1、一、曲线运动：自然坐标、切向加速一、曲线运动：自然坐标、切向加速度和法向加速度度和法向加速度二、圆周运动与角量系统二、圆周运动与角量系统三、相对运动三、相对运动课本：课本：1.3.21.3.2；1.51.5；作业：练习；作业：练习2 2AB n nuvvxy yuox60 oA BvxyorAB一、自然坐标、平面曲线运动一、自然坐标、平面曲线运动AB n n切向以质点前进方向为正，记做切向以质点前进方向为正，记做 或者或者 ，法向以曲线凹侧方向为正，法向以曲线凹侧方向为正，记做记做 或者或者 ntene1.1.质点的位置用轨道长度质点的位置用轨道长度s s表示表示s = s (t)则则: :
2、s = s ( t+ t) s ( t) 2. 速度和速率速度和速率vtrtrtsv ddd|d|dd自然坐标系自然坐标系 (natural coordinates)使用前提：使用前提：轨道已知轨道已知轨道上选择一点做轨道上选择一点做原点。原点。 osenet第第1 1项表示由于速度大小变化项表示由于速度大小变化所引起的加速度分量所引起的加速度分量, , 大小大小等于速率变化率等于速率变化率, , 方向沿轨方向沿轨道切向道切向, , 称称切向加速度切向加速度(tangential acceleration)tvaddt第第2项是由速度方向变化所引项是由速度方向变化所引起的加速度分量，为起的加速
3、度分量，为法向加法向加速度速度(normal acceleration)nvntva2nddttddeetsvvteetddddttvvtaddvLBA (t) (t+ t) 当当 t0时时, 点点B 趋近于点趋近于点A,等腰等腰 O A B 顶角顶角 0。 推导nvntvtva2nddddtttttddlimlim00 极限方向必定垂直于极限方向必定垂直于 , 指向轨道凹侧指向轨道凹侧, 与法向单位矢量与法向单位矢量n一致，并且一致，并且 ( ) tO (t) (t+ t) B A 若轨道在点若轨道在点A 的内切的内切圆的曲率半径为圆的曲率半径为 nvntvntva2ndddd反映速度方向反
4、映速度方向变化的快慢程变化的快慢程度度反映速度大小变反映速度大小变化的快慢化的快慢2vadtdvan 22222 vdtdvaaaan naatg加速度总是指向曲线的凹侧加速度总是指向曲线的凹侧vv 切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度naaaaann总结：总结：自然坐标自然坐标 anaadds其中其中 曲率半径曲率半径 . tttd)(d)(2.角速度角速度1.角坐标角坐标)(t3.角加速度角加速度tdd又因为线速率又因为线速率ttrtst0lim0limvxyor)()(,ddtrttsvvAB二、圆周运动二、圆周运动轨迹为圆，曲率半径恒定为轨迹为圆，曲率半径恒定为r2vadtdvan
5、又因为又因为rvaran2角加速度角加速度tdd)()(,ddtrttsvv线量与角量线量与角量s = s (t)=r (t)线量角量角坐标角坐标)(ttttd)(d)(角速度角速度切向加速度切向加速度（速度大小变速度大小变化引起化引起）法向加速度法向加速度（速度方向变速度方向变化引起化引起）22ntaaarvaran2举例：举例： 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动 1 匀速率圆周运动：速率匀速率圆周运动：速率 和角速度和角速度 都为常量都为常量 .v2 匀变速率圆周运动匀变速率圆周运动t020021tt)(20202如如 时时,0t00,常量n2nnereaa
6、0tat 0 tdtd00 tdt00 3 一般圆周运动一般圆周运动 作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的：种是正确的： （A）切向加速度必不为零；）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零；因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零 （E）若物体的加速度）若物体的加速度 为恒矢量，它一定作为恒矢量，它一定作匀变速率运动匀变速
7、率运动 .a讨讨 论论 一飞轮半径为一飞轮半径为2m,其角量运动方程其角量运动方程 =2+3t-4t3(SI),求距轴心求距轴心1m处的点在处的点在2s末的速率和切向加速度末的速率和切向加速度解解:因为因为2d312dtt 则则:d24dtt 45rad/ s 248rad/s 在距轴心在距轴心1m处的速率为处的速率为45/vRm s 切向加速度为切向加速度为:48/aRm s 将将t=2代入代入,得得三、相对运动三、相对运动 在两个相对作直线运动的参考系中，在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测量是时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的，绝对的，空间的测量也是绝对的， 与参考系无关，与
8、参考系无关， 时间和长度的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础时间和长度的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础.ABv 小车以小车以较低的速度较低的速度 沿水平轨道先后通过点沿水平轨道先后通过点 A 和点和点 B . 地面上人测得车通过地面上人测得车通过 A、B 两点间的距两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同离和时间与车上的人测量结果相同 .v1、时间与空间时间与空间物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系2、相对运动相对运动伽利略（伽利略（Galileo Galilei，15641642） 关于两门新科学的对话和数学证明对话集关于两门新科学的对话和数学证明对话
9、集一书，总结了他的科学思想以及在物理学和天文学一书，总结了他的科学思想以及在物理学和天文学方面的研究成果。方面的研究成果。 伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学的新纪元。的新纪元。 伽利略杰出的意大利物理学家和伽利略杰出的意大利物理学家和天文学家，实验物理学的先驱者。天文学家，实验物理学的先驱者。 他提出著名的相对性原理、惯性他提出著名的相对性原理、惯性原理、抛体的运动定律、摆振动的等原理、抛体的运动定律、摆振动的等时性等。时性等。 ruxxy yz zo orS 系系 系系 ) (zyxO)(OxyzSoorP*3 3、绝对运动、牵连运动、相对运动
10、绝对运动、牵连运动、相对运动（1）位矢的关系）位矢的关系质点质点P在相对作匀速直线运动在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的移动的两个坐标系中的移动绝对位矢绝对位矢相对位矢相对位矢牵连位矢牵连位矢0rrr绝对量绝对量=相对量相对量+牵连量牵连量r roorzz*yyxxuoo0tp pu vv（3）速度关系）速度关系utrtrDrr（2）位移关系）位移关系 rPtuuxxy yz ztto orQQD p简单起见，设简单起见，设开始时，开始时，两坐标系是重合的。两坐标系是重合的。经经过过t时间，时间，质点从质点从P移动移动到到Q，而而S系相对系相对S系移系移动到如图位置，则：动到如图位置，则：绝
11、对量绝对量=相对量相对量+牵连量牵连量 伽利略速度变换伽利略速度变换 注意注意当当 接近光速时，伽利略速度变换不成立！接近光速时，伽利略速度变换不成立！u绝对速度绝对速度trddv相对速度相对速度trddv牵连速度牵连速度uuvvuvv rtuuxxy yz ztt o orQQD p【相对论【相对论洛伦兹变换】洛伦兹变换】绝对绝对加速度加速度相对相对加速度加速度牵连牵连加速度加速度0aaa 绝对量绝对量= =相对量相对量+ +牵连量牵连量0ddaatu若若则则（4）加速度关系）加速度关系tuttddddddvv推导：推导：例题例题. .河水自西向东流动，速度为河水自西向东流动，速度为10 k
12、m/h,10 km/h,一轮船在一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西水中航行，船相对于河水的航向为北偏西3030o o, ,航速为航速为20km/h20km/h。此时风向为正西，风速为。此时风向为正西，风速为10km/h10km/h。试求在船。试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设烟离开烟囱上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设烟离开烟囱后即获得与风相同的速度）后即获得与风相同的速度）【注意】风向（【注意】风向（wind directionwind direction）：气象上把风吹来的）：气象上把风吹来的方向确定为风的方向名称。因此，风来自北方叫做北风，方向确定为风的方向名称。因
13、此，风来自北方叫做北风，风来自南方叫做南风。气象台站预报风时，当风向在某风来自南方叫做南风。气象台站预报风时，当风向在某个方位左右摆动不能肯定时，则加以个方位左右摆动不能肯定时，则加以“偏偏”字，如偏北字，如偏北风。当风力很小时，则采用风。当风力很小时，则采用“风向不定风向不定”来说明。来说明。但物理上说但物理上说“风向为正西风向为正西”，指风的速度矢量方向，即，指风的速度矢量方向，即风从东往西吹，与风从东往西吹，与“西风西风”不同。不同。例题例题. .河水自西向东流动，速度为河水自西向东流动，速度为10 km/h,10 km/h,一轮船在一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西水中航行，
14、船相对于河水的航向为北偏西3030o o, ,航速为航速为20km/h20km/h。此时风向为正西，风速为。此时风向为正西，风速为10km/h10km/h。试求在船。试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设烟离开烟囱上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设烟离开烟囱后即获得与风相同的速度）后即获得与风相同的速度）解：解：设水用设水用S S；风用；风用F F；船用；船用C C；岸用；岸用D D已知：已知：201010 csfdsdvvv正东正东正西正西北偏西北偏西3030o ovcsvfdvsd sdcscdvvv cdfcfdvvv cdfdfcvvv hkmvvvvcsfcsdfd/20 方
15、向为南偏西方向为南偏西3030o ofcvvcsvfdvsdvcd030vfcvfdvsdvcd 030方向正北hkmvcd/310 一辆汽车以一辆汽车以 v1 速度在雨中行使，雨滴落下的速度与速度在雨中行使，雨滴落下的速度与竖直方向成角竖直方向成角 ，问：问：在什么条件下车后的一长方形物在什么条件下车后的一长方形物体刚好不会被淋湿？（设行李伸出车外的长度为体刚好不会被淋湿？（设行李伸出车外的长度为 l，距，距车顶的距离为车顶的距离为 h。）。）lhv1 v2 v1v2v雨车雨车 lh tg = h / l 行李不被淋湿的条件：行李不被淋湿的条件： tg tg h / l v2 cos /(
16、v1 - v2 sin ) tg = v2 cos /( v1 - v2 sin )v雨车雨车 = v2 - v1，例：例：图示，一实验者图示，一实验者 A 在以在以 10 m/s 的速率沿水平轨道的速率沿水平轨道前进的平板车上控制一台射弹器，此射弹器以与车前进前进的平板车上控制一台射弹器，此射弹器以与车前进方向呈方向呈 度角斜向上射出一弹丸。此时站在地面上的度角斜向上射出一弹丸。此时站在地面上的另一实验者另一实验者 B 看到弹丸铅直向上运动，看到弹丸铅直向上运动，求：求：弹丸上升的高度。弹丸上升的高度。60uvvxy yuox60 oA Bvxyvvtan速度变换速度变换xxu vvyyvv
17、 解：解：地面参考系为地面参考系为 S 系系 平板车参考系为平板车参考系为 系系Sxvvuxyyvv 1sm10uxxv0vtanxvvvyy1sm3 .17yv弹丸上升高度弹丸上升高度m3 .1522gyyvxvvytanS解：解：地面参考系为地面参考系为 系，平板车参考系为系，平板车参考系为 系系Suvvxy yuox60 oA Bv例题、例题、一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为行驶，其加速度为a，他沿车前进的斜上方抛出一球，他沿车前进的斜上方抛出一球，设抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他不必设抛球时对车的加速度的影
18、响可以忽略，如果使他不必移动他在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直移动他在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角应为多大？方向的夹角应为多大？aV0车对地车对地 解：解：抛出后车的位移：抛出后车的位移：20121attvx 球的位移：球的位移：20221)cos( gttvy )sin(002tvvx 球对车0v小孩接住球的条件为：小孩接住球的条件为： x1= x2; y=0 )(sin2102tvat 两式相比得：两式相比得： tgga tvgt)(cos21 02 gatg1 例例、由楼窗口以水平初速度由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口射出一发子弹，取枪口为原点
19、，沿为原点，沿v0为为x轴，竖直向下为轴，竖直向下为y轴轴，并取发射时并取发射时t=0.试求试求：(1)子弹在任一时刻子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程的位置坐标及轨道方程；(2)子弹在子弹在t t时刻的速度，切向加速度和法向加速度时刻的速度，切向加速度和法向加速度。aagyxov0 n 2021gtytvx 解解：(1)20221vgxy 习习 题题 训训 练练(2)gtvvvyx ,0与切向加速度垂直与切向加速度垂直 01222022tan vgttgvvvvyx与速度同向与速度同向22202tgvtgdtdva 2220022tgvgvagan aagyxov0 n oABAvBvr
20、例例 如图一超音速歼击机在高空如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为时的水平速率为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率为其速率为 2192 km/h , 所经历的时间为所经历的时间为 3s , 设圆弧设圆弧 的半径约为的半径约为 3.5km , 且飞机从且飞机从A 到到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动周运动 , 若不计重力加速度的影响若不计重力加速度的影响, 求求: (1) 飞机在点飞机在点B 的加速度的加速度; (2)飞机由点飞机由点A 到点到点B 所经历的路程所经历的路程 .ABatana 解解（1
21、）因飞机作匀变速率）因飞机作匀变速率运动所以运动所以 和和 为常量为常量 .tataddtv分离变量有分离变量有 t0ta ddtBAvvvoABAvBvratana2tsm3 .23taABvv1hkm1940Av1hkm2192Bvs3tkm5 . 3AB已知：已知：在点在点 B 的法向加速度的法向加速度22nsm106raBv在点在点 B 的加速度的加速度22n2tsm109aaa4 .12arctanntaa 与法向之间夹角与法向之间夹角 为为atta0tddBAvvvv1hkm1940Av1hkm2192Bvs3t km5 . 3AB已知：已知：（2）在时间）在时间 内矢径内矢径 所
22、转过的角度所转过的角度 为为tr221ttA飞机经过的路程为飞机经过的路程为2t21tatrsAv代入数据得代入数据得m1722soABAvBvratana 例例 如图示，一实验者如图示，一实验者 A 在以在以 10 m/s 的速率沿水平的速率沿水平轨道前进的平板车上控制一台射弹器轨道前进的平板车上控制一台射弹器, 此射弹器以与车此射弹器以与车前进方向呈前进方向呈 度角斜向上射出一弹丸度角斜向上射出一弹丸 . 此时站在地面此时站在地面上的另一实验者上的另一实验者 B 看到弹丸铅直向上运动看到弹丸铅直向上运动, 求弹丸上升求弹丸上升的高度的高度 .60uvvxy yuox60 oA Bvxyvvtan速度变换速度变换xxu vvyyvv 解解 地面参考系为地面参考系为 S 系系 平板车参考系为平板车参考系为 系系Sxvvuxyyvv 1sm10uxxv0vtanxvvvyy1sm3 .17yv弹丸上升高度弹丸上升高度m3 .1522gyyvxvvytanS解解 地面参考系为地面参考系为 系，平板车参考系为系，平板车参考系为 系系Suvvxy yuox60 oA Bv
