1、问题提出问题提出对于生产、生活实践以及平面几何对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解的方程，将其转化为代数问题来解决决. .对此，我们必须掌握解决问题的对此，我们必须掌握解决问题的基本思想和方法基本思想和方法. .“割圆术”与圆周率祖冲之阅读刘徽给九章算术作的注解，他被刘徽在深入学习古人成果，广泛实践的基础上，用高度的抽象概括力建立的“割圆术”与极限观念所折服，不禁拍案而起，连连称赞。对于圆面积、圆柱的体积和球的体积计算都要用圆周率，原来似乎没有科学的方
2、法。刘徽提出的割圆术，却找到了完善的算法。刘徽提出：在圆内作一个正六边形，每边和半径相等。然后把六边所对的六段弧线一一平分。作出一个正十二边形。这个十二边形的边长总加起来比六边形的边长的总和要大，比较接近圆周，但仍比圆周短。刘徽认为，用同样方法，作出二十四边形。那周长总和又增加了，又接近圆周了。这样一直把圆周分割下去，割得越细，和圆周相差越少，割而又割，直到不可再割的时候，这个无限边形就和圆周密合为一，完全相等了。刘徽用割圆术计算了六边、十二边、二十四边、四十八边，一直计算到九十六边形的边长之和，得出圆周是直径的3.14。祖冲之运用 “割圆术”的计算方法，日复一日，不论是酷暑，还是严寒，从不间
3、断地辛勤地计算着祖冲之为了求出最精密的圆周率，对九位数进行包括加减乘除及开方等运算一百三十次以上。这样艰巨复杂的计算，在当时，既没有电子计算机，也没有算盘，只靠一些被称作“数筹”的小竹棍，摆成纵横不同的形状，用来表示各种数目，然后进行计算，这不仅需要掌握纯熟的理论和技巧，而且，更需具备踏踏实实、一丝不苟的严谨态度，不惜付出艰巨的劳动代价，才能取得杰出的成就。祖冲之为了求出最精密的圆周率，逐次以圆内接正六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形的边长当作圆周长，计算与直径的比值， 一直割圆到24576边形，这样边已经和圆周紧贴在一起，而不能再割了，于是他算出：12288边形各边总长为3
4、14159251丈，24576边形各边总长为314159261丈。祖冲之经过艰苦的计算，终于得出较精确的圆周如直径为1，圆周大于3.1415926，小于3.1415927。这个结论，用现代数字符号写出，就是：3.1415926n3.1415927。 功夫不负苦心人，祖冲之求出的圆周率，精确到小数点后七位，这在当时，全世界上只有他一人。 祖冲之与大明历我国古代人，由于畜牧业和农业生产的需要，经过长期的观察、实践，积累了丰富的天文历法知识，发现了日月运行的基本规律，制成了历法。在祖冲之之前，已经有了相当进步的历法。祖冲之，要进一步提高历法的精度，得靠自己去观测，用实际观测得来的数据，进行正确的计算
5、，提高了冬至时刻的测定的精度。祖冲之制定的当时最科学的历法大明历岁实取36524281481日，与现代天文学所测结果，一年中仅有六十万分之一的误差 ，这是多么精密的结果啊！实践出真知。祖冲之通过不断的实践，终于打开了苍穹奥秘的宇宙大门。那年他才三十三岁。 在古代仪器和设备十分简陋的情况下，祖冲之经过长期的实际观测，推算出一个交点月的日数为27.21223日，和现在所测得的一交支点月的日数仅差二百 万分之一日。祖冲之为世界数学史和文明史，作出的这一伟大贡献，是我们中华民族的骄傲！知识探究：知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用直线与圆的方程在实际生活中的应用 问题问题: :一艘轮船在沿直线返
6、回港口一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西台风中心位于轮船正西70 km70 km处，处， 受影响的范围是半径长为受影响的范围是半径长为30km30km的圆的圆形区域形区域. . 已知港口位于台风中心正已知港口位于台风中心正北北40 km40 km处，如果这艘轮船不改变航处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？线，那么它是否会受到台风的影响？轮船轮船港口港口台风台风思考思考1:1:解决这个问题的本质是什么？解决这个问题的本质是什么？思考思考2:2:你有什么办法判断轮船航线你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域
7、？是否经过台风圆域？轮轮船船港港口口台台风风xyo思考思考3:3:如图所示建立直角坐标系，如图所示建立直角坐标系，取取10km10km为长度单位，那么轮船航线为长度单位，那么轮船航线所在直线和台风圆域边界所在圆的所在直线和台风圆域边界所在圆的方程分别是什么？方程分别是什么？思考思考4:4:直线直线4x4x7y7y28280 0与圆与圆x x2 2y y2 29 9的位置关系如何？对问题的位置关系如何？对问题应应作怎样的回答？作怎样的回答？轮船轮船港口港口台风台风问题问题：如图是某圆拱形桥一孔圆如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图拱的示意图. . 这个圆的圆拱跨度这个圆的圆拱跨度AB=20mAB=2
8、0m，拱高，拱高OP=4mOP=4m，建造时每间隔，建造时每间隔4m4m需要用一根支柱支撑，求支柱需要用一根支柱支撑，求支柱A A2 2P P2 2的高度（精确到的高度（精确到0.01m0.01m）ABA1A2A3A4OPP2思考思考1:1:你能用几何法求支柱你能用几何法求支柱A A2 2P P2 2的高的高度吗？度吗？思考思考2:2:如图所示建立直角坐标系，如图所示建立直角坐标系，那么求支柱那么求支柱A A2 2P P2 2的高度，化归为求一的高度，化归为求一个什么问题？个什么问题？ABA1A2A3A4OPP2xy思考思考4:4:利用这个圆的方程可求得点利用这个圆的方程可求得点P P2 2的
9、纵坐标是多少？问题的纵坐标是多少？问题的答案如的答案如何？何？214.5410.53.86( )ym思考思考3:3:取取1m1m为长度单位，如何求圆为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？拱所在圆的方程？x x2 2+(y+10.5)+(y+10.5)2 2=14.5=14.52 2 ABA1A2A3A4OPP2xy知识探究：知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用直线与圆的方程在平面几何中的应用 问题问题: :小河同侧有两个村庄小河同侧有两个村庄A、B计计划于河上建一水电站供两村使用，已知划于河上建一水电站供两村使用，已知A、B两村到河边的垂直距离分别为两村到河边的垂直距离分别为300m和和7
10、00m，且两村相距，且两村相距300m，问：，问：水电站建在何处，送电到两村电线用料水电站建在何处，送电到两村电线用料最省？最省？ 第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果第三步：把代数运算结果“翻译翻译”成几何结成几何结论论. .练习练习: : 1、有一种商品，有一种商品，A、B两地均有售两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地且价格相同，但某居住地的居民从
11、两地往回运时，每单位距离往回运时，每单位距离A地的运费是地的运费是B地运费的地运费的3倍倍.已知已知A、B相距相距10km，问，问这个居民应如何选择这个居民应如何选择A地或地或B地购买此地购买此种商品最合算？种商品最合算？(仅从运费的多少来考仅从运费的多少来考虑虑)2、某圆拱桥的水面跨度、某圆拱桥的水面跨度16米，拱高米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高米，水面以上高3米，请问此船能否通米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？米，此时能否通过？OMNP 3、位于河北省的古代名
12、桥赵州桥的、位于河北省的古代名桥赵州桥的跨度是跨度是37.4m，圆拱高，圆拱高7.2m。如果坐。如果坐标标原点取在圆拱两端点连线的中点处，求原点取在圆拱两端点连线的中点处，求这座圆拱桥的拱圆方程。这座圆拱桥的拱圆方程。 作业作业：4、某城市交通规划中，拟在半径为、某城市交通规划中，拟在半径为50m的高架圆形道车侧某处开一个出口，以与圆形道相的高架圆形道车侧某处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引伸一条直道接到距圆形道圆心正北切的方式，引伸一条直道接到距圆形道圆心正北150m处的道路上试建立适当坐标系写出所引伸直道处的道路上试建立适当坐标系写出所引伸直道的方程，并计算出口应开在圆开道何处。的方程
13、，并计算出口应开在圆开道何处。5、某操场、某操场400m跑道的直道长为跑道的直道长为86.96m，弯道，弯道是两个半圆弧，半径为是两个半圆弧，半径为36m，以操场中心为坐标原，以操场中心为坐标原点建立直角坐标系，求弯道所在的圆的方程。点建立直角坐标系，求弯道所在的圆的方程。6、设半径为、设半径为3km的圆形村落，的圆形村落，A、B两人同时从两人同时从村落中心出发，村落中心出发，A向东，向东，B向北，向北，A出村后不久改变出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与恰好与B相遇，设相遇，设A、B两人的速度一定，其比为两人的速度一定，其比为3:1，问问A、B两人在何处相遇。两人在何处相遇。
