1、随机事件及其运算事件的概率概率的性质独立性条件概率2. 随机现象1.1.1 1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象1. 确定性现象 每天早晨太阳从东方升起; 水在标准大气压下加温到100oC沸腾; 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ 一天内进入某超市的顾客数; 某种型号电视机的寿命;1.1 随机事件及其运算随 机 现 象 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.。 特点：1. 结果不止一个。 2. 事先不知道哪一个会出现。 随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果 会表现出一定的规律性，这种规律性称之为 统计规律性。1. 随机试验 (E) 对随机现象进行的实验与观察
2、.1.1.2 基本空间(样本空间)随机试验的特点 (随机性和可重复性)1).可在相同条件下重复进行； 2).试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;3).一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为E E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E3:一位顾客在超市购买商品的件数；E4:一位顾客在超市排队等候付款的时间；E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重 。随机实验的例随机事件2. 样本点 随机试验的每一个可能结果.3. 样本空间() 随机试
3、验的所有样本点 构成的集合. 4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个随机事件 随机现象的某些基本结果组成的集合，简称事件。1.1.3 随机事件随机事件 的子集，常用A、B、C表示.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素如E2中只出现奇数点的事件1,3,5。 1. 必然事件 ()，的最大子集，必然要发生的事件。2. 不可能事件 () 空集.肯定不会发生的事件， 的最小子集。1.1.4 必然事件与不可能事件 例E2中出现小于7的点数就是必然事件，但是出现大于6的点数就是不可能事件。例：将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情
4、况：以下A 、 B、C记为三个随机事件:A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH；B=“三次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH事件的表示可见，可以用语言表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率维恩图 ( Venn )还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如上例中，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。 随机事
5、件间的关系与运算 由于事件是一个集合，事件间的关系与运算自然按照集合论中集合之间的关系按照集合论中集合之间的关系与运算进行处理与运算进行处理.下面根据事件发生的特殊意义，给出它在概率论中的含义.1.1.5 事件间的关系 包含关系：若事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的每个样本点也属于B,则称事件B包含事件A。等价的说法是：B不发生，则A也不发生。例如A=4,B=2,4,6,则A B记作B A或A B对任何事件A,有 A A用图形表示，即B 相等关系:若A B且B A，称事件A与B相等。即即A与与B中的样本点完全相同。中的样本点完全相同。记作A=B掷一颗骰子A表示点数小于3，B表示点数为1或
6、2则A=B若A与B不能同时发生，即AB=称事件A与B互不相容或互斥。互斥事件没有公共的样本点。基本事件间是互不相容的。如A=1,2,3,B=1,3,5,C=4,5A与C是互不相容的。A与B是相容的。用图形表示用图形表示 即即AC互不相容事件:1.1.6 事件的运算 事件的和（并）：两个事件A，B中至少有一个发生，即“A或B”，是一个事件，称为A与B的并（和）,记作A+B或AB。显然，它是由A与B的所有样本点构成的集合。掷骰子之例中，若A=1,2,3,B=1,3,5则AB=1,2,3,5注：注：AB A,AB BA=A,A=AB用图形表示：用图形表示： n个事件A1,An中至少有一个发生，是一个
7、事件。称为事件A1,An的和。记作A1+An或A1An可列个事件A1,A2,An,中至少有一个发生称为事件A1,A2,An,的和若A=1,2,3,B=1,3,5,C=1,3,4iii1i1AAU记作或则A+B+C=1,2,3,4,5两个事件两个事件A与与B同时发生，即同时发生，即“A且且B”,是一个事件。是一个事件。称为事件A与B的交（积）。它是由它是由A与与B的公共样本点构成的集合。的公共样本点构成的集合。记作AB或AB如A=1,2,3,B=1,3,5则AB=1,3注：注：AB A AB BA= A=A 事件的积（交）：用图形表示，即ABn个事件A1,An中同时发生，是一个事件。称为事件A1
8、,An的交。记作A1An或A1 An可列个事件A1,A2,An,中同时发生称为事件A1,A2,An,的交若A=1,2,3,B=1,3,5,C=1,3,4则 ABC=1,3。iiA1记作1. 差事件差事件：A发生但 B不发生，称为事件A与B的差，记作A-B。它由属于A但不属于B的所有样本点组成。如：A=1,2,3,B=1,3,5则A-B=2,B-A=5ABA*ABAA B ABBABAABBABA AB 灯泡的的寿命灯泡的的寿命： t | t 0 中 事件A = t | t 1000 “次品” 事件B = t | t 1000 “合格品” 事件C = t | t 1500 “一等品” 0 100
9、0 1500CB次品一等品同时有,CBBACABA,2. 2. 互不相容（互斥）事件互不相容（互斥）事件若若A与与B不能同时发生，即不能同时发生，即AB=称事件A与B互不相容或互斥。互斥事件没有公共公共的样本点。基本事件间是互不相容的。基本事件间是互不相容的。如A=1,2,3,B=1,3,5,C=4,5A与C是互不相容互不相容的。A与B是相容相容的。BA3、对立事件、对立事件事件事件“非非A”,即即A不发生，称为不发生，称为A的对立事件，的对立事件，记作记作，也称为，也称为A的的逆逆事件。事件。它是由样本空间中所有不属于它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成。的样本点组成。如A=1,2,3,
10、=4,5,6易见A =, A+=-A =AAAB A4 完备事件组：完备事件组： A1,A2,An划分，也称 A1,A2,An为的一组分割一组分割。njiAAAnj i jiAA21) 2 (), 2 , 1, ,() 1 (样本空间的分割 记号记号 概率论概率论 集合论集合论 样本空间样本空间, , 必然事件必然事件 空间空间 不可能事件不可能事件 空集空集 样本点样本点 元素元素 A B A发生必然导致发生必然导致B发生发生 A是是B的子集的子集 AB= = A与与B互不相容互不相容 A与与B无相同元素无相同元素 A B A与与B至少有一发生至少有一发生 A与与B的并集的并集 AB A与与
11、B同时发生同时发生 A与与B的交集的交集 A B A发生且发生且B不发生不发生 A与与B的差集的差集 A不发生、对立事件不发生、对立事件 A的余集的余集A1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4、对偶、对偶(De Morgan)律律： .,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广注意点(1) 基本事件互不相容，基本事件之并基本事件互不相容，基本事件之并= AAAAAAAAAABABABA 注意点(2)BABA易见ABABBABA,ABABABAAB
12、AABBAABABA)()(例例1 1：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A A、B B、C C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：:654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标”“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标”“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABCBACBACBACBAABCCBA例2. 证明事实上这是一个很简单的题目，只须注意到再利用分配律，就可得到再利用分配律，就可得到例例3.
13、有一个问题，甲先答，若甲答错，由乙答，有一个问题，甲先答，若甲答错，由乙答， 若记事件若记事件A=甲答对甲答对,事件事件B=乙答对乙答对，求，求 此问题最终此问题最终 由乙答出的表示法由乙答出的表示法.BABABA )(BABAABABABBBABBABABA)()()()(解：设事件解：设事件C=此问题最终此问题最终 由乙答出由乙答出，显然，显然 C=甲答错同时乙答对甲答错同时乙答对ABABBA注意：注意： 1. 用简单事件表达复杂事件一定要从用简单事件表达复杂事件一定要从 事件是否发生来理解；事件是否发生来理解； 2.注意至少、至多、和不发生的表示法。注意至少、至多、和不发生的表示法。1.
14、 若若A 是是 B 的子事件，则的子事件，则 A B = ( )， AB = ( )2. 设设 A 与与B 同时出现时同时出现时 C 也出现也出现，则则( ) A B 是是 C 的子事件；的子事件； C 是是 A B 的子事件；的子事件； AB 是是 C 的子事件；的子事件； C 是是 AB 的子事件。的子事件。课堂练习BA3. 设事件设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则则 A 的对立事件为（的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销；甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销；甲种产品滞销； 甲种产
15、品滞销或者乙种产品畅销。甲种产品滞销或者乙种产品畅销。4. 设设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，表示一个沿数轴做随机运动的质点位置， 试说明下列各对事件间的关系试说明下列各对事件间的关系 A =|x a|，B =x a A =x20， B =x22 A =x22， B =x19AB相容不相容5. 试用试用A、B、C 表示下列事件：表示下列事件： A 出现；出现； 仅仅 A 出现；出现； 恰有一个出现；恰有一个出现； 至少有一个出现；至少有一个出现； 至多有一个出现；至多有一个出现； 都不出现；都不出现； 不都出现；不都出现； 至少有两个出现；至少有两个出现； ABCABCABCABC
16、ABCABCABCABCABCABCABCABCABACBCA1.1 习题 1.2 概率的定义及其运算概率的定义及其运算事件事件A A发生的可能性就是概率的原型发生的可能性就是概率的原型P（A A）是如何计算？具有什么性质？）是如何计算？具有什么性质？抛一枚硬币，正面向上的可能性为多少？抛一枚硬币，正面向上的可能性为多少？买彩票的中奖率？买彩票的中奖率？某种品牌的电视机的市场占有率？某种品牌的电视机的市场占有率？一一. 概率的古典定义概率的古典定义 1. 古典概型（古典类型试验）古典概型（古典类型试验） 若试验具有下列两个特征：若试验具有下列两个特征： 样本空间的元素只有有限个；样本空间的元素
17、只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同。每个基本事件发生的可能性相同。 比如：足球比赛中扔硬币挑边，赌博掷骰子。比如：足球比赛中扔硬币挑边，赌博掷骰子。 则称此试验为则称此试验为等可能概型等可能概型，考虑到它在概率论，考虑到它在概率论 早期发展中的重要地位，又把它叫做早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型古典概型。2. 概率的古典定义概率的古典定义 设古典概型试验设古典概型试验E的样本空间的样本空间中包含中包含n个个样本点，随机事件样本点，随机事件A中包含中包含k个样本点，则事件个样本点，则事件A发生的概率发生的概率 事实上这个结果在没有严格要求的情况下也事实上这个结果在没有严格要求的情
18、况下也 容易推断。容易推断。nkAP/)(设设 =1, 2, n , 由古典概型的等可能性由古典概型的等可能性,得得.21n=PPP又由于基本事件两两互不相容；所以又由于基本事件两两互不相容；所以,121nPPPP.,2, 1,1ninPi若事件若事件 A 包含包含 k 个基本事件，不妨设个基本事件，不妨设 A = 1, 2, k 则有则有 ： .)(中基本事件总数包含的基本事件数AnkAP 显然，古典概率具有如下的性质显然，古典概率具有如下的性质 ：非负性、规：非负性、规范性、有限可加性。范性、有限可加性。 但计算时一定要认清但计算时一定要认清试验结果试验结果(基本事件基本事件)是等可能性是
19、等可能性的本质。的本质。例例1 1：掷二枚骰子求事件掷二枚骰子求事件A A为出现点数之和等于为出现点数之和等于3 3的概率的概率解：解：因为因为掷二枚骰子出现的点数之和可能为掷二枚骰子出现的点数之和可能为2,3,4,2,3,4, 12 12，而事件，而事件A A的结果只有一个的结果只有一个3,3,故故P(A)=1/11.P(A)=1/11.思考：思考：上述解法有无问题，按此思路上述解法有无问题，按此思路12点和其它点和其它 点数出现的概率都相同，这与事实相悖点数出现的概率都相同，这与事实相悖. 事实上事实上，掷二枚骰子可能出现的情况有掷二枚骰子可能出现的情况有6 66=366=36种可能种可能
20、. .构成事件构成事件A A的只有两种结果的只有两种结果(1,2),(2,1)(1,2),(2,1)，故，故 P(A)P(A) = = 2/362/36 = 1/18 = 1/18 出现上述错误结果主要是因为没有理解清楚公式出现上述错误结果主要是因为没有理解清楚公式P(A)=k/n.仅当所述的试验结果是等可能性时才成立仅当所述的试验结果是等可能性时才成立. 例例 2 将一枚硬币抛掷三次。设：将一枚硬币抛掷三次。设： 事件事件 A1为为“恰有一次出现正面恰有一次出现正面”， 事件事件 A2为为“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”， 求求 P (A1 ), P (A2 )。 解：解：根据上一节
21、的记号，根据上一节的记号， 样本空间样本空间 =HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT, n = 8，即，即 中包含有限个元素，且由对称性中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，属于知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型古典概型。 A1为为“恰有一次出现正面恰有一次出现正面”， A1=HTT, THT, TTH, , 83= )( 3=1nkAPk，.87=81 1 = )( 1= )( 22APAP, 81=)(1= T,TT= :2222nkAPkAAA，由于另解 事件事件 A2为为“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”，A2
22、=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH , 87= )( 7=222nkAPk，乘法公式：乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有设完成一件事需分两步，第一步有n n1 1种方种方法法, ,第二步有第二步有n n2 2种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有n n1 1n n2 2种方法种方法为了以后计算的方便我们首先为了以后计算的方便我们首先复习：排列与组合的基本概念复习：排列与组合的基本概念加法公式：加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途设完成一件事可有两种途径，第一种途径有径有n n1 1种方法，第二种途径有种方法，第二种途径有n n2 2种方
23、法，则完成这种方法，则完成这件事共有件事共有n n1 1+n+n2 2种方法。种方法。有重复排列：有重复排列：从含有从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，果排成一列，n n n n n nn n共有n k种排列方式.无重复排列：无重复排列：从含有从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k 次，次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有共有A An nk k=n(n-1)=n(n-1)(n-k+1)(n
24、-k+1)种排列方式种排列方式. .n n n-1n-1 n-2n-2n-k+1n-k+1组合：组合：从含有从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k 个，共有个，共有)!( !knknkAknCknkn种取法. 例例3 设有设有 N 件产品件产品,其中有其中有 M 件次品件次品,今从中今从中任取任取 n 件件,问其中恰有问其中恰有 k ( k M ) 件次品件次品的概率的概率是多少是多少?种，nNC又又 在在 M 件次品中取件次品中取 k 件，所有可能的取法有件，所有可能的取法有 种，knMNC在在 N-M 件正品中取件正品中取 n-k 件件, 所有可能的取法有所有可能的
25、取法有种，kMC 解：在解：在 N 件产品中抽取件产品中抽取 n 件，取法共有件，取法共有不放回抽样不放回抽样1） 于是所求的概率为：于是所求的概率为：nNknMNkMCCCp此式即为此式即为超几何分布超几何分布的概率公式。的概率公式。由乘法原理知：在由乘法原理知：在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中件，其中恰有恰有 k件次品的取法共有件次品的取法共有 种，knMNkMCC2） 有放回抽样有放回抽样而在而在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k件次品件次品的取法共有的取法共有 于是所求的概率为：于是所求的概率为：knkknMNMC)(从从N件产品中有放回地抽取件
26、产品中有放回地抽取n件产品进行排列，件产品进行排列，可能的排列数为可能的排列数为 个，将每一排列看作基本个，将每一排列看作基本事件，总数为事件，总数为 。nNnNknkknnknkknNMNMCNMNMCP)1 ()()(此式即为此式即为二项分布二项分布的概率公式。的概率公式。 例例 4 将将 15 名新生随机地平均分配到名新生随机地平均分配到 3 个班个班 中去，这中去，这15 名新生中有名新生中有 3 名是优秀生。问：名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？名优秀生分配到同一
27、个班级的概率是多少？解：解：15名新生平均分配到名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：个班级中去的分法总数为：55510515CCC,! 5! 5! 5!15! 512345! 5678910! 51112131415(1) 将将 3 名优秀生分配到名优秀生分配到 3 个班级，使每个班个班级，使每个班 级都有一名优秀生的分法共有级都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余种。其余 12 名新生平均分配到名新生平均分配到 3 个班级中的分法共有个班级中的分法共有种，) ! 4! 4! 4(/ !12每个班各分配到一每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：名优秀生的分法总数为：)! 4! 4
28、! 4/(!12! 3于是所求的概率为：于是所求的概率为：.2747. 09125! 5! 5! 5!15! 4! 4! 4!12! 3! 5! 5! 5!15/! 4! 4! 4!12! 31p三名优秀生分配三名优秀生分配在同一班级内在同一班级内.0659. 0916!15! 2! 5!123! 5! 5! 5!15/! 5! 5! 2!1232p其余其余12名新生，一个班级分名新生，一个班级分2名，名，另外两班各分另外两班各分5名名(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：名优秀生分配到同一个班级的概率为： 例例 5 将将 n 只球随机的放入只球随机的放入 N (N n) 个盒子个盒子
29、中去中去,求每个盒子至多有一球的概率求每个盒子至多有一球的概率(设盒子容量设盒子容量不限）。不限）。,种放法nNNNN解：解： 将将 n 只球放入只球放入 N 个盒子中去个盒子中去, 共有共有而每个盒子中至多放一只球而每个盒子中至多放一只球, 共有共有,)1() 1(种放法nNAnNNN.)1() 1(nnNnNANnNNNp故试求：试求：某指定的某指定的n个格子各有一球的概率个格子各有一球的概率 和指定的格子中恰有和指定的格子中恰有m球的概率球的概率(m 乙乙正正) )= P(n+1-(n+1-甲甲反反 n- n-乙乙反反) )= P( (甲甲反反-1-1 乙乙正正) ) ( (对称性对称性
30、) )所以所以 2P( (甲甲正正 乙乙正正) )=1,1, 由此得由此得 P( (甲甲正正 乙乙正正) )=1/2常见模型常见模型(1) - 不返回抽样不返回抽样 N 个产品，其中个产品，其中M个不合格品、个不合格品、N M个合格品个合格品. (口袋中有口袋中有M 个白球，个白球， N M 个黑球个黑球)MNMmnmNn 从中不返回任取从中不返回任取n 个个, 则此则此 n 个中有个中有 m 个不合格个不合格品的概率为：品的概率为： 此模型又称此模型又称 超几何模型超几何模型. n N, m M, n m N M.思思 考考 题题 口袋中有口袋中有5 个白球、个白球、7个黑球、个黑球、4个红
31、球。个红球。 从中不返回任取从中不返回任取3 个。个。 求取出的求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率。个球为不同颜色的球的概率。57411114011656043 彩票问题彩票问题-幸运幸运35选选7 购买购买：从从01，35 中选中选7个号码。个号码。 开奖开奖：7个基本号码，个基本号码，1个特殊号码。个特殊号码。 中奖规则中奖规则 1) 7个基本号码个基本号码 2) 6个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 3) 6个基本号码个基本号码 4) 5个基本号码个基本号码 + + 1个特殊号码个特殊号码 5) 5个基本号码个基本号码 6) 4个基本号码个基本号码 + + 1个特殊
32、号码个特殊号码 7) 4个基本号码，或个基本号码，或 3个基本号码个基本号码 + + 1个特个特殊号码殊号码 中奖概率中奖概率 中所含样本点个数：中所含样本点个数： 将将35个号分成三类：个号分成三类： 7个基本号码个基本号码、 1个特殊号码个特殊号码、 27个无用号码个无用号码 记记 pi 为中为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：等奖的概率。利用抽样模型得： 735C1270061077127127773535,ppC C CC C CCC 中奖概率如下中奖概率如下： 不中奖的概率为不中奖的概率为： p0=1 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p712317189,672452067245
33、206724520ppp456567737112285,672452067245206724520ppp72047506724520,p 64993500.966515.6724520常见模型常见模型(2) - 返回抽样返回抽样 N 个产品，其中个产品，其中M个不合格品、个不合格品、N M个合格品个合格品. (口袋中有口袋中有M 个白球，个白球， N M 个黑球个黑球) 从中有返回地任取从中有返回地任取n 个。个。 则此则此 n 个中有个中有 m 个不合格品的概率为：个不合格品的概率为： 条件：条件： m n , 即即 m = 0, 1, 2, , n.()mn mmn mnnnMNMMNMm
34、mNNN 常见模型常见模型(3) - 盒子模型盒子模型 n 个不同球放入个不同球放入 N 个不同的盒子中。个不同的盒子中。 每个盒子中所放球数不限。每个盒子中所放球数不限。 求恰有求恰有n 个盒子中各有一球的概率个盒子中各有一球的概率( (n N) !()!nNnnPNNNNn生日问题生日问题 求求n 个人中至少有两人生日相同的概率。个人中至少有两人生日相同的概率。 看成看成 n 个球放入个球放入 N=365个盒子中。个盒子中。 P(至少两人生日相同至少两人生日相同)=1 P(生日全不相同生日全不相同) 用盒子模型得：用盒子模型得：pn= P(至少两人生日相同至少两人生日相同)= p20=0.
35、4058, p30=0.6963, p50=0.9651, p60=0.9922 365!1365 (365)!nn常见模型常见模型(4) - 配对模型配对模型 n 个人、个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率。己帽子的概率。 记记 Ai = “第第 i 个人拿对自己的帽子个人拿对自己的帽子” ，i=1, , n. 求求 P(A1 A2 An)，不可用对立事件公式不可用对立事件公式。 用加法公式：用加法公式：11()()()nniiijijkiiPAP AP AAP AA A112.( 1)(.)nnP A AA 配对模型配对模型(续续) P(A
36、i) =1/n, P(AiAj) =1/n(n 1), P(AiAjAk) =1/n(n 1)(n 2), P(A1A2An) =1/n! P(A1 A2 An)= 1111.( 1)2(1)!nnnnn nn 1111111.( 1)12!3!4!nen 1.3 作 业P32 1, 2, 3, 5， 6, 9, 10, 11.1.4 独立性独立性1.4.1 两个事件的独立性两个事件的独立性 直观说法：直观说法：对于两事件，若其中任何一对于两事件，若其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现个事件出现的概率不受另一个事件出现的影响，则可判断这两事件是独立的。的影响，则可判断这两事件是独立的。
37、 定义定义1.4.1 若事件若事件 A 与与 B 满足：满足： P( (AB) = ) = P(A) )P( (B),), 则称则称A与与B相互独立，简称相互独立，简称A与与B独立。独立。事件独立性的判断事件独立性的判断 实际应用中，往往根据经验来判断实际应用中，往往根据经验来判断两个事件两个事件 的独立性：例如的独立性：例如 返回抽样返回抽样、甲乙两人分别工作甲乙两人分别工作、重复试验重复试验等。定理定理1.4.1 在在 A与与B； 与与B；A与与 ； 与与 这四对事件中，若有一对独立，这四对事件中，若有一对独立， 则另外三对也独立。则另外三对也独立。BBAA 对于对于A、B、C三个事件，称
38、满足：三个事件，称满足：P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C) 为为A、B、C两两独立两两独立. 称满足：称满足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 为为A、B、C三三独立三三独立.1.4.2 多个事件的独立性多个事件的独立性定义定义1.4.2 若事件若事件 A1, ,A2 , An满足：满足：两两独立两两独立、三三独立三三独立、n n 独立独立 则称则称A1, ,A2 , An相互独立，相互独立，简简称称独立独立。一一 些些 结结 论论 若若A、B、C 相互独立，相互独立，则则 ： A B 与与 C 独立独立, ,A B 与与 C 独
39、立独立, ,A B 与与 C 独立独立. . 两射手独立地向同一目标射击一次，其命中率两射手独立地向同一目标射击一次，其命中率 分别为分别为 0.9 和和 0.8，求目标被击中的概率。，求目标被击中的概率。 解解: 设设 A =“甲中甲中”, B= “乙中乙中”, C= “目标被击中目标被击中”, 所所以以解法解法i) P(C) = P(A B) = P(A)+P(B) P(A)P(B) = 0.9+0.8 0.9 0.8 = 0.98.解法解法ii) 用对立事件公式用对立事件公式 P(C) = P(A B) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98. 两射手轮流对
40、同一目标进行射击，甲先射，两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射， 谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标 的概率分别为的概率分别为 和和 ，求甲得胜的概率。，求甲得胜的概率。解解: : 因为因为P(甲胜甲胜) = + (1 )(1 ) P(甲胜甲胜)所以所以 P(甲胜甲胜) = / 1 (1 )(1 ) .课堂练习课堂练习 口袋中有口袋中有3个白球、个白球、5个黑球，甲、乙两人轮流个黑球，甲、乙两人轮流 从口袋中有返回地取一球，甲先取。谁先取到从口袋中有返回地取一球，甲先取。谁先取到 白球为胜，求甲胜的概率。白球为胜，求甲胜的概率。解：解：P(甲胜
41、甲胜) = 3/8 + (5/8)(5/8) P(甲胜甲胜)所以所以 P(甲胜甲胜) = 8/13。1.4.3 试验的独立性试验的独立性 若试验若试验E1的任一结果与的任一结果与试验试验E2的任一的任一 结果都是相互独立的事件，则称这两个结果都是相互独立的事件，则称这两个 试验试验相互独立相互独立，或称，或称独立试验独立试验。1.4.4 n 重贝努里重贝努里试验试验 贝努里试验贝努里试验： 若某种试验只有两个结果若某种试验只有两个结果( ( 成功、失败；黑成功、失败；黑 球、白球；正面、反面球、白球；正面、反面) )， 则称这个试验为则称这个试验为 贝努里试验贝努里试验。 在贝努里试验中，一般
42、记在贝努里试验中，一般记“成功成功”的概率为的概率为p. n 重贝努里试验重贝努里试验： n次独立重复的贝努里试验次独立重复的贝努里试验。n 重贝努里重贝努里试验成功的次数试验成功的次数在在n 重贝努里试验中，记成功的次数为重贝努里试验中，记成功的次数为X.X 的可能取值为：的可能取值为： 0，1，n.X 取值为取值为 k 的概率为：的概率为：(k)(1)nkn kP Xppk1.4 习题 P40 3， 5, 7, 13.1.5 条件概率条件概率 问题的提出问题的提出： 1) 10个人摸彩，有个人摸彩，有3张中彩。张中彩。 问：第问：第1个人中彩的概率为多少？个人中彩的概率为多少？ 第第2个人
43、中彩的概率为多少？个人中彩的概率为多少？ 2) 10个人摸彩，有个人摸彩，有3张中彩。张中彩。 问：问：已知已知第第l个人没摸中，个人没摸中， 第第2个人中彩的概率为多少？个人中彩的概率为多少？ 1.5.1 条件概率的定义条件概率的定义 定义定义1.5.1： 对于事件对于事件A、B，若，若 P(B)0，则称，则称 P(A|B) = P(AB) / P(B) 为在为在 B 出现的出现的条件下条件下，A 出现的出现的条件条件概率概率。条件概率条件概率 P(A|B) 的计算的计算 1) 缩减样本空间缩减样本空间： 将将 缩减为缩减为 B=B. 2) 用定义用定义： P(A|B) = P(AB) /
44、P(B)。 例例1.5.1 甲、乙两人独立地对同一目标射击甲、乙两人独立地对同一目标射击 一次，其命中率分别为一次，其命中率分别为 0.6 和和 0.7，现已，现已 知目标被击中，求它是甲击中的概率知目标被击中，求它是甲击中的概率。解解: :设设 A =“甲中甲中”, B= “乙中乙中”, C= “目标被击中目标被击中”, 所以所以 P(A|C) = P(AC)/P(C) = P(A)/P(A)+P(B) P(A)P(B) = 0.6/0.88 = 15/221.5.2 条件概率的性质条件概率的性质 条件概率条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理。满足概率的三条公理。 由此得：由此得： P(
45、 |B) = 1 P(A|B) ； P(A B|C) = P(A|C) + P(B|C) P(AB|C)； 若若 A 与与 B 互不相容，则互不相容，则P(A B|C) = P(A|C) + P(B|C) ；A注注 意意 点点 P( |B) = 1 ; P(B| ) 1 ; P(A| ) = P(A) ; P(A|A) = 1.(1) 设设P(B)0，且，且A B，则下列必然成立的是，则下列必然成立的是( ) P(A)P(A|B) P(A)P(A|B)(2) P(A)=0.6, P(A B)=0.84, P(B|A)=0.4, 则则 P(B)=( ).0.6(2)例例1.5.2条件概率的三大公
46、式条件概率的三大公式乘法公式乘法公式;全概率公式；全概率公式；贝叶斯公式贝叶斯公式。乘法公式乘法公式 定理定理1.5.1 (1) 若若 P(B)0，则则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若若 P(A)0，则则 P(AB) = P(A)P(B|A)。 (2) 若若 P(A1A2 An 1)0，则则 P(A1A2 An) = P(A1)P(A2|A1) P(An|A1A2 An 1)乘法公式的应用乘法公式的应用 乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率。乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率。 一批零件共有一批零件共有100个，其中个，其中10个不合格品。从中一个个不合格品。从中一个一个
47、不返回取出，求第三次才取出不合格的概率。一个不返回取出，求第三次才取出不合格的概率。 解：记解：记 Ai=“第第i 次取出的是不合格品次取出的是不合格品” Bi=“第第i 次取出的是合格品次取出的是合格品”, 目的求目的求 P(B1B2A3) 用乘法公式用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1) P(A3|B1B2) =90891010099981.5.3 全概率公式全概率公式 定理定理1.5.4 对任意事件对任意事件和和B , 如如 P(B)，则则( )( | ) ( )( | ) ( )P AP A B P BP A B P B 定理定理1.5.5 若若事件事件B1, B2
48、 , , Bn是样本空间是样本空间 的一组的一组分割，且分割，且 P(Bi)0，则则( )()() (|)11nnP AP ABP B P A Biiiii注意点注意点(1) 全概率公式用于求复杂事件的概率。全概率公式用于求复杂事件的概率。 使用全概率公式关键在于寻找另一组事件使用全概率公式关键在于寻找另一组事件 来来“分割分割”样本空间。样本空间。 定理定理1.5.4是全概率公式最简单的形式。是全概率公式最简单的形式。注意点注意点(2) 若若事件事件B1, B2 , , Bn是互不相容的，且是互不相容的，且 P(Bi)0，则由，则由 可得可得 1nABii( )()() (|)11nnP A
49、P ABP B P A Biiiii 设设10 件产品中有件产品中有 3 件不合格品，从中件不合格品，从中 不放回地取两次，每次一件，求取出不放回地取两次，每次一件，求取出 的第二件为不合格品的概率。的第二件为不合格品的概率。解解： 设设 A = “第一次取得不合格品第一次取得不合格品”， B = “第二次取得不合格品第二次取得不合格品”。由全概率公式得：由全概率公式得：( )( ) (|)( ) (|)P BP A P B AP A P B A= (3/10)(2/9)+(7/10)(3/9) = 3/10例例1.5.3摸摸 彩彩 模模 型型 n 张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸张彩票中有
50、一张中奖，从中不返回地摸 取，记取，记 Ai为为“第第 i 次摸到奖券次摸到奖券” ，则，则 (1) P(A1) =1/n . (2) 可用全概率公式计算得可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n . (3) 可用归纳法计算得可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n , i=1, 2, , n摸摸 彩彩 模模 型型 (续续) n 张彩票中有张彩票中有 k 张中奖，从中不返回地摸张中奖，从中不返回地摸取，记取，记 Ai 为为“第第 i 次摸到奖券次摸到奖券” ，则，则 P(Ai) = k/n , i=1, 2, , n 结论结论：不论先后，中彩机会不论先后，中彩机会是一样的是一样的。全概率公式的例题
