1、第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定的隐函数及由参数方程所确定的函数的导数函数的导数 相关变换率相关变换率一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化律显函数 等号左边是因变量的符号，右边是含有自变量的代数式.隐函数 非显函数，形如F(x, y)=0,一、隐函数的导数.0sin ,)(23为隐函数为显函数如：yyxxfy 不用显化直接由方程求隐函数的导数称为隐函数求导. .032 73就不可以显化如xxyy 将隐函数化为显函数称为隐函数的显化.但不是所有隐函数都可以显化.dd0 1 xyyexyey导数的所确定的隐函数求由方程例.edd,dd)(exyxyyxyxyy求导数
2、解：方程两边对 x, 0ddddexyxyxyy.ln ,ln )1 ( xyyyyyyyx.ln 2 的导数的函数，求是确定由方程例yxyyxy , 1ln yyxyyx求导解：方程两边对求导解：方程两边对 x.4),2(1)2(xyxy切线方程为.)2, 2 ( ，4 3 22处的切线方程上点求其曲线的函数是确定由方程例xyyxyx,22 , 0 2 2yxyxyyyxyyx,1)2(22222|dd22kxyyx.)323, 2(1916 4 22处的切线方程在点求椭园例yx).2(43323xy切线方程为：,求导解：方程两边对x, 0dd928xyyx,169ddyxxy,43|dd3
3、232yxxy求导解：方程两边对x3222)cos2(sin4)cos2(ddsin2ddyyyxyyxy.dd 0sin21 5 22xyyyyx二阶导数的所确定的隐函数求由方程例0ddcos21dd1xyyxyyxycos22dd).sinln(cos )sinln(cos sinxxxxxxxxxyyx,lnsinlnxxy解：两边取对数求导数上式两边对 x ,1sinlncos 1xxxxyy.)0( 6sin的导数求例xxyx.)4)(3()2)(1( 7 的导数求例xxxxy).41312111(21 xxxxyy，得设解：先在两边取对数) 4 ( x),4ln()3ln( )2l
4、n() 1ln(21lnxxxxy),41312111(21 xxxxyy),4ln()3ln( )2ln() 1ln(21ln )4)(3()2)(1(32xxxxyxxxxyx时，当),4ln()3ln( )2ln()1ln(21ln )4)(3()2)(1 (1xxxxyxxxxyx 时，当. 43 , 21 xxx是：的取值不可能xxlne. , 8 yxy求例xxylne )( 解：. 1xx1xxx二、参数方程所确定的函数的导数)()( tytx若参数方程确定y与x间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为参数方程所确定的函数.且此反函数能与函数 复合成复合函数，则由 所确定的函数
5、可以看作是由 复合而成的复合函数1、若 中的 具单调连续反函数)()(tytx)(t, )(xt)(ty)()(tytx)()(xtty、.)(xy2、 计算复合函数 的导数0)( )()(ttytx可导，且、假定由复合函数求导法则及反函数求导法则，有:)( )( dd1ddddddddtttxtyxttyxy )(xy)( )( ddttxyttxy此式即为参数方程 所确定的x的函数的导数公式.)()(tytx3、由参数方程所确定的函数的二阶导数公式,)()(是二阶可导的、若tytx则有)( 1)()( )( )( )( dd)( )( (dd )dd(dddd222ttttttxttttx
6、yxxy即)()( )( )( )( dd322tttttxy例9 椭圆参数方程为 ，求椭圆在 相应点处的切线方程.tbytaxsincos4t解: 当 ,椭圆上相应点坐标为：4t224cos0aax224sin0bby4t曲线在 相应点的切线斜率为：abtatbtatbxyttt444sincos)cos()sin(dd代入点斜式方程，得切线方程为：. 02 )22(22 abaybxaxabby即例10 计算由摆线 所确定的函数y=y(x)的二阶导数.)cos1 ()sin(tayttax解: 2cotcos1sin )cos1 (sinddttttataxyxytt), 2( )cos1
7、 (1 )cos1 (12sin21dd1)2 (cotdddd2222为整数nnttatattxttxy三、相关变化率 设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数，而变量x与y间存在某种关系而变化率 与 间也存在一定关系.这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便其中一个变化率求出另一个变化率.txddtydd例11 一个气球从离开观察员500米处离地面铅直上升，其速率为140m/min(分).当气球高度为500m时，观察员视线的仰角增加率是多少？其中 及 h 都是时间 t 的函数.上式两边对 t 求导，得thtdd5001ddsec2,500tanh解：设气球上升t s（秒）后，其高度为h，观察员视线的仰角为 ，则即观察员视线的仰角增加率是0.14rad/min.2sec, 1tan500min/140dd2，又当，已知mhmth14. 050070dd t所以,1405001dd2 t代入上式得
