1、图形与证明XXX 大学 张XXX（1 1）直角三角形全等的判定定理）直角三角形全等的判定定理; ;（2 2）角平分线性质定理及逆定理）角平分线性质定理及逆定理; ; 三角形的三条角平分线交于一点三角形的三条角平分线交于一点( (内心内心););（3 3）垂直平分线性质定理及逆定理）垂直平分线性质定理及逆定理; ; 三角形的三边的垂直平分线交于一点三角形的三边的垂直平分线交于一点( (外心外心););（4 4）三角形中位线定理）三角形中位线定理; ;（5 5）等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性）等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理质和判定定理; ;（6 6）平行四边形、矩形、菱
2、形、正方形、等腰梯）平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理形的性质和判定定理. .(1)(1)根据题意根据题意, , 画出图形画出图形; ;(2)(2)结合图形结合图形, ,写出写出“已知已知”和和“求证求证”; ;(3)(3)写出证明过程写出证明过程（依据依据: : ）（1 1） 从从已知条件已知条件想想可知的事项可知的事项; ;（2 2）由由结论结论想想使结论成立所需要的条件使结论成立所需要的条件. . a+b=ca+b=c132SSSacbC CB BA AS3a cbabcabcabcabcabcaabbcc222bac 1S=abab22 21111= 2ab +c
3、= 2ab +c22222 22 21 1C C= = 4 4a a b b + +( ( b b - - a a ) )2 2222222c = 2ab+b -2ab+ac = 2ab+b -2ab+a222bac cccc(b-a)2balODCBAP符号语言：符号语言：DOP1.1.具有等腰三角具有等腰三角形的一切性质形的一切性质2.三边都相等三边都相等3.三角均相等三角均相等 (为为60 )1.三边相等的三角形三边相等的三角形2.三角均相等的三角形三角均相等的三角形4.有一个角为有一个角为60 的等的等腰三角形。腰三角形。3.有两个角为有两个角为60 的三的三角形。角形。 如果如果 R
4、tRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90 D D是斜边是斜边ABAB边上的中点，边上的中点， 那么那么 CDCD ABAB12DCBAABCDDABCABCD2 在在同一个底上同一个底上的两个角相等的的两个角相等的梯梯形形是等腰梯形。是等腰梯形。A AE ED DC CB BF F已知已知:如图如图, 在梯形在梯形ABCD中中, ADBC,E、F分别是的分别是的AB、DC的中点的中点 .求证求证: EF/BCAD, )ADBC(21EFG GB BD DA AE EC C已知已知:如图如图, 在在ABC中中,点点 D、E分别是的分别是的AB、AC的中点的中点 求证求证: DE/BC,
5、 DE= BC21C ABOFED四边形两条对角线四边形两条对角线连接四边中点连接四边中点四边形四边形互相垂直互相垂直矩形矩形相等相等菱形菱形互相互相垂直垂直且且相等相等正方形正方形既既不不互相垂直互相垂直也不也不相等相等平行四边形平行四边形菱形菱形矩形矩形平行四平行四边形形边形形平行四边形平行四边形矩形矩形正方形正方形菱形菱形平行四边形平行四边形四边形四边形平行四边形平行四边形两组对边两组对边分别平行分别平行矩形矩形有一个角有一个角 是直角是直角菱形菱形邻边相等邻边相等正方形正方形邻边相等邻边相等有一个角有一个角 是直角是直角梯形梯形 一组对边平行一组对边平行另一组对边不平行另一组对边不平行
6、等腰梯形等腰梯形两腰相等两腰相等 直角梯形直角梯形有一个角有一个角 是直角是直角有一个角是直角且邻边相等有一个角是直角且邻边相等 平行平行 四边形四边形（1 1）两组）两组对边对边分别平行分别平行；（2 2）两组）两组对边对边分别相等；分别相等；（4 4）一组）一组对边对边（3 3）两条两条对角线对角线互相平分互相平分；矩矩 形形（1 1）是平行四边形是平行四边形，并且有一个角是直角并且有一个角是直角；（2 2）是平行四边形，并且两条对角线相等）是平行四边形，并且两条对角线相等菱菱 形形（1 1）四条边都相等；）四条边都相等；（2 2）是）是平行四边形平行四边形，并且有一组邻边相等并且有一组邻
7、边相等；（3 3）是）是平行四边形平行四边形，并且两条对角线互相垂直。并且两条对角线互相垂直。正方形正方形（1 1）是）是矩形矩形，并且有一组邻边相等；，并且有一组邻边相等；（2 2）是）是菱形菱形，并且有一个角是直角。并且有一个角是直角。等腰梯等腰梯形形（1 1）两条两条腰相等腰相等的梯形的梯形. .（2 2）同一底上的两个内角同一底上的两个内角相等的梯形相等的梯形平行且相等。平行且相等。 三个角三个角是直角是直角（3）正）正方形方形1 如图如图,在四边形在四边形ABCD中，中，ABC=ADC90, M、N分别是分别是AC、BD的中点的中点.猜一猜，猜一猜，MN与与BD的位置关系，再证明的位
8、置关系，再证明.M MD DC CB BA AN NC CB BA AD DE EF FB BA AC CD DE EF FB BA AC CD DE EF FB BA AC CD DE EF F2 2 如图如图- -，ABCABC依次为任意三角形、直角三依次为任意三角形、直角三角形角形（A A9090）、）、等腰三角形（等腰三角形（ABABACAC）、等等腰直角三角形腰直角三角形（ ABABAC AC ， A A9090 ） ，D D、E E、F F 均分别均分别ABCABC各边的中点，图各边的中点，图- -中的中的4 4个四个四边形边形 ADEFADEF分别是怎样的四边形请证明。分别是怎样
9、的四边形请证明。（1）（4）（3）（2）3 3 如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，且，且ACACBDBD， ，E E、F F 分别是分别是ABAB、CDCD的中点，的中点， EFEF分别交分别交BDBD、ACAC于点于点G G、H H求证：求证：OGOGOHOHC CB BA AE EF FH HG GO OD DM MA AC CB B4 4 三个城市分别位于一个等边三个城市分别位于一个等边三角形的三个顶点处，要在这三角形的三个顶点处，要在这三个城市之间铺设通讯电缆，三个城市之间铺设通讯电缆，现设计了三种连接方案现设计了
10、三种连接方案（看课（看课本本3939页的方案）页的方案）（1 1）请你用皮尺和圆规画）请你用皮尺和圆规画出三种方案的示意图；出三种方案的示意图；（2 2）请你在这三种方案）请你在这三种方案中选择连线最短的方案，并加意证明。中选择连线最短的方案，并加意证明。ABCABCABCO5 如图如图,在在ABC中，中， ABABACAC，ADBC, 垂足为垂足为D, 点点E在在AD的延的延长线上，连接长线上，连接BE、CE.求证求证:BE=CE.D DE EC CB BA AE ED DC CB BA A45456 如图如图,在在ABC中，中， A A9090，点点D在在BC上，上，ABABACACBDB
11、D，EDBC, 垂足为垂足为D.求证求证: AE=DE=DC .7 7 在在 RtRtABCABC中，中，ABABACAC，BACBAC9090，O O是是BCBC的中点，（的中点，（1 1）写出点）写出点O O到到ABCABC的三个顶点的三个顶点A A、B B、的距离关系（不要求证明）；、的距离关系（不要求证明）；（2 2）如果点）如果点个个M M、N N分别在分别在ABAB、ACAC上移动，在移动中保持上移动，在移动中保持ANANBMBM，请判断请判断OMNOMN的形状，并证明你的结论。的形状，并证明你的结论。M MO OC CB BA AN N8 8 在在ABCABC中中，ABABACA
12、C，BACBAC9090，点点D D在边在边BCBC上，（上，（1 1）读句画图：读句画图： 沿直线沿直线ADAD把把ABDABD对折，得到对折，得到ADFADF，在，在 原图中画出对折后的原图中画出对折后的ADFADF； 翻折翻折ACAC，使，使ACAC落在落在AFAF上，其折痕与上，其折痕与BCBC交交 于点于点E E，画出折痕，画出折痕AEAE，并连接，并连接EFEF， （2 2）翻折）翻折ACAC后，点后，点C C与点与点F F是否重合？是否重合？ DEFDEF是什么样的三角形？你能证明吗？是什么样的三角形？你能证明吗？A AD DC CB BF FE EDEFDEF是直角三角形是直角
13、三角形9 如图如图,在梯形在梯形ABCD中，中，ADBC，E是是CD的中点，且的中点，且BE平分平分ABC， 求证：求证：ABAD+BC 。E ED DC CB BA AF F213D DC CB BA AF FE E10 如图如图,在正方形在正方形ABCD中，中， 点点E在对角线在对角线AC上，上，EFAC, 交交AB于于点点F，ECBC 求证：求证：AEBF。2111 11 如图，点如图，点O O是是ABCABC所在平面内一动点，连接所在平面内一动点，连接OBOB、OCOC，并将并将ABAB、OBOB、OCOC、ACAC的中点的中点D D、E E、F F、G G依次连接，如依次连接，如果果
14、FGDEFGDE能构成四边形，能构成四边形，（1 1）当点）当点O O在在ABCABC内时，求证：四边形内时，求证：四边形DEFGDEFG是是平行四边形；平行四边形；（2 2）当点）当点O O移动到移动到ABCABC外时，第（外时，第（1 1）小题中的）小题中的结论是否成立？画出图形，并说明理由；结论是否成立？画出图形，并说明理由；（3 3）若四边形）若四边形DEFGDEFG是矩形，点是矩形，点O O所在位置应满足所在位置应满足什么条件？试说明理由。什么条件？试说明理由。ACGEBDFOABCDEFGOBFDACEGO（1）（2）（3）点点O O在在ABCABC的的边边BCBC高线上高线上【例
15、例】: 如图如图, ABC中中B=2C,ADBC,垂足为垂足为D,M是是BC的中点的中点.求证求证:DM= AB.21AB.MCD.E证明证明:作作AC的中点的中点E,连接连接ME,DE,则则ME/AB,且且ME= AB(三角形的中位线定理三角形的中位线定理)21【例例】: :如图如图,在在ABC中中,D是是BC的中的中点点,E是是AD的中点的中点,F是是BE延长线与延长线与AC的交点的交点,DG是是BCF的中位线的中位线.v求证求证:AF= FC,EF= BE.2131ABCGFED证明证明: :DG是是BCF的中位线的中位线DG= FC且且DG/FC (三角形中位线定理三角形中位线定理)21AE=DE,EDG=EAF,DEG=AEFDEG AFEDG=AF,GE=EFAF= FC21BG=GF,GE=EFEF= BE31小结小结 本节课重点研究了三角形的中本节课重点研究了三角形的中位线定理及其应用位线定理及其应用,进一步体会进一步体会在中位线定理的应用过程中在中位线定理的应用过程中,如如何添加辅助线的问题何添加辅助线的问题.
