1、系统解耦(1/3)4.4 系统解耦系统解耦q 耦合是生产过程控制系统普遍存在的一种现象。耦合是生产过程控制系统普遍存在的一种现象。 在一个在一个MIMO系统中系统中,每一个输入都受多个输出的影响每一个输入都受多个输出的影响,每个输出受多个输入的控制每个输出受多个输入的控制,当一个控制量的变化必然会当一个控制量的变化必然会波及其它量的变化波及其它量的变化,这种现象称为耦合。这种现象称为耦合。 所谓解耦所谓解耦,就是消除系统间耦合关联作用。就是消除系统间耦合关联作用。 如果一个输入量只受一个输出量影响如果一个输入量只受一个输出量影响,即一个输出仅即一个输出仅受一个输入控制受一个输入控制,这样的系统
2、称为无耦合系统。这样的系统称为无耦合系统。系统解耦(2/3) 在许多工程问题中在许多工程问题中,特别是过程控制中特别是过程控制中,解耦控制有着重解耦控制有着重要的意义。要的意义。 目前许多在航天目前许多在航天,发电发电,化工等方面的控制系统难于化工等方面的控制系统难于投入运行投入运行,不少是因耦合的原因造成不少是因耦合的原因造成,因此解耦问题因此解耦问题的研究十分重要。的研究十分重要。q 若一个若一个m维输入维输入u和一个和一个m维输出维输出y的动力学系统的动力学系统,其传递函数其传递函数矩阵是一个对角线有理多项式矩阵矩阵是一个对角线有理多项式矩阵则称该多变量系统是解耦的。则称该多变量系统是解
3、耦的。11( )0( )0( )mmWsW sWs系统解耦(3/3)q 实现解耦有两种方法实现解耦有两种方法: 补偿器解耦补偿器解耦 状态反馈解耦状态反馈解耦。前者方法简单前者方法简单,但将使系统维数增加但将使系统维数增加, 后者虽然不增加系统的维数后者虽然不增加系统的维数,但利用它实现解耦的条件比但利用它实现解耦的条件比补偿器解耦相对苛刻。补偿器解耦相对苛刻。补偿器补偿器解耦(1/7)4.4.1 补偿器解耦补偿器解耦q 图图4-3所示的为前馈补偿器解耦框图。所示的为前馈补偿器解耦框图。 图图4-3中中,Gp(s)为原系统的传递函数阵为原系统的传递函数阵, Gc(s)为补偿的传递为补偿的传递函
4、数矩阵函数矩阵,即解耦控制器。即解耦控制器。图图4-3 串联解耦方框图串联解耦方框图 )(sGc)(sGp)(sY)(sU-补偿器补偿器解耦(2/7)q 根据串联组合系统的传递函数公式可知串接补偿器后前向根据串联组合系统的传递函数公式可知串接补偿器后前向通路的传递函数为通路的传递函数为G(s)= Gp(s)Gc(s)其中反馈回路的的传递矩阵为其中反馈回路的的传递矩阵为G(s)=I, 那么系统的闭环传递函数为那么系统的闭环传递函数为:W(s)=I+Gp(s)Gc(s)-1Gp(s)Gc(s) 用用I+Gp(s)Gc(s)左乘上式，有左乘上式，有I+Gp(s)Gc(s)W(s)=Gp(s)Gc(s
5、)即即Gp(s)Gc(s)I-W(s)=W(s)补偿器补偿器解耦(3/7) 分别用分别用 ， I-W(s)-1左乘与右乘上式，有左乘与右乘上式，有q 为实现系统解耦为实现系统解耦,要求为要求为W(s)对角线矩阵，因此对角线矩阵，因此, I-W(s)也为也为对角线矩阵。对角线矩阵。 故，得出故，得出Gp(s)Gc(s)也需为对角线矩阵。也需为对角线矩阵。 即为实现如图即为实现如图6-3所示结构的系统的解耦所示结构的系统的解耦,应取合适补偿应取合适补偿器器Gc(s)使使Gp(s)Gc(s)是非奇异对角线矩阵。是非奇异对角线矩阵。 1( )pGs11( )( )( )( )cpG sGs W sIW
6、 s补偿器补偿器解耦(4/7)例6-8q 例例4-8 已知系统如图4-4所示,图图4-4 串联解耦及补偿器方框图串联解耦及补偿器方框图 1u2u)(11sGc)(12sGc)(22sGc)(21sGc121s1 111s- - - -1y2y1r2r对象补偿器补偿器解耦(5/7)试设计一补偿器试设计一补偿器Gc(s), ,使闭环使闭环系统的传递函数矩阵为系统的传递函数矩阵为: : 1u2u)(11sGc)(12sGc)(22sGc)(21sGc121s1 111s- - - -1y2y1r2r对象101( )1051sW ss q 解解 由图由图4-4可求得被控对象部分的传递函数矩阵为可求得被
7、控对象部分的传递函数矩阵为: :1021( )111psGss 补偿器补偿器解耦(6/7) 根据根据补偿器补偿器Gc(s)的求解公式的求解公式,有有111( )( )( )( )11000211111510015151210(1)(21)15cpG sGs W sIW ssssssssssssssss 补偿器补偿器解耦(7/7)q 基于所求解的补偿器基于所求解的补偿器Gc(s),可实现如图可实现如图4-3示的解耦控制系统。示的解耦控制系统。 例例4-8求得的解耦补偿器求得的解耦补偿器Gc(s)的传递函数阵的某个元素的传递函数阵的某个元素出现分子多项式阶次高于分母多项式阶次出现分子多项式阶次高于
8、分母多项式阶次,这会带来该解这会带来该解耦控制器工程上物理实现的困难耦控制器工程上物理实现的困难,一般工程上只能做到近一般工程上只能做到近似实现。似实现。状态反馈状态反馈解耦(1/16)4.4.2 状态反馈解耦状态反馈解耦q 所谓状态反馈解耦所谓状态反馈解耦, ,即通过对系统设计状态反馈律即通过对系统设计状态反馈律, ,构造状态构造状态反馈闭环控制系统反馈闭环控制系统, ,使得闭环系统的输入输出间实现解耦。使得闭环系统的输入输出间实现解耦。q 状态反馈解耦问题的模型描述为状态反馈解耦问题的模型描述为: : 对给定的被控系统的状态空间模型为对给定的被控系统的状态空间模型为其中其中u,y为为m维向
9、量维向量, ,x为为n维向量维向量, ,A为为nn方阵方阵, ,B为为nm矩矩阵阵, ,C为为mn矩阵。矩阵。xAxBuyCx状态反馈状态反馈解耦(2/16) 对上述系统对上述系统,构造如下状态反馈控制律构造如下状态反馈控制律:u=-Kx+Hv使得闭环系统的输入输出实现完全解耦。使得闭环系统的输入输出实现完全解耦。 这里这里K是一个是一个mn的非奇异的反馈矩阵的非奇异的反馈矩阵,H是一个是一个mm的实常数非奇异矩阵的实常数非奇异矩阵,v是是m维的外部输入向量。维的外部输入向量。q 我们通常将我们通常将v作为系统的输入作为系统的输入,y作为系统输出时作为系统输出时,求使该系统求使该系统解耦的解耦
10、的K和和H的问题称为借助于状态反馈的解耦问题。的问题称为借助于状态反馈的解耦问题。状态反馈状态反馈解耦(3/16)q 如图如图4-5所示的为用状态反馈实现解耦的系统。所示的为用状态反馈实现解耦的系统。- -uyvxHBACK图图4-5 用状态反馈实现解耦用状态反馈实现解耦状态反馈状态反馈解耦(4/16)q 将状态反馈解耦控制律作用在状态空间模型上将状态反馈解耦控制律作用在状态空间模型上, ,可得如下闭可得如下闭环控制系统状态空间模型环控制系统状态空间模型 状态反馈解耦问题的目标是如何设计选取矩阵状态反馈解耦问题的目标是如何设计选取矩阵K与与H, ,从从而使闭环系统是解耦的。而使闭环系统是解耦的
11、。 对于该解耦控制问题对于该解耦控制问题, ,有如下完全状态反馈解耦控制律有如下完全状态反馈解耦控制律存在的条件。存在的条件。()ABKBHCxxuyx状态反馈解耦(5/14)q 状态反馈解耦条件状态反馈解耦条件 对被控系统和状态反馈解耦控制律对被控系统和状态反馈解耦控制律,状态反馈解耦系统实状态反馈解耦系统实现输入输出间完全解耦的充分必要条件为如下定义的矩现输入输出间完全解耦的充分必要条件为如下定义的矩阵阵E是非奇异矩阵。是非奇异矩阵。 其中其中 是系统输出矩阵是系统输出矩阵C中第中第i行向量行向量, 是从是从0到到n-1之间的某一正整数之间的某一正整数,且且li 应应该满足不等式该满足不等
12、式 的一个最小的一个最小j,(1,2,)iCim1212mlllmC A BC A BEC A B,(1,2,)ilim0jiC A B 状态反馈状态反馈解耦(6/16) 即即li的定义为的定义为:q 该解耦条件的证明思路为该解耦条件的证明思路为: : 根据上述定义的根据上述定义的li, ,定义定义1,.,1 , 0, 010, 1,.,1 , 0, 0nkBACnBACjkBACjlkijikii1211121mlllmC AC AFC A状态反馈状态反馈解耦(7/16) 若选取反馈矩阵若选取反馈矩阵K和前馈矩阵和前馈矩阵H如下如下 至此至此, ,把所得的代入闭环系统状态空间模型把所得的代入
13、闭环系统状态空间模型, ,得得: :1211111121,mlllmC AC AKE FEHEC A-11()xABE F xBE vyCx状态反馈状态反馈解耦(8/16)则可以证明系统闭环传递函数矩阵为则可以证明系统闭环传递函数矩阵为12111111( )()10110mlllssFsssWCIABEBE状态反馈状态反馈解耦(9/16)q 可以看出可以看出W(s)是对角线矩阵是对角线矩阵,所以其闭环系统是一个完全解所以其闭环系统是一个完全解耦系统。耦系统。 另外另外,传递函数对角元素均是积分环节传递函数对角元素均是积分环节,故称这样的系统故称这样的系统为具有积分型的解耦系统。为具有积分型的解
14、耦系统。 下面通过例子来说明如何借助状态反馈实现解耦。下面通过例子来说明如何借助状态反馈实现解耦。q 例例4-9 设系统的状态空间模型为：试用状态反馈把系统变成积分型解耦系统。 q 解解 给定系统的传递函数矩阵为 000100010012301110001xxuyx状态反馈解耦(10/14)状态反馈状态反馈解耦(11/16) 因此,系统存在耦合现象。 系统的状态图如图4-6所示。21311(1)(2)(1)(2)( )()1(1)(2)(1)(2)sss ssssG sC sIABsssss状态反馈解耦(12/14)图4-6 开环系统方框图 1 23+-2x1x2y1y2u1u3x 23xx状
15、态反馈状态反馈解耦(13/16) 由C1B=1 0, C2B=0 1知l1=l2=0此时有1211221001llC BC A BEC BC A B12111122001123llC AC AFC AC A状态反馈状态反馈解耦(14/16) 由于E是非奇异阵,所以系统可以解耦。 因此,状态反馈解耦矩阵为110011231001 KE FHE状态反馈状态反馈解耦(15/16) 此时闭环系统状态方程和输出方程为：00110( )001( )00( )00001110( )( )001tttttxxvyx状态反馈状态反馈解耦(15/16)其传递函数为则系统变成两个互相无耦合的子系统,如图4-7所示。
16、11( )()1011001100100001100001W sC sIABKBHsssss 状态反馈状态反馈解耦(16/16)图4-7 解耦后的系统框图q 另一方面另一方面,从式从式(4-34)可以看出可以看出,积分型解耦系统的闭环极点积分型解耦系统的闭环极点全是零全是零,显然系统是不稳定的显然系统是不稳定的,所以这种解耦方法不令人满意。所以这种解耦方法不令人满意。 不过可以对完全解耦的每个不过可以对完全解耦的每个SISO子系统单独设计一个状子系统单独设计一个状态反馈律将每个解耦的子系统的极点配置到所需要的位态反馈律将每个解耦的子系统的极点配置到所需要的位置上去。置上去。1u2u1y2y11110( )(634)10mllsssW
