得:rC = (AC)1 = (BC)21 = 2 = BS1S 1利用虚位移图求虚功利用虚位移图求虚功W(S1) = - 2 S12 W(S1) = - 2S11 W(P) = 2P2 S 1= 5 KN由虚位移原理得由虚位移原理得:- 2S11 - 2 S12+2P2 = 02m2m 2m2m2mACBP1rC12BS1S 1已知质点系
22、处于平衡状态，求平衡位求平衡位置置例7. 在图示的机构中，各杆之间均用铰链连接，杆长AEBD2l，DHEHl。D、E之间连一弹簧，弹簧刚度系数为k，弹簧的原长为l。杆和弹簧的自重及各处的摩擦均不计。今在铰链H上施加一铅直向下的力FH，并使该机构处于静止平衡状态，试确定力FH与水平线的夹角之间的关系。H弹簧DE在图示位置的长度为2lcos，其原长为l，伸长量2l cos l(2cos 1)l，于是弹簧作用于D、E上的拉力的大小为 FFkkl 21cos由于虚位移是假想中的位移，它的给出不会引起弹簧的真实长度的任何变化。也就是说，在虚位移中，弹性力的大小是不变的，因此，弹性力的虚功应按常力来计算，
23、这与实位移中弹性力的元功的计算方法有本质上的区别。 解：取为坐标。因为弹簧 DE不是理想约束，求解时应解除弹簧约束，用相应的弹性力F、F代替，并视之为主动力，如图(b)所示。 根据虚位移原理 ：00HHEDyFxFxFW主动力作用点的坐标为sin3cos20lylxxHED变分得cos3sin20lylxxHED0HHEDyFxFxFcos3sin20lylxxHED1cos2klFF代入得0cos3sin1cos220cos3sin1cos22HHFkllFkltg1cos232klFH该机构静止平衡时，力FH与角应满足的条件 13.4 自由度及广义坐标 自由度自由度(k)(k)1. 质点的
24、自由度质点的自由度 一个点要确定它在空间的位置，需要的独立参数是3，即k=3；平面上的点k=2；直线上的点k=1，即多一个约束，就少一个自由度。2. 以质点作为质点系的基本单元以质点作为质点系的基本单元设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。在直角坐标系中，用3n个坐标来确定n个质点在空间的位置；但该质点系受到s个约束方程的限制。因此，确定该质点系位置的独立坐标的数目，即自由度数k为 k3ns 如果质点系属于平面问题，例如，在Oxy平面内，zi0，则为 k2ns 2. 2. 以刚体作为基本单元以刚体作为基本单元设某个系统由N个刚体、s个完整约束组成。一般地说，要用3N个线位移坐标（例如直角坐标
25、系的三个直角坐标）和3N个角位移坐标（例如三个欧拉角），共计6N个坐标来确定这N个刚体在空间的位置；同时该质点系还要受到s个约束方程的限制。确定该质点系位置的独立坐标的数目亦即自由度数k为 k6Ns 如果该系统属于平面问题，例如在Oxy平面内，zi0，xy0，则为 k3Ns 如：空间一个杆 k=5一个平面运动刚体k=3圆轮纯滚时的自由度),(BByxBBvOxyCrryB0rxB几何约束方程。运动约束方程。自由度：k k3 32=12=1对于杆件系统的平面问题,snk 2例：曲柄连杆机构：自由质点系：A、B；自由度 22 4约束方程：222222)()(0,lyyxxyryxBABABAA约束
26、数 3质点系自由度 4 - 3 1质点系自由度质点系自由度 自由质点系自由度自由质点系自由度 - - 约束（方程）数约束（方程）数用固结法判断系统的自由度系统的自由度 1+1=2设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。该系统有k3n-s个自由度。若选择 q1，q2，qk作为确定此系统位置的k个广义坐标。系统任一质点Mi的坐标可以表示为广义坐标的函数，即niqqqzzqqqyyqqqxxkiikiikii, 2 , 1 ),(),(),(212121矢径的形式 为：niqqqrrkii, 2 , 1 ),(21 广广 义义 坐坐 标标广义坐标：用来确定质点系位置的独立变参量称为广义坐标。n个质点
27、自由度为k取广义坐标：kqqq 21,),(21kiiqqqrr kkiiiiqqrqqrqqrr2211jjikjqqr1 (i=1,n) 13.5 用广义力表示系统的平衡用广义力表示系统的平衡 广义力广义力1. 广义力的定义0)(11111 jjikjniijjikjniiiniiqqrFqqrFrFjiniijqrFQ1广义力广义力: :2. 广义力的计算)(11iiiiiiiiniijiniijqzZqyYqxXqrFQ2）按虚功jkjjiniiqQrF11001121jkjjqqqqqq令jjiniijjjiniiqwqrFQqQrF11则1）按定义 3）按能量jjqUQ若系统为有势
28、力系统，则 用广义力用广义力表示系统的平衡条件表示系统的平衡条件021kQQQjkjjiniiqQrF11001121jkjjqqqqqq令01jjiniiqQrF0jQ同理广义力计算方法：1. 按定义计算)(11iiiiiiiiniijiniijqzZqyYqxXqrFQ2. 按虚功计算jjiniijqwqrFQ13. 按能量计算（有势力系统）jjqUQ例8. 图示的平面双锤摆中，摆锤A、B各重P1及P2，摆杆各长l1和l2，设在B点上加一水平力F F1以维持平衡，不计摆杆重量，求摆杆与铅垂线所成的角1及2。 解：1.按定义计算 因为自由度为k=2，所以选1和2作广义坐标，则A、B两点的坐标
29、方程为 2211221111sinsincoscoscosllyllxlxBBA111111111cossinsinlylxlxBBA2222222cossin0lylxxBBA根据广义力的定义 )(21jiiijiijqyYqxXQ得0cos)sin()sin(1111121111111lFlPlPyYxXxXQBBBBAA,211PPF1tg0cossin2212222lFlPQ22PF1tg111,BBAyxx将代入同理：2.按虚功计算1）求1Q11lrrBA11121cossin)(AArFrPPw0021，令ArBr 2 1BAl1l2xyP1P2F11111121cossin)(l
30、FPP0cossin)(11112111lFPPwQ,211PPF1tg2.按虚功计算2Q2）求0021，令Br 2 1BAl1l2xyP1P2F122lrB2122cossinBBrFrPw222122)cossin(lFP0)cossin(2212222lFPwQ22PF1tgwAB0lC例9 结构如图所示，AC、CB重量不计。已知：弹簧系数为k，lBCAB试确定平衡时夹角。bwAB0lC系统的自由度k=1，令广义坐标q=。以弹簧面为重力零势能面，则重力势能、弹簧势能分别为b)cos(blwUW2)sin2(21lkUk解：2)sin2(21)cos(lkblwU系统总势能：UqUQ由能量法，得cossin4sin2klwlQ0Qklw4arccos0例10. 图示系统，弹簧的刚性系数分别为k1 、 k2，地面是光滑的。求广义力Q1, Q2。解：以系统为研究对象，k=2, 广义坐标为x1、x2，求出系统的势能为：2212211)(2121xxkxkU121222121111)()(xkkxkxxkxkxUQ)(21222xxkxUQ
